2022年北京第一七八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022年北京第一七八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)A，B，C，D是球面上四點(diǎn)，已知，，球的表面積為32π，則四面體ABCD的體積的最大值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A2.命題“對(duì)任意的”的否定是

（

）

不存在存在存在對(duì)任意的參考答案：C3.拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程為（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣ D．y=參考答案：C【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，將拋物線的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，分析可得其焦點(diǎn)位置以及p的值，進(jìn)而可得其準(zhǔn)線方程，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，拋物線y=4x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=，其焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且p=，則其準(zhǔn)線方程為y=﹣；故選：C．4.如果logx＜logy＜0，那么（）A．0＜y＜x＜1 B．1＜y＜x C．1＜x＜y D．0＜x＜y＜1參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】利用換底公式化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，即可得到答案．【解答】解：∵真數(shù)在，對(duì)數(shù)值小于0，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可知：底數(shù)必須大于1，即x＞1，y＞1．換成以底的對(duì)數(shù)：可得：logx=；

logy=．∵logx＜logy，∴l(xiāng)og＞，由于底數(shù)為＜1，是減函數(shù)，∴y＞x，所以：1＜x＜y故選：C．5.已知a=(3,2),b=(-1,y),且a⊥b,則y=(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：A6.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，其焦點(diǎn)到中心的距離為4，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.

B.C.或

D.或參考答案：D略7.設(shè)a≠0，a∈R，則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（a，0） B．（0，a） C．（0，） D．隨a符號(hào)而定參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得答案．【解答】解：∵y=4ax2，∴x2=y，∴p=∴拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）故選C8.橢圓=1的長(zhǎng)軸為A1A2，短軸為B1B2，將橢圓沿y軸折成一個(gè)二面角，使得A1點(diǎn)在平面B1A2B2上的射影恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，則該二面角的大小為（）A．75° B．60° C．45° D．30°參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【專題】計(jì)算題．【分析】連接A10根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知A10⊥y軸，A20⊥y軸，推斷出∠A10A2為所求的二面角，利用橢圓的方程求得a和c，即|A10|和|0F|的值，進(jìn)而在Rt△A10A2中利用求得cos∠A10A2進(jìn)而求得∠A10A2．【解答】解：連接A10∵A10⊥y軸，A20⊥y軸，∴∠A10A2為兩個(gè)面的二面角．|A10|=a=4，|0F|=c==2，∴cos∠A10A2==∴∠A10A2=60°，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，與二面角相關(guān)的立體幾何的綜合．解決二面角問(wèn)題的關(guān)鍵是找到或作出此二面角．9.在四面體P-ABC的四個(gè)面中，是直角三角形的面至多有A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)參考答案：D10.用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為

A．30

B．45

C．60

D．120參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執(zhí)行右側(cè)的程序框圖，若輸入n=3，則輸出T=

。參考答案：2012.已知函數(shù)，那么______參考答案：13.已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得=3成立，則a的取值范圍是

．參考答案：（，）考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：若存在三個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得=3成立，等價(jià)為方程f（x）=3x存在三個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值，利用極大值大于0，極小值小于0，即可得到結(jié)論．解答： 解：若存在三個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得=3成立，即方程f（x）=3x存在三個(gè)不相等的實(shí)根，即lnx+ax2+（2﹣2a）x+=3x，lnx+ax2﹣（1+2a）x+=0有三個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)g（x）=lnx+ax2﹣（1+2a）x+，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=+2ax﹣（1+2a）==，由g′（x）=0得x=1，x=，則g（1）=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+，g（）=ln+a（）2﹣（1+2a）+=﹣1﹣ln2a．若=1，即a=時(shí)，g′（x）=≥0，此時(shí)函數(shù)g（x）為增函數(shù)，不可能有3個(gè)根，若＞1，即0＜a＜時(shí)，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞增，由g′（x）＜0得1＜x＜，此時(shí)函數(shù)遞減，則當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)g（x）取得極大值g（1）=﹣1﹣a+，當(dāng)x=時(shí)函數(shù)g（x）取得極小值g（）=﹣1﹣ln2a，此時(shí)滿足g（1）=﹣1﹣a+＞0且g（）=﹣1﹣ln2a＜0，即，即，則，解得＜a＜．同理若＜1，即a＞時(shí)，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此時(shí)函數(shù)遞增，由g′（x）＜0得＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞減，則當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)g（x）取得極小值g（1）=﹣1﹣a+，當(dāng)x=時(shí)函數(shù)g（x）取得極大值g（）=﹣1﹣ln2a，此時(shí)滿足g（1）=﹣1﹣a+＜0且g（）=﹣1﹣ln2a＞0，即，∵a＞，∴2a＞1，則ln2a＞0，則不等式ln2a＜﹣1不成立，即此時(shí)不等式組無(wú)解，綜上＜a＜．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程f（x）=3x存在三個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．14.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值為_________。

參考答案：15.在同一平面直角坐標(biāo)系中，由曲線y=tanx變成曲線y′=3tan2x′的伸縮變換

．參考答案：【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】把函數(shù)y′=3tan2x′化為=3tan2x′，由函數(shù)y=tanx變成函數(shù)=tan2x′，應(yīng)滿足，即得變換公式x′與y′的表達(dá)式．【解答】解：函數(shù)y′=3tan2x′即=tan2x′，將函數(shù)y=tanx變成函數(shù)y′=3tan2x′，即=tan2x′，故有，即伸縮變換是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象變換問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟知坐標(biāo)變換公式，是基礎(chǔ)題目．16.閱讀下面的程序框圖．若使輸出的結(jié)果不大于37，則輸入的整數(shù)i的最大值為．參考答案：5考點(diǎn)： 程序框圖．

專題： 常規(guī)題型．分析： 按照程序框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，據(jù)題目對(duì)輸出s的要求，求出n的最大值，據(jù)判斷框中n與i的關(guān)系求出i的最大值．解答： 解：經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到s=2，n=1，經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到s=5，n=2，經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到s=10，n=3，經(jīng)過(guò)第四次循環(huán)得到s=19，n=4，經(jīng)過(guò)第五次循環(huán)得到s=36，n=5，經(jīng)過(guò)第六次循環(huán)得到s=69，n=6，∵輸出的結(jié)果不大于37∴n的最大值為4∴i的最大值為5故答案為：5點(diǎn)評(píng)： 本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律．17.點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是則點(diǎn)P的軌跡方程為____參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分13分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié).(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且,求橢圓的方程；(2)若求橢圓離心率e的值.參考答案：19.為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關(guān)系：(，為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．（1）求的值及的表達(dá)式；（2）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小？并求最小值．參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，，

……………2分

…5分（2），

………………7分

設(shè)，.

當(dāng)且僅當(dāng)這時(shí)，因此的最小值為70.即隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元．

………10分略20.（本小題12分）如圖1，在直角梯形中,,,.將

沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.

（Ⅰ）若E為AD的中點(diǎn)，試在線段CD上找一點(diǎn)F，使∥平面ABC，并加以證明；

（Ⅱ）求證:BC⊥平面；

（Ⅲ）求幾何體的體積.

參考答案：解:（Ⅰ）在圖1中,可得,從而,故取中點(diǎn)連結(jié),則,又面面,面面,面,從而平面,

∵面,∴

又,,

∴平面

另解:在圖1中,可得,從而,故∵面面,面面,面,從而平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知為三棱錐的高.，

所以

∴幾何體的體積為略21.設(shè)橢圓C1和拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上各取兩點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：x3－24y－20－4(Ⅰ)求曲線C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C1交于不同兩點(diǎn)M、