第5章考慮內(nèi)生流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的VaR證券市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)理論

第5章流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)管理在股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，同時(shí)考慮了股票波動(dòng)性、股票流動(dòng)性、投資者變現(xiàn)行為、頭寸規(guī)模等因素對(duì)投資者所面臨市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的影響，并允許投資者選擇任意的目標(biāo)頭寸規(guī)模，而且，指標(biāo)所用到的參數(shù)都可以利用實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)算，設(shè)計(jì)考慮內(nèi)生流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的VaR這一指標(biāo)，較好的實(shí)現(xiàn)了理論研究與實(shí)踐應(yīng)用的銜接。

首先給出考慮內(nèi)生流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的VaR——（LiquidityriskincorporatedValueatRisk，）的定義：

定義1考慮內(nèi)生流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的VaR是指給定置信水平和持有期，投資者采用某種交易策略對(duì)一定頭寸規(guī)模的資產(chǎn)進(jìn)行變現(xiàn)時(shí)的最大變現(xiàn)損失從以上定義可以看出，影響VaR的因素，如資產(chǎn)波動(dòng)性、相關(guān)性等，都會(huì)對(duì)考慮內(nèi)生流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的VaR這一指標(biāo)產(chǎn)生影響；另外，該指標(biāo)還與投資者所采用的交易策略和頭寸規(guī)模密切相關(guān)；并且下面的分析還將表明，資產(chǎn)的流動(dòng)性也將對(duì)指標(biāo)值產(chǎn)生重要影響，而這幾個(gè)因素在傳統(tǒng)的VaR中都是被忽略的。

流動(dòng)性的影響主要通過(guò)其對(duì)變現(xiàn)損失的影響來(lái)實(shí)現(xiàn)的對(duì)于一名投資者而言，如果他被迫在較短時(shí)間內(nèi)變現(xiàn)其資產(chǎn)，那么其資產(chǎn)價(jià)值在變現(xiàn)前后的差值，即執(zhí)行成本，也將受到波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)兩方面因素的影響，而實(shí)質(zhì)上是在一定置信水平下的最大變現(xiàn)損失。

這樣,的計(jì)算可以歸結(jié)為投資者資產(chǎn)價(jià)值在變現(xiàn)前后差值的計(jì)算，因此在給出之前將首先計(jì)算執(zhí)行成本；另外，為直觀起見(jiàn)，將從組合中只包括單種股票的特殊情況出發(fā)，計(jì)算執(zhí)行成本，而后推廣至多種股票的情況。

離散時(shí)間幾何布朗運(yùn)動(dòng)算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)

連續(xù)時(shí)間幾何布朗運(yùn)動(dòng)算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)5.1算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)情況下的模型

1、模型的有關(guān)假設(shè)考慮一名投資者在當(dāng)前零時(shí)刻持有一種股票，其頭寸為，他對(duì)該股票準(zhǔn)備長(zhǎng)期持有的保留頭寸為，一旦由于外生沖擊不得不變現(xiàn)股票時(shí)，投資者將會(huì)在持有期第個(gè)交易日結(jié)束時(shí)仍持有股票頭寸，即將在持有期內(nèi)變現(xiàn)X-Y的股票。將(0,T)期間等分為K個(gè)足夠小區(qū)間，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為，定義在時(shí)刻，k=1,…，K，該投資者持有的股票頭寸為x(k)。則在零時(shí)刻，股票頭寸為x(0)=X，在T時(shí)刻，股票頭寸為x(K)=Y。

顯然，投資者可以通過(guò)選擇在時(shí)刻持有的股票頭寸來(lái)確定交易策略，從而可以將在變現(xiàn)期(0,T)期間隨時(shí)間變化的股票頭寸x(k)等價(jià)于投資者的交易策略，同時(shí)定義在期間內(nèi)頭寸變化為，交易速度，則交易速度同樣也可以等價(jià)為交易策略。假定在（0，T）期間股票價(jià)格，，服從無(wú)漂移的算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)：

（1）其中為在期間內(nèi)股價(jià)的變動(dòng)。

3交易對(duì)價(jià)格沖擊的引入

當(dāng)投資者對(duì)組合中的股票進(jìn)行持續(xù)的賣(mài)出交易時(shí)，股票價(jià)格將承受向下的價(jià)格沖擊。這種沖擊可分解為永久沖擊和瞬時(shí)沖擊兩部分：永久沖擊使得股票的均衡價(jià)格發(fā)生改變，在股票價(jià)格決定的模型中表現(xiàn)為價(jià)格運(yùn)動(dòng)的微分方程中增加一負(fù)向漂移項(xiàng)；瞬時(shí)沖擊使得股票的供給和需求在瞬間出現(xiàn)不平衡，股票成交價(jià)格與交易前的市場(chǎng)價(jià)格存在一定的差額，而一旦下一筆相反方向的指令到達(dá)，股票價(jià)格就會(huì)回到原來(lái)的均衡水平。

