2021-2022學年陜西省西安市鐵路信號工廠子弟中學高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析

2021-2022學年陜西省西安市鐵路信號工廠子弟中學高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)與的圖像上存在關于y軸對稱的對稱點，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.參考答案：A【分析】將題中的問題轉化為方程在上有解，即方程在有解的問題處理，然后再轉化為兩函數(shù)的圖象有公共點求解，借助導數(shù)的幾何意義和圖象可得所求范圍．【詳解】函數(shù)與的圖像上存在關于軸對稱的對稱點，∴方程在上有解，即方程在上有解，∴方程在有解．設，，則兩函數(shù)的圖象有公共點．由得．若為的切線，且切點為，則有，解得，結合函數(shù)圖象可得若兩函數(shù)的圖象有公共點，則需滿足．所以實數(shù)的取值范圍是．故選A．【點睛】本題考查轉化思想和數(shù)形結合思想的應用，解題的關鍵是把兩圖象上有對稱點轉化為方程有根的問題求解，然后再根據(jù)兩函數(shù)的特征選擇用導數(shù)的幾何意義求解，具有綜合性，難度較大．2.已知具有線性相關關系的變量x、y，設其樣本點為，回歸直線方程為，若，（O為原點），則a=（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】計算出樣本中心點的坐標，將該點坐標代入回歸直線方程可求出實數(shù)的值.【詳解】由題意可得，，將點的坐標代入回歸直線方程得，解得，故選：D.【點睛】本題考查利用回歸直線方程求參數(shù)的值，解題時要熟悉“回歸直線過樣本中心點”這一結論的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.3.已知函數(shù)，則其導數(shù)

A．

B．

C．

D．參考答案：D4.在3和9之間插入兩個正數(shù)，使前3個數(shù)成等比數(shù)列，后3個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個正數(shù)之和為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.函數(shù)y＝f(x)在定義域內可導，其圖像如圖所示．記y＝f(x)的導函數(shù)為y＝f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集為()A.∪[2，3)

B.∪C.∪[1，2)

D.∪∪[2，3)

參考答案：A6.在四棱柱中，底面是正方形，側棱垂直于底面，若，則與所成的角的大小為

A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.下列命題中為真命題的是（

）A．若，則.B．若，則.C．若，則.

D．若，則.參考答案：A略8.如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，，則下列向量中與相等的向量是（

）A.

B.

C.D.參考答案：A略9.若圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條切線，則a＋b的最大值為

()．A．－3

B．－3

C．3

D．3參考答案：D10.直線L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，則a的值為（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2參考答案：A【考點】兩條直線平行的判定；兩條直線平行與傾斜角、斜率的關系．【分析】由題意可知直線L1：ax+3y+1=0，斜率存在，直線L2：2x+（a+1）y+1=0，斜率相等求出a的值．【解答】解：直線L1：ax+3y+1=0的斜率為：，直線L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率為：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線交拋物線于A、B兩點，若該拋物線上存在點C,使得為直角，則的取值范圍為___________.參考答案：略12.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為_______________．參考答案：.【分析】由所給函數(shù)圖像過點,，列式，利用誘導公式可得.【詳解】由函數(shù)圖像過點,,得，，所以，又兩點在同一周期，所以，.故答案為4.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質，考查簡單三角方程的解，考查圖形識別與運算求解能力，屬于基礎題.13.已知結論“a1、a2∈R+，且a1+a2=1，則+≥4：若a1、a2、a3∈R+，且a1+a2+a3=1，則++≥9”，請猜想若a1、a2、…、an∈R+，且a1+a2+…+an=1，則++…+≥．參考答案：n2【考點】F4：進行簡單的合情推理．【分析】通過觀察已知條件發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而歸納推理可得結論．【解答】解：由題意，知：結論左端各項分別是和為1的各數(shù)ai的倒數(shù)（i=1，2，…，n），右端n=2時為4=22，n=3時為9=32，故ai∈R+，a1+a2+…+an=1時，結論為++…+≥n2（n≥2）．故答案為：n2．14.高二（1）班共有56人，學號依次為1，2，3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為6，34，48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號為

參考答案：2015.“沃爾瑪”商場在國慶“62”黃金周的促銷活動中,對10月2日9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如右下圖所示.已知9時至10時的銷售額為2.5萬元,則11時至12時的銷售額為________萬元.參考答案：20萬元16.若存在實數(shù)滿足，則實數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：(,5)略17.如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為__________．參考答案：0.864【分析】首先記、、正常工作分別為事件、、；，易得當正常工作與、至少有一個正常工作為互相獨立事件，而“、至少有一個正常工作”與“、都不正確工作”為對立事件，易得、至少有一個正常工作概率，由相互獨立事件的概率公式，計算可得答案。【詳解】解：根據(jù)題意，記、、正常工作分別為事件、、；則；、至少有一個正常工作的概率為；則系統(tǒng)正常工作的概率為；故答案為：0.864．【點睛】本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，涉及互為對立事件的概率關系，解題時注意區(qū)分、分析事件之間的關系，理解掌握乘法原理是解決本題的知識保證，本題屬于中檔題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC

求證：AB⊥BC

參考答案：證明：過A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC，得AD⊥平面PBC，故AD⊥BC，又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB略19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．（1）若PA=PD，求證：AD⊥平面PQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，且PM=3MC，求三棱錐P﹣QBM的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎體體積公式求出；【解答】證明：（1）∵PA=PD，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PQ⊥BC，又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，又PM=3MC，∴VP﹣QBM=VM﹣PQB=．20.已知橢圓C：（a＞b＞0）的頂點B到左焦點F1的距離為2，離心率e=．（1）求橢圓C的方程；（2）若點A為橢圓C的右頂點，過點A作互相垂直的兩條射線，與橢圓C分別交于不同的兩點M，N（M，N不與左、右頂點重合），試判斷直線MN是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由已知列出關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），當直線MN的斜率不存在時，△MNA為等腰直角三角形，求出M的坐標，可得直線MN過點；當直線的斜率存在時，設直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由判別式大于0可得4k2﹣m2+1＞0，再由AM⊥AN，且橢圓的右頂點A為（2，0），由向量數(shù)量積為0解得m=﹣2k或，然后分類求得直線MN的方程得答案．【解答】解：（1）由題意可知：，解得：，故橢圓的標準方程為；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），當直線MN的斜率不存在時，MN⊥x軸，△MNA為等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，M，N不與左、右頂點重合，解得，此時，直線MN過點；當直線的斜率存在時，設直線MN的方程為y=kx+m，由方程組，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，．由已知AM⊥AN，且橢圓的右頂點A為（2，0），∴，，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得m=﹣2k或，均滿足△=4k2﹣m2+1＞0成立．當m=﹣2k時，直線l的方程y=kx﹣2k過頂點（2，0），與題意矛盾舍去．當時，直線l的方程，過定點，故直線過定點，且定點是．

21.已知三點(1)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的標準方程；(2)設點P、F1、F2關于直線y=x的對稱點分別為，求以為焦點且過點的雙曲線的標準方程.參考答案：(1)由題意，可設所求橢圓的標準方程為(a＞b＞0)，其半焦距c=6.2a=|PF1|+|PF2|=.∴a=，b2=a2-c2=45-36=9，所以所求方程為.(2)點P(5，2)、F1(-6，0)、F2(6，0)關于直線y=x的對稱點分別為P′(2，5)、F′1(0，-6)、F′2(0，6).設所求雙曲線的標準方程為(a1＞0，b1＞0).由題意知，半焦距c1=6，2a1=||P′F′1|-|P′F′2||=|-|=