2022年北京信息工程學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022年北京信息工程學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑，PA為母線，點(diǎn)C在底面圓周上，若PA=AB=2，AC=BC,則二面角P-AC-B大小的正切值是（）A.

B.

C.

D.參考答案：B作AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，如圖所示：根據(jù)已知可得，，所以，因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以，所以即為二面角的平面角，因?yàn)镻A=AB=2，所以AC=BC=，所以O(shè)D=，在中，，所以在中，.2.已知全集，集合,則A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A.

B.

C.和

D.和參考答案：A略4.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．B9

【答案解析】B

解析：∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0

f（1）=e1+4﹣3＞0∴根所在的區(qū)間x0∈（0，1）排除A選項(xiàng)又∵∴根所在的區(qū)間x0∈（0，），排除D選項(xiàng)最后計(jì)算出，，得出選項(xiàng)B符合；故選B．【思路點(diǎn)撥】分別計(jì)算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判斷它們的正負(fù)，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，可以得出答案．5.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形內(nèi)爬行，某時(shí)刻此螞蟻距三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率為A、

B、

C、

D、參考答案：答案：B6.將函數(shù)的圖象（），可得到函數(shù)的圖象（

）

A．向下平行移動(dòng)1個(gè)單位

B．向右平行移動(dòng)1個(gè)單位C．向左平行移動(dòng)1個(gè)單位

D．向上平行移動(dòng)1個(gè)單位

參考答案：C略7.定義在上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，已知的圖像如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)、滿足，則的取值范圍是

(

)

參考答案：8.已知函數(shù)f（x）=的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A、B，使得曲線y=f（x）在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，）參考答案：A【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)f（x）在點(diǎn)A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出a=（t4+2t2+8t+1），t＞0，由單調(diào)性可得出a的取值范圍．【解答】解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x2+x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+1；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣，設(shè)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x1＜x2，當(dāng)x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2時(shí)，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，當(dāng)x1＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x1，f（x1））處的切線方程為：y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）；當(dāng)x2＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x2，f（x2））處的切線方程為y﹣=﹣（x﹣x2）．兩直線重合的充要條件是﹣=2x1+1①，=a﹣x12②，由x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②令t=，則t＞0，且a=（t4+2t2+8t+1）在（0，+∞）為增函數(shù)，∴a＞，故選：A．9.在△ABC中，a=2，b=，B=，則A=A．

B．

C．

D．或參考答案：D10.同理5設(shè)向量，，且，則向量與的夾角為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)α，β是兩個(gè)不重合的平面，a，b是兩條不同的直線，給出下列條件：①α，β都平行于直線a，b；②a，b是α內(nèi)的兩條直線，且a∥β，b∥β；③a與b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β．其中可判定α∥β的條件是

．（填序號(hào)）參考答案：②③【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)面面平行的判定定理，分別判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①α，β都平行于直線a，b，α，β可能相交、平行，不正確；②a，b是α內(nèi)的兩條直線，且a∥β，b∥β，根據(jù)面面平行的判定定理，可知正確；③a與b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，根據(jù)面面平行的判定定理，可知正確．故答案為②③．12.執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的

．參考答案：6由程序框圖可知,則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，此時(shí)，所以輸出。13.已知函數(shù)f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）對(duì)任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：[，+∞）．【分析】依題意，f由（x+a）≤f（x）對(duì)任意的x∈R恒成立，在同一坐標(biāo)系中作出滿足題意的y=f（x+a）與y=f（x）的圖象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后為二次不等式，利用△≤0即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）對(duì)任意的x∈R恒成立，在同一坐標(biāo)系中作出滿足題意的y=f（x+a）與y=f（x）的圖象如下：

∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案為：[，+∞）．14.如果執(zhí)行的程序框圖如圖所示，那么輸出的S=．參考答案：2550【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=0+2+4+6+…+100的值．【解答】解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=0+2+4+6+…+100，∵S=0+2+4+6+…+100=2550．故答案為：2550．15.點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則該弦所在直線的方程是__

__;參考答案：略16.已知實(shí)數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則實(shí)數(shù)________參考答案：517.已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是

參考答案：。由題意得，，，…，，∵，且＞0，∴，易得==…====，∴+=+=。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，M為C上的任意一點(diǎn).（1）求|MF|的取值范圍；（2）P，N是C上異于M的兩點(diǎn)，若直線PM與直線PN的斜率之積為，證明:M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).參考答案：解：解法一：（1）依題意得，所，所以的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以的取值范圍?（2）設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，設(shè)直線斜率分別為，則直線方程為，由方程組消去，得，由根與系數(shù)關(guān)系可得，故，同理可得，又，故，則，從而.即兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).解法二：（1）依題意得，所，所以的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又因?yàn)椋裕?，所以的取值范圍?（2）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，線段的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率分別為，由方程組得，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以的中點(diǎn)在上，同理可證：的中點(diǎn)在上，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，所以兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).