記為永久沖擊系數(shù)，表示每出售一單位的股票使得股票均衡價(jià)格下降的幅度，同時(shí)假定永久沖擊系數(shù)在變現(xiàn)期間為常數(shù)，且永久價(jià)格沖擊為線性的，得到新的價(jià)格運(yùn)動(dòng)微分方程：

（2）

式（2）中右邊第一項(xiàng)即為投資者的賣(mài)出交易引發(fā)股票均衡價(jià)格的改變，可以看出交易對(duì)價(jià)格的永久沖擊與期間內(nèi)投資者的頭寸變化成正比，比例系數(shù)為。則在時(shí)刻，股票價(jià)格為：

（3）

瞬時(shí)沖擊使交易者的成交價(jià)格與股票在該時(shí)刻的價(jià)格之間存在一個(gè)差額，記為瞬時(shí)沖擊系數(shù)，表示每出售一單位的股票在瞬間推動(dòng)股票價(jià)格下降的幅度，同樣假定該系數(shù)在變現(xiàn)期間不發(fā)生改變，且瞬時(shí)價(jià)格沖擊為線性的，得到：

（4）式（4）中右邊第二項(xiàng)即為投資者的賣(mài)出交易使成交價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格之間出現(xiàn)的差異，可以看出這一差異與單位時(shí)間內(nèi)頭寸的變化成正比，比例系數(shù)為。

則在時(shí)刻，交易者的成交價(jià)格為：（5）

式（3）表明，變現(xiàn)過(guò)程中股票價(jià)格由兩部分組成：第一部分為初始時(shí)刻的股票價(jià)格，第二部分為交易對(duì)價(jià)格的累計(jì)永久沖擊成分；式中（5）顯示，瞬時(shí)沖擊只會(huì)在瞬間影響交易者的成交價(jià)格。

3、變現(xiàn)損失的計(jì)算

投資者變現(xiàn)股票時(shí)，在任一時(shí)間區(qū)間內(nèi)，其所持有現(xiàn)金的變化量為股票頭寸的變動(dòng)量與成交價(jià)格之間的乘積：（6）

將式（5）代入式（6），得：（7）

在整個(gè)變現(xiàn)期間（0，T)，投資者所持有現(xiàn)金的變化量為：(8)在T時(shí)刻，投資者剩余頭寸的價(jià)值為：(9)

定義投資者執(zhí)行成本EC為期初資產(chǎn)總值與期末資產(chǎn)總值之差：

(10)將式(8)、(9)代入式(10)：

(11)

由式(11)可以看出，投資者的執(zhí)行成本是一個(gè)與交易策略，，有關(guān)的隨機(jī)變量。 至此，我們已經(jīng)得到在單種股票情況下投資者執(zhí)行成本的表達(dá)式。下面，我們將在股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的情況下計(jì)算投資者的執(zhí)行成本。

5.2單種股票情況下的執(zhí)行成本

1、模型的有關(guān)假設(shè)考慮一名投資者在當(dāng)前零時(shí)刻持有一種股票，其頭寸為，他對(duì)該股票準(zhǔn)備長(zhǎng)期持有的保留頭寸為，一旦由于外生沖擊不得不變現(xiàn)股票時(shí)，投資者將會(huì)在持有期第個(gè)交易日結(jié)束時(shí)仍持有股票頭寸，即將在持有期內(nèi)變現(xiàn)X-Y的股票。將(0,T)期間等分為K個(gè)足夠小區(qū)間，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為，定義在時(shí)刻，k=1,…，K，該投資者持有的股票頭寸為x(k)。則在零時(shí)刻，股票頭寸為x(0)=X，在T時(shí)刻，股票頭寸為x(K)=Y。

顯然，投資者可以通過(guò)選擇在時(shí)刻持有的股票頭寸來(lái)確定交易策略，從而可以將在變現(xiàn)期(0,T)期間隨時(shí)間變化的股票頭寸x(k)等價(jià)于投資者的交易策略，同時(shí)定義在期間內(nèi)頭寸變化為，交易速度，則交易速度同樣也可以等價(jià)為交易策略。假定在（0，T）期間股票價(jià)格，，服從無(wú)漂移的幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

