2022年北京信息工程學院附屬中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

2022年北京信息工程學院附屬中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑，PA為母線，點C在底面圓周上，若PA=AB=2，AC=BC,則二面角P-AC-B大小的正切值是（）A.

B.

C.

D.參考答案：B作AC的中點D，連接OD，PD，如圖所示：根據(jù)已知可得，，所以，因為D是AC的中點，所以，所以即為二面角的平面角，因為PA=AB=2，所以AC=BC=，所以O(shè)D=，在中，，所以在中，.2.已知全集，集合,則A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A.

B.

C.和

D.和參考答案：A略4.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】函數(shù)零點的判定定理．B9

【答案解析】B

解析：∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0

f（1）=e1+4﹣3＞0∴根所在的區(qū)間x0∈（0，1）排除A選項又∵∴根所在的區(qū)間x0∈（0，），排除D選項最后計算出，，得出選項B符合；故選B．【思路點撥】分別計算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判斷它們的正負，再結(jié)合函數(shù)零點存在性定理，可以得出答案．5.一只螞蟻在邊長為4的正三角形內(nèi)爬行，某時刻此螞蟻距三角形三個頂點的距離均超過1的概率為A、

B、

C、

D、參考答案：答案：B6.將函數(shù)的圖象（），可得到函數(shù)的圖象（

）

A．向下平行移動1個單位

B．向右平行移動1個單位C．向左平行移動1個單位

D．向上平行移動1個單位

參考答案：C略7.定義在上的函數(shù)滿足，為的導函數(shù)，已知的圖像如圖所示，若兩個正數(shù)、滿足，則的取值范圍是

(

)

參考答案：8.已知函數(shù)f（x）=的圖象上存在不同的兩點A、B，使得曲線y=f（x）在這兩點處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，）參考答案：A【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】先根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)f（x）在點A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出a=（t4+2t2+8t+1），t＞0，由單調(diào)性可得出a的取值范圍．【解答】解：當x＜0時，f（x）=x2+x+a的導數(shù)為f′（x）=2x+1；當x＞0時，f（x）=的導數(shù)為f′（x）=﹣，設(shè)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））為該函數(shù)圖象上的兩點，且x1＜x2，當x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2時，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，當x1＜0時，函數(shù)f（x）在點A（x1，f（x1））處的切線方程為：y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）；當x2＞0時，函數(shù)f（x）在點B（x2，f（x2））處的切線方程為y﹣=﹣（x﹣x2）．兩直線重合的充要條件是﹣=2x1+1①，=a﹣x12②，由x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②令t=，則t＞0，且a=（t4+2t2+8t+1）在（0，+∞）為增函數(shù)，∴a＞，故選：A．9.在△ABC中，a=2，b=，B=，則A=A．

B．

C．

D．或參考答案：D10.同理5設(shè)向量，，且，則向量與的夾角為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)α，β是兩個不重合的平面，a，b是兩條不同的直線，給出下列條件：①α，β都平行于直線a，b；②a，b是α內(nèi)的兩條直線，且a∥β，b∥β；③a與b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β．其中可判定α∥β的條件是

．（填序號）參考答案：②③【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)面面平行的判定定理，分別判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①α，β都平行于直線a，b，α，β可能相交、平行，不正確；②a，b是α內(nèi)的兩條直線，且a∥β，b∥β，根據(jù)面面平行的判定定理，可知正確；③a與b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，根據(jù)面面平行的判定定理，可知正確．故答案為②③．12.執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的

．參考答案：6由程序框圖可知,則，當時，時，此時，所以輸出。13.已知函數(shù)f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）對任意的x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：[，+∞）．【分析】依題意，f由（x+a）≤f（x）對任意的x∈R恒成立，在同一坐標系中作出滿足題意的y=f（x+a）與y=f（x）的圖象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后為二次不等式，利用△≤0即可求得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）對任意的x∈R恒成立，在同一坐標系中作出滿足題意的y=f（x+a）與y=f（x）的圖象如下：

∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案為：[，+∞）．14.如果執(zhí)行的程序框圖如圖所示，那么輸出的S=．參考答案：2550【考點】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=0+2+4+6+…+100的值．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=0+2+4+6+…+100，∵S=0+2+4+6+…+100=2550．故答案為：2550．15.點為圓的弦的中點，則該弦所在直線的方程是__

__;參考答案：略16.已知實數(shù)滿足如果目標函數(shù)的最小值為,則實數(shù)________參考答案：517.已知，各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是

