四川省瀘縣四中2022年高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的通項公式為，將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個數(shù)的和，則數(shù)列的前2020項和為（）A． B． C． D．2．過直線上一點作圓的兩條切線，，，為切點，當直線，關(guān)于直線對稱時，（）A． B． C． D．3．已知三棱錐的體積為2，是邊長為2的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是中點，則球的表面積為（）A． B． C． D．4．已知復數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實數(shù)a=（）A．-1 B．1 C．0 D．25．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．6．下列命題為真命題的個數(shù)是（）（其中，為無理數(shù)）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．37．已知雙曲線：，，為其左、右焦點，直線過右焦點，與雙曲線的右支交于，兩點，且點在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．8．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知拋物線：，點為上一點，過點作軸于點，又知點，則的最小值為（）A． B． C．3 D．510．已知x，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．若復數(shù)（）是純虛數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知集合，則()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，，則________．14．在中，角的對邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是______.15．若x，y滿足，則的最小值為________.16．已知，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在三棱錐中，，，，點為中點．（1）求證：平面平面；（2）若點為中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值．19．（12分）已知與有兩個不同的交點，其橫坐標分別為（）.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）證明：．21．（12分）已知橢圓的左右焦點分別是，點在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，與直線交于點（介于兩點之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)；（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由題意，設每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項相消即可求解.【詳解】由題意，設每一行的和為故因此：故故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.2．C【解析】

判斷圓心與直線的關(guān)系，確定直線，關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質(zhì)求出，得，從而得．【詳解】如圖，設圓的圓心為，半徑為，點不在直線上，要滿足直線，關(guān)于直線對稱，則必垂直于直線，∴，設，則，，∴,．故選：C．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線的對稱性，解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．3．A【解析】

根據(jù)是中點這一條件，將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.【詳解】解：設點到平面的距離為，因為是中點，所以到平面的距離為，三棱錐的體積，解得，作平面，垂足為的外心，所以，且，所以在中，，此為球的半徑，.故選：A.【點睛】本題考查球的表面積，考查點到平面的距離，屬于中檔題．4．B【解析】

化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù)，故a-1=0故選：B.【點睛】本題考查了根據(jù)復數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學生的計算能力.5．A【解析】

若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．6．C【解析】

對于①中，根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對于②中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進而得到，即可判定是錯誤的；對于③中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于①中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對于②中，設函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，則又由，所以，即，所以②不正確；對于③中，設函數(shù)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.7．D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設直線l的方程x＝my+，m＞0，設，，即y1＝﹣3y2①，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，則F2（，0），設直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯(lián)立①②得，聯(lián)立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題．8．B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點，相應坐標代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當直線經(jīng)過點時，取得最小值－5；經(jīng)過點時，取得最大值5，故.故選：B【點睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

由,再運用三點共線時和最小，即可求解.【詳解】.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵，注意拋物線的性質(zhì)的靈活運用，屬于中檔題．10．D【解析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因為x，，當時，不妨取，，故時，不成立，當時，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【點睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.11．B【解析】

化簡復數(shù)，由它是純虛數(shù)，求得，從而確定對應的點的坐標．【詳解】是純虛數(shù)，則，，，對應點為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查復數(shù)的概念與幾何意義．本題屬于基礎(chǔ)題．12．B【解析】

先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學生的運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

設等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進而利用等比數(shù)列項之間的關(guān)系得即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為：1【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式，結(jié)合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，即，可得：，外接圓的半徑為，，解得，由余弦定理，可得，又，（當且僅當時取等號），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．15．5【解析】

先作出可行域，再做直線，平移，找到使直線在y軸上截距最小的點，代入即得。【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖，令，則，作出直線，平移直線，由圖可得，當直線經(jīng)過C點時，直線在y軸上的截距最小，由，可得，因此的最小值為.故答案為：4【點睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，是基礎(chǔ)題。16．【解析】

首先利用，將其兩邊同時平方，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到，從而求得，利用誘導公式求得，得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，所以，故答案是.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關(guān)系式，倍角公式，誘導公式，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）答案見解析．（2）【解析】

（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）因為，所以平面，因為平面，所以．因為，點為中點，所以．因為，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）以點為坐標原點，直線分別為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設平面與平面所成銳二面角為，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18．（1）證明見詳解；（2）.【解析】

（1）取中點為，通過證明//，進而證明線面平行；（2）取中點為，以為坐標原點建立直角坐標系，求得兩個平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【詳解】（1）證明：取的中點，連結(jié)，，如下圖所示：在中，因為為的中點，，且，又為的中點，，，且，，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面，即證.（2）取中點，連結(jié)，，則，平面，以為原點，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，，，，，，，，設平面的一個法向量，則，則，令．則，同理得平面的一個法向量為，則，故平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，屬綜合中檔題.19．（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用導數(shù)研究的單調(diào)性，分析函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，可證得：，，分析直線，與從左到右交點的橫坐標，在，處的切線即得解.【詳解】（1）設函數(shù)，，令，令故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∵時；；時.（2）①過點，的直線為，則令，，，.②過點，的直線為，則，在上單調(diào)遞增.③設直線，與從左到右交點的橫坐標依次為，，由圖知.④在，處的切線分別為，，同理可以證得，.記直線與兩切線和從左到右交點的橫坐標依次為，.【點睛】本題考查了函數(shù)與導數(shù)綜合，考查了學生數(shù)形結(jié)合，綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.20．（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析【解析】

（1）由，分和兩種情況，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由題，得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）解：由題，得當時，，得；當時，，整理，得．數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，，；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，故．故得證．【點睛】本題主要考查根據(jù)的關(guān)系式求通項公式以及利用等比數(shù)列的前n項和公式求和并證明不等式，考查學生的運算求解能力和推理證明能力.21．（1）；（2）不能，理由見解析【解析】

（1）設，則，由此即可求出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得，則直線斜率為，設其方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理可得關(guān)于對稱，可