（12）其中為在期間內(nèi)股價(jià)的變動(dòng)。

2、交易對(duì)價(jià)格沖擊的引入

當(dāng)投資者對(duì)組合中的股票進(jìn)行持續(xù)的賣(mài)出交易時(shí)，股票價(jià)格將承受向下的價(jià)格沖擊。這種沖擊可分解為永久沖擊和瞬時(shí)沖擊兩部分：永久沖擊使得股票的均衡價(jià)格發(fā)生改變，在股票價(jià)格決定的模型中表現(xiàn)為價(jià)格運(yùn)動(dòng)的微分方程中增加一負(fù)向漂移項(xiàng)；瞬時(shí)沖擊使得股票的供給和需求在瞬間出現(xiàn)不平衡，股票成交價(jià)格與交易前的市場(chǎng)價(jià)格存在一定的差額，而一旦下一筆相反方向的指令到達(dá)，股票價(jià)格就會(huì)回到原來(lái)的均衡水平

記為永久沖擊系數(shù)，表示每出售一單位的股票使得股票均衡價(jià)格下降的幅度，同時(shí)假定永久沖擊系數(shù)在變現(xiàn)期間為常數(shù)，且永久價(jià)格沖擊為線性的，得到新的價(jià)格運(yùn)動(dòng)微分方程：（13）式（13）中右邊第一項(xiàng)即為投資者的賣(mài)出交易引發(fā)股票均衡價(jià)格的改變，可以看出交易對(duì)價(jià)格的永久沖擊與期間內(nèi)投資者的頭寸變化成正比，比例系數(shù)為。則在時(shí)刻，股票價(jià)格為：（14）

瞬時(shí)沖擊使交易者的成交價(jià)格與股票在該時(shí)刻的價(jià)格之間存在一個(gè)差額，記為瞬時(shí)沖擊系數(shù)，表示每出售一單位的股票在瞬間推動(dòng)股票價(jià)格下降的幅度，同樣假定該系數(shù)在變現(xiàn)期間不發(fā)生改變，且瞬時(shí)價(jià)格沖擊為線性的，得到：

（15）式（15）中右邊第二項(xiàng)即為投資者的賣(mài)出交易使成交價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格之間出現(xiàn)的差異，可以看出這一差異與單位時(shí)間內(nèi)頭寸的變化成正比，比例系數(shù)為。

則在時(shí)刻，交易者的成交價(jià)格為：（16）

式（14）表明，變現(xiàn)過(guò)程中股票價(jià)格由兩部分組成：第一部分為初始時(shí)刻的股票價(jià)格，第二部分為交易對(duì)價(jià)格的累計(jì)永久沖擊成分；式中（16）顯示，瞬時(shí)沖擊只會(huì)在瞬間影響交易者的成交價(jià)格。

3、變現(xiàn)損失的計(jì)算

投資者變現(xiàn)股票時(shí)，在任一時(shí)間區(qū)間內(nèi)，其所持有現(xiàn)金的變化量為股票頭寸的變動(dòng)量與成交價(jià)格之間的乘積：（17）

將式（16）代入式（17），得：（18）

在整個(gè)變現(xiàn)期間（0，T)，投資者所持有現(xiàn)金的變化量為：(19)在T時(shí)刻，投資者剩余頭寸的價(jià)值為：(20)

定義投資者執(zhí)行成本EC為期初資產(chǎn)總值與期末資產(chǎn)總值之差：

(21)將式(19)、(20)代入式(21)：(22)

由式(22)可以看出，投資者的執(zhí)行成本是一個(gè)與交易策略，，有關(guān)的隨機(jī)變量。 至此，我們已經(jīng)得到在單種股票情況下投資者執(zhí)行成本的表達(dá)式。下面，我們將在組合中包含多種股票的情況下計(jì)算投資者的執(zhí)行成本，以便為統(tǒng)一計(jì)算作好準(zhǔn)備。5.3多種股票情況下的執(zhí)行成本

1、模型的有關(guān)假設(shè)考慮一名投資者在零時(shí)刻持有由N種股票組成的組合，為第n種股票的頭寸規(guī)模，則該投資者的初始組合為。他對(duì)組合中股票準(zhǔn)備長(zhǎng)期持有的頭寸為，一旦由于外生沖擊不得不變現(xiàn)股票時(shí)，投資者將會(huì)在持有期第T個(gè)交易日結(jié)束時(shí)保持組合的頭寸為。

