2022年廣東省廣州市洛溪新城中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年廣東省廣州市洛溪新城中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．（，） D．（，1）參考答案：B【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)在R上是減函數(shù)，分析可得，解可得a的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）=是R上的減函數(shù)，則有，解可得≤a＜，即a的取值范圍是[，）；故選：B．2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N＋)，則a5＝（

）A．－16

B．16

C．31

D．32參考答案：B3.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.下列對應(yīng)關(guān)系：（

）①：的平方根。②：的倒數(shù)。③：。④：中的數(shù)平方。其中是到的映射的是：

A．①③

B．②④

C．③④

D．②③參考答案：C5.若直線與直線互相垂直，則等于A.1

B.-1

C.±1

D.-2參考答案：A略6.集合A＝{1,3}，B＝{2,3,4}則A∩B＝()A．{1} B．{2}C．{3}

D．{1,2,3,4}參考答案：C7.己知,則函數(shù)的圖象不經(jīng)過

（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D略8.已知，則化簡的結(jié)果為

（

）A．

B.

C．

D.以上都不對參考答案：B略9.若直線的傾斜角為，則的值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將代入計算即可求出值。【詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵。10.下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間（，π）上單調(diào)遞減函數(shù)的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx| C． D．y=tan（﹣x）參考答案：D【考點(diǎn)】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法；3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】利用誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，注意判斷各個選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵y=sin2x的最小正周期為=π，在區(qū)間（，π）上，2x∈（π，2π）沒有單調(diào)性，故排除A；y=2|cosx|的最小正周期為π，在區(qū)間（，π）上，2x∈（π，2π）沒有單調(diào)性，故排除B；y=cos的最小正周期為=4π，故排除C；y=tan（﹣x）=﹣tanx的最小正周期為π，在區(qū)間（，π）單調(diào)第減，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是奇函數(shù),且.若,則_______.參考答案：略12.已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f（x）=x3+x+1，則f（2）=

．參考答案：9【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】當(dāng)x＞0時，f（x）=x3+x﹣1，由此能求出f（2）的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f（x）=x3+x+1，∴當(dāng)x＞0時，f（x）=x3+x﹣1，∴f（2）=23+2﹣1=9．故答案為：9．13.已知，則的值為

參考答案：614.已知，則.參考答案：∵，∴，即，∴．

15.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若截面△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為______．參考答案：816.如果指數(shù)函數(shù)是R上的減函數(shù)，則的取值范圍是

參考答案：1<a<217.以下命題中，正確命題的序號是

．①函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)；②函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象關(guān)于x=成軸對稱；③已知=（3，4），?=﹣2，則向量在向量的方向上的投影是﹣④如果函數(shù)f（x）=ax2﹣2x﹣3在區(qū)間（﹣∞，4）上是單調(diào)遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，]．參考答案：②③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①；根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性，可判斷②；根據(jù)向量的投影的定義，可判斷③；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可判斷④．【解答】解：函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故①錯誤；當(dāng)x=時，2x+=，故函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象關(guān)于x=成軸對稱，故②正確；∵=（3，4），?=﹣2，則向量在向量的方向上的投影是=﹣，故③正確；如果函數(shù)f（x）=ax2﹣2x﹣3在區(qū)間（﹣∞，4）上是單調(diào)遞減的，則f′（x）=2ax﹣2≤0在區(qū)間（﹣∞，4）上恒成立，解得：a∈[0，]．故④錯誤；故答案為：②③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分16分）已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且an＞０．（1）若a2－a1=8，a3=m．①當(dāng)m=48時，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②若數(shù)列{an}是唯一的，求m的值；（2）若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．參考答案：設(shè)公比為q，則由題意，得q＞0．（1）①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得

解之，得或所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1．②要使?jié)M足條件的數(shù)列{an}是唯一的，即關(guān)于a1與q的方程組有唯一正數(shù)解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此時q＝2．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝32時，數(shù)列{an}唯一，其通項(xiàng)公式是an＝2n＋2．（2）由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q＞1．

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝≥32，當(dāng)且僅當(dāng)，即q＝，a1＝8(－1)時，

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值為32．19.銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240

參考答案：略20.（12分）已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別是x+y﹣1=0，2x﹣y+4=0，且它的對角線的交點(diǎn)是M（3，3），求這個平行四邊形其他兩邊所在直線的方程．參考答案：考點(diǎn)： 直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．專題： 直線與圓．分析： 求出x+y﹣1=0，2x﹣y+4=0的交點(diǎn)（﹣1，2），點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于點(diǎn)（3，3）的對稱點(diǎn)為（7，4）設(shè)與x+y﹣1=0平行的直線為x+y+c1=0，設(shè)與2x﹣y+4=0平行的直線為2x﹣y+c2=0，分別代入點(diǎn)（7，4），能求出平行四邊形的其余兩條直線方程．解答： 解：點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于點(diǎn)（3，3）的對稱點(diǎn)為（7，4）設(shè)與x+y﹣1=0平行的直線為x+y+c1=0，則點(diǎn)（7，4）在此直線上，c1=﹣11設(shè)與2x﹣y+4=0平行的直線為2x﹣y+c2=0，則點(diǎn)（7，4）在此直線上，c2=﹣10故平行四邊形的其余兩條直線方程為x+y﹣11=0與2x﹣y﹣10=0．點(diǎn)評： 本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意直線方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．21.（本題滿分12分)在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離A為

nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西方向，距離A為2nmile的C處有一艘緝私艇奉命以nmile/h的速度追截走私船，此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東方向逃竄，問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間。(本題解題過程中請不要使用計算器，以保證數(shù)據(jù)的相對準(zhǔn)確和計算的方便)參考答案：解：設(shè)緝私艇追上走私船需t小時

則BD=10tnmile

CD=tnmile

∵∠BAC=45°+75°=120°

∴在△ABC中，由余弦定理得

即由正弦定理得∴∠ABC=45°，∴BC為東西走向∴∠CBD=120°在△BCD