參考答案：。由題意得，，，…，，∵，且＞0，∴，易得==…====，∴+=+=。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知F為橢圓的右焦點，M為C上的任意一點.（1）求|MF|的取值范圍；（2）P，N是C上異于M的兩點，若直線PM與直線PN的斜率之積為，證明:M，N兩點的橫坐標之和為常數(shù).參考答案：解：解法一：（1）依題意得，所，所以的右焦點坐標為，設(shè)上的任意一點的坐標為，則，所以，又因為，所以，所以，所以的取值范圍為.（2）設(shè)三點坐標分別為，設(shè)直線斜率分別為，則直線方程為，由方程組消去，得，由根與系數(shù)關(guān)系可得，故，同理可得，又，故，則，從而.即兩點的橫坐標之和為常數(shù).解法二：（1）依題意得，所，所以的右焦點坐標為，設(shè)上的任意一點的坐標為，設(shè)上的任意一點的坐標為，則，又因為，所以，所以，所以的取值范圍為.（2）設(shè)兩點坐標分別為，線段的中點分別為，點的坐標為，直線的斜率分別為，由方程組得，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以的中點在上，同理可證：的中點在上，所以點為線段的中點.根據(jù)橢圓的對稱性，所以兩點的橫坐標之和為常數(shù).

19.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標系xoy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標系．已知曲線C1的參數(shù)方程為，（α∈[0，2π]，α為參數(shù)），曲線C2的極坐標方程為ρsin(θ+)=a(a∈R)，若曲線C1與曲線C2有且僅有一個公共點，求實數(shù)a的值．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】求出兩曲線的普通方程，根據(jù)直線與圓相切列方程解出a．【解答】解：曲線C1的方程為（x﹣）2+（y﹣3）2=4，圓心坐標為（，3），半徑為2．∵曲線C2的極坐標方程為，∴+=a，∴曲線C2的直角坐標方程為，∵曲線C1與曲線C2有且僅有一個公共點，∴=2，解得a=1或a=5．20.（本小題滿分12分）如圖1，在直角梯形中，，，，為線段的中點.將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示.（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案：（1）在圖1中，可得，從而，故.取中點連結(jié)，則，又面面，面面，面，從而平面.∴，又，.∴平面.（2）建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，.設(shè)為面的法向量，則即，解得.令，可得.又為面的一個法向量，∴.∴二面角的余弦值為.21.（本小題滿分12分）在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點．

（1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；

（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大?。?/p>

（3）求點G到平面BCE的距離．

參考答案：解法一：以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，使得軸和軸的正半軸分別經(jīng)過點A和點E，則各點的坐標為，，

，，，

（1）點F應(yīng)是線段CE的中點，下面證明：

設(shè)F是線段CE的中點，則點F的坐標為，∴，

顯然與平面平行，此即證得BF∥平面ACD；

……4分

（2）設(shè)平面BCE的法向量為，

則，且，

由，，

∴，不妨設(shè)，則，即，

∴所求角滿足，∴；

……8分

（3）由已知G點坐標為（1，0，0），∴，

由（2）平面BCE的法向量為，

∴所求距離．

……12分

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

設(shè)F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，

連接FH，則，∴，

…2分

∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴，

由平面ACD內(nèi)，平面ACD，平面ACD；

……………4分

（2）由已知條件可知即為在平面ACD上的射影，

設(shè)所求的二面角的大小為，則，

……6分

易求得BC=BE，CE，

∴，

而，

∴，而，

∴；

………………8分

（3）連結(jié)BG、CG、EG，得三棱錐C—BGE，

由ED平面ACD，∴平面ABED平面ACD，

又，∴平面ABED，

設(shè)G點到平面BCE的距離為，則即，

由，，，

∴即為點G到平面BCE的距離．………………12分略22.已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若曲線在點（處的切線與曲線在點處的切線互相垂直，求函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上的最大值；（2）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)零點的個數(shù)．參考答案：（1）；（2）見解析.【分析】（1）分別求出y=f（x）與y=g（x）在x=0處的導數(shù)，利用斜率之積等于-1求得，得到f（x）解析式，再由導數(shù)判斷f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，從而求得最大值；（2）函數(shù)在R上單調(diào)遞增，僅在x=1處有一個零點，且x＜1時，g（x）＜0，再由導數(shù)分類判定f（x）的零點情況，則答案可求．【詳解】（1）∵f′（x）=-3x2+a，g′（x）=ex，∴f′（0）=a，g′（0）=1，由題意知，，f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，∴；（2）函數(shù)g（x）=ex-e在R上單調(diào)遞增，僅在x=1處有一個零點，且x＜1時，g（x）＜0，又f′（x）=-3x2+a．①當a≤0時，f′（x）≤0，f（x）在R上單調(diào)遞減，且過點（0，-），f（-1）=＞0．即f（x）在x≤0時，必有一個零點，此時y=h（x）有兩個零點；②當a＞0時，令f′（x）=-3x2+a=0，解得＜0，＞0．則是函數(shù)f（x）的一個極小值點，是函數(shù)f（x）的一個極大值點．而f（-）=＜0，現(xiàn)在討論極大值的情況：f（）=．當f（）＜0，即a＜時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上恒小于0，此時y=h（x）有兩個零點