定義在時(shí)刻，，，該投資者持有的組合頭寸為。則在0時(shí)刻，組合頭寸為，在T時(shí)刻，組合頭寸為。

由于投資者可以通過(guò)選擇在時(shí)刻持有的組合頭寸來(lái)確定交易策略，從而可以將在變現(xiàn)期(0,T)期間隨時(shí)間變化的組合頭寸等價(jià)于投資者的交易策略，同時(shí)定義交易速度，它也可以等價(jià)為交易策略。

假定組合中的股票價(jià)格服從無(wú)漂移的標(biāo)準(zhǔn)N維幾何布朗運(yùn)動(dòng)

(23)其中，，表示組合中第i種股票在期間內(nèi)價(jià)格變動(dòng)，，，為矩陣中的元素，矩陣A滿足：C 為組合中證券收益的方差－協(xié)方差矩陣。

則在時(shí)刻，投資者所持有組合的價(jià)格向量為：(24)2、交易對(duì)價(jià)格沖擊的引入

與組合中只有一種股票的情況類(lèi)似，首先引入交易對(duì)價(jià)格的永久沖擊，，分別為組合中第i

種股票的永久沖擊系數(shù)，并假定永久沖擊系數(shù)在變現(xiàn)期間為常數(shù)，價(jià)格沖擊方程為線性的，得到新的價(jià)格運(yùn)動(dòng)微分方程：

(25)則當(dāng)引入交易對(duì)價(jià)格的永久沖擊后，時(shí)刻投資者所持有組合的價(jià)格向量為：(26)

同樣引入交易對(duì)價(jià)格的瞬時(shí)沖擊，瞬時(shí)沖擊將使交易者的成交價(jià)格與股票在該時(shí)刻的價(jià)格之間存在一個(gè)差額，記，，為瞬時(shí)沖擊系數(shù)，同樣假定該系數(shù)在變現(xiàn)期間不發(fā)生改變，價(jià)格沖擊方程為線性的，得到：(27)3、變現(xiàn)損失的計(jì)算

投資者變現(xiàn)股票時(shí)，在任一時(shí)間區(qū)間內(nèi)，其所持有現(xiàn)金的變化量為股票頭寸的變動(dòng)量與成交價(jià)格之間的乘積：(28)

則在整個(gè)變現(xiàn)期間，投資者可以獲得的現(xiàn)金總量為：

(29)在T時(shí)刻，剩余頭寸的價(jià)值為，定義投資者的執(zhí)行成本EC為期初資產(chǎn)總值與期末資產(chǎn)總值之差：(30)由式(31)可以看出，投資者的執(zhí)行成本是與交易策略，，有關(guān)的隨機(jī)變量。

5.4的統(tǒng)一表達(dá)式

由于5.2節(jié)中單種股票的情況是5.3節(jié)中多種股票情況的特例，故下面將只給出多種股票情況下的表達(dá)式，該表達(dá)式即為的統(tǒng)一表達(dá)式。

令該投資者執(zhí)行成本的期望和方差分別為E[EC]和V[EC]，則在置信水平1-、持有期T下，該投資者采用交易策略，，將證券頭寸由降至?xí)r的最大可能損失為：(31)

其中為概率分布的分位數(shù)。

式(31)所定義的即為在置信水平、持有期T下，考慮內(nèi)生流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的（LiquidityriskincorporatedValueatRisk,）：

(32)5.5與的一致性

在本章的開(kāi)始已經(jīng)指出，本章所提出的與最大的差別在于引入了流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，即考慮了投資者在未來(lái)變現(xiàn)時(shí)的執(zhí)行成本。顯然，直觀上講，當(dāng)投資者在未來(lái)時(shí)刻不需要變現(xiàn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)與相等。下面將驗(yàn)證是否具有這一特性。

如果投資者在未來(lái)時(shí)刻不需要變現(xiàn)，此時(shí)投資者的初始頭寸應(yīng)等于剩余頭寸，即；并且投資者在(0,T)期間組合頭寸保持不變，有：

(33)將式(33)代入考慮永久沖擊證券價(jià)格的表達(dá)式(26)，得到：(34)將式(34)和成交價(jià)格表達(dá)式(27)代入期末所得到現(xiàn)金總量的表達(dá)式(29)，得到：TC=0(35)

將式(34)、(35)代入執(zhí)行成本的表達(dá)式(30)，得到:(36)從式(36)可以看出，當(dāng)投資者在未來(lái)不需要變現(xiàn)時(shí)，執(zhí)行成本等于期初和期末由于證券價(jià)格變動(dòng)所導(dǎo)致的組合價(jià)值變化，該執(zhí)行成本的期望和方差為：