19.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系．已知曲線C1的參數(shù)方程為，（α∈[0，2π]，α為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+)=a(a∈R)，若曲線C1與曲線C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】求出兩曲線的普通方程，根據(jù)直線與圓相切列方程解出a．【解答】解：曲線C1的方程為（x﹣）2+（y﹣3）2=4，圓心坐標(biāo)為（，3），半徑為2．∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為，∴+=a，∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為，∵曲線C1與曲線C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴=2，解得a=1或a=5．20.（本小題滿分12分）如圖1，在直角梯形中，，，，為線段的中點(diǎn).將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示.（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案：（1）在圖1中，可得，從而，故.取中點(diǎn)連結(jié)，則，又面面，面面，面，從而平面.∴，又，.∴平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，.設(shè)為面的法向量，則即，解得.令，可得.又為面的一個(gè)法向量，∴.∴二面角的余弦值為.21.（本小題滿分12分）在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點(diǎn)．

（1）請(qǐng)?jiān)诰€段CE上找到點(diǎn)F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實(shí)；

（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大?。?/p>

（3）求點(diǎn)G到平面BCE的距離．

參考答案：解法一：以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，使得軸和軸的正半軸分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

，，，

（1）點(diǎn)F應(yīng)是線段CE的中點(diǎn)，下面證明：

設(shè)F是線段CE的中點(diǎn)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，

顯然與平面平行，此即證得BF∥平面ACD；

……4分

（2）設(shè)平面BCE的法向量為，

則，且，

由，，

∴，不妨設(shè)，則，即，

∴所求角滿足，∴；

……8分

（3）由已知G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0，0），∴，

由（2）平面BCE的法向量為，

∴所求距離．

……12分

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

設(shè)F為線段CE的中點(diǎn)，H是線段CD的中點(diǎn)，

連接FH，則，∴，

…2分

∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴，

由平面ACD內(nèi)，平面ACD，平面ACD；

……………4分

（2）由已知條件可知即為在平面ACD上的射影，

設(shè)所求的二面角的大小為，則，

……6分

易求得BC=BE，CE，

∴，

而，

∴，而，

∴；

………………8分

（3）連結(jié)BG、CG、EG，得三棱錐C—BGE，

由ED平面ACD，∴平面ABED平面ACD，

又，∴平面ABED，

設(shè)G點(diǎn)到平面BCE的距離為，則即，

由，，，

∴即為點(diǎn)G到平面BCE的距離．………………12分略22.已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）若曲線在點(diǎn)（處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，求函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上的最大值；（2）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．參考答案：（1）；（2）見解析.【分析】（1）分別求出y=f（x）與y=g（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)，利用斜率之積等于-1求得，得到f（x）解析式，再由導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，從而求得最大值；（2）函數(shù)在R上單調(diào)遞增，僅在x=1處有一個(gè)零點(diǎn)，且x＜1時(shí)，g（x）＜0，再由導(dǎo)數(shù)分類判定f（x）的零點(diǎn)情況，則答案可求．【詳解】（1）∵f′（x）=-3x2+a，g′（x）=ex，∴f′（0）=a，g′（0）=1，由題意知，，f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，∴；（2）函數(shù)g（x）=ex-e在R上單調(diào)遞增，僅在x=1處有一個(gè)零點(diǎn)，且x＜1時(shí)，g（x）＜0，又f′（x）=-3x2+a．①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在R上單調(diào)遞減，且過(guò)點(diǎn)（0，-），f（-1）=＞0．即f（x）在x≤0時(shí)，必有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=-3x2+a=0，解得＜0，＞0．則是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)，是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)．而f（-）=＜0，現(xiàn)在討論極大值的情況：f（）=．當(dāng)f（）＜0，即a＜時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上恒小于0，此時(shí)y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)