E[EC]=0(37)

(38)將式(37)、(38)代入(31)的表達(dá)式，得到：(39)

此時(shí),LrVaR

等于組合價(jià)值變化的標(biāo)準(zhǔn)差乘以，而這一表達(dá)式恰恰與VaR的表達(dá)式相同！即，當(dāng)投資者在未來(lái)時(shí)刻不需要變現(xiàn)時(shí)，LrVaR

與VaR

等價(jià)。

需要指出的是，盡管LrVaR比VaR多考慮了內(nèi)生流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，但LrVaR并不一定比VaR大！這是因?yàn)椋篖rVaR考慮了未來(lái)變現(xiàn)時(shí)的執(zhí)行成本，而VaR忽視了該項(xiàng)成本，從這一點(diǎn)而言，LrVaR應(yīng)比VaR大；但是LrVaR

同時(shí)考慮了未來(lái)變現(xiàn)過(guò)程中頭寸減少導(dǎo)致投資者組合整體波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的降低，而VaR始終假定投資者持有初始頭寸，會(huì)將變現(xiàn)過(guò)程中已經(jīng)變現(xiàn)那部分頭寸的波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)也計(jì)算在內(nèi)，高估了投資者所面臨的波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)。

這樣，LrVaR

和VaR

之間的相對(duì)大小是不能確定的。甚至當(dāng)欲變現(xiàn)的頭寸波動(dòng)性較高時(shí)，VaR所高估的波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)會(huì)高于LrVaR所額外考慮的執(zhí)行成本，從而使得LrVaR小于VaR，在下面的分析中將可以看到這一點(diǎn)。

5.6連續(xù)時(shí)間框架下的度量模型

在5.2中，我們假定證券服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上，當(dāng)證券價(jià)格波動(dòng)不大、變現(xiàn)期較短時(shí)，可以對(duì)這一假設(shè)作出簡(jiǎn)化，假定證券服從算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)。在下面的分析中可以看到，這一簡(jiǎn)化為最優(yōu)策略的求解，尤其是解析求解，帶來(lái)極大的便利。

1、相關(guān)設(shè)定與假設(shè)考慮一名投資者在初始零時(shí)刻持有一種證券的頭寸為X，他對(duì)該股票準(zhǔn)備長(zhǎng)期持有的保留頭寸為Y，一旦由于外生沖擊不得不變現(xiàn)股票時(shí)，投資者將會(huì)在持有期第T個(gè)交易日結(jié)束時(shí)仍持有股票頭寸Y，即將在持有期內(nèi)變現(xiàn)X-Y的股票。

定義在t時(shí)刻，，投資者持有的頭寸為x(t)，證券的價(jià)格為p(t)，則有：

由于投資者可以通過(guò)選擇在t時(shí)刻持有的組合頭寸來(lái)確定交易策略，從而可以將在變現(xiàn)期(0，T)期間隨時(shí)間變化的組合頭寸x(t)等價(jià)于投資者的交易策略。

定義交易速度為：

假定證券價(jià)格p(t)服從無(wú)漂移的標(biāo)準(zhǔn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

(40)

由于本文只考慮短期內(nèi)的變現(xiàn)，變現(xiàn)前后價(jià)格變動(dòng)差額相對(duì)較小，從而可以將價(jià)格服從的幾何布朗運(yùn)動(dòng)近似為其服從算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)，即令

其中，為證券在零時(shí)刻的價(jià)格，為原始波動(dòng)率，則在變現(xiàn)期內(nèi)也為常數(shù)。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，下文直接將作為波動(dòng)率。則式可化為：(41)

2、引入交易對(duì)價(jià)格的沖擊

首先引入交易對(duì)價(jià)格的永久沖擊，假定永久沖擊為交易速度的線性函數(shù)，為永久沖擊系數(shù)，此時(shí)價(jià)格運(yùn)動(dòng)的微分方程變?yōu)椋?/p>

(42)

則在t時(shí)刻，證券價(jià)格為：

(43)

同樣，由于瞬時(shí)沖擊的存在，投資者在t時(shí)刻的成交價(jià)格和未成交前的證券價(jià)格之間存在一個(gè)差值，假定瞬時(shí)沖擊為交易速度的線性函數(shù)，得到t時(shí)刻的成交價(jià)格為： (44)

3、執(zhí)行成本的推導(dǎo)1、變現(xiàn)期間現(xiàn)金的變化 投資者對(duì)證券進(jìn)行變現(xiàn)時(shí)，在任一