數學建模投資問題

投資的收益與險問題摘對市場上的多種風險資產和一種無風險資存銀行進組合投資策略的設計需要考慮兩個目標：總體收益盡可能大和總體風險盡可能小，而這兩個目標在一定意義上是對立的。本文我們建立了投資收益與風險的雙目標優(yōu)化模型最大化策略風險使收益最大將原模型簡化為單目標的線性規(guī)劃模型一；在保證一定收益水平下，以風險最小為目標，將原型簡化為了極小極大規(guī)劃模型二；以及引入收益——險偏好系數，將兩目標加權，化原模型為目標非線性模型模型三后分別用的內部函數linprog對同的風險水平，收益水平，以及偏好系數求解三個模型。關鍵詞：組合投資，兩目標優(yōu)化模型，風險偏好

2.題述分3.市場上有種資產（如股票、債券、…）(供投者選擇，某公司有數額為

的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務分析人員對這種產進行了評估，估算出在這一時期內購買的均收益率為，預測出購買的險損失率為。慮到投資越分散，總風險越小，公司確定，當用這筆資金購買若干種資產時，總體風險可用所投資的中大的一個風險來度量。購買要交易費，費率為，且當購買額不超過給定值時，交易費按購買計算（不買當然無須付費）。另外，假定同期銀行存款利率是,且既無交易費又無風險。（

）1、已知

時的相關數據如下：資產

收益率(%)

風險率

交易費(%)

閥值(元)(%)28212325

2.51.55.52.6

124.56.5

1031985240試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定的資金

，有選擇地購買若干種資產或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風險盡可能小。2、試就一般情況對以上問題進討論，并利用以下數據進行計算。資產

收益率(%)

風險率

交易費(%)

閥值(元)(%)9.618.549.423.98.114

425460421.239

2.13.26.01.57.63.4

181407428549270397

i0iiiii0iiii0iiiii0iiii01n31.233.636.811.89359.415

6833.453.340315.5465.323

5.63.12.72.95.15.72.74.57.6

178220475248195320267328131本題需要我們設計一種投資組合方案，使收益盡可能大，而風險盡可能小。并給出對應的盈虧據，以及一般情況的討論。這是一個優(yōu)化問題，要決策的是每種資產的投資額，要達到目標包括兩方面的要凈收益最大和總風險最低，即本題是一個雙優(yōu)化的問題，一般情況下，這兩個目標是矛盾的，因為凈收益越大風險也會隨著增加，反之也是一樣的，所以，我們很難或者不可能提出同時滿足這兩個目標的決方案，我們只能做到的是：在收益一定的情況下，使得風險最小的決策，或者在風險一定的情況，使得凈收益最大，或者在收益和風險按確定好的偏好比例的情況下設計出最好的決策方案，這的話，我們得到的不再是一個方案，而是一個方案的組合，簡稱組合方案。設購買（….n;S表存入銀行金為;支付的交易費為x)，：c()uiiiixii

xiixii

i

i2,L,n,c(x)0對S投的凈收益:

(xrx)iiiiii

（i＝，1，…，）對S投的風險:

xqxiii

i

（＝01，…n=0對投所需資金（即購買金額與需的手續(xù)費c(x之）是fxxxiiiii

（i＝0，1…）投資方案用x=，x，…，）表示，那么，凈收益總額為：

x)R(x)iii總風險為：Q(x

=

min

ii所需資金為：nF(xf()iii所以，總收益最大，總風險最小的雙目標優(yōu)化模型表示為：)(xMx0但是像這樣的雙目標模型用一般的方法很難求解出來的，所以經過分析把次模型轉化為三種較單的單目標模型。3.設模假設該公司在這一時期內是一次性投資；除交易費和投資費用外再無其他的費用開支；在這一期市場發(fā)展基本上是穩(wěn)定的；外界因素對投資的資產無較大影響；無其他的人為干預；社會政策較大變化；公司的經濟發(fā)展對投資無較大影響資產投資是在市場中進行的，市場是復雜多變的，無法用數量或函數進行準確描述的此以上的假設是必要的般說來物價變化具有一定的周期性，社會政策也并非天天改變，公司自身的發(fā)展在穩(wěn)定的情況下才會用額外的資金進行較大的風險投資，市場社會的系統發(fā)展在一個時期內是良性的、穩(wěn)定的，以上假設也是合理的。3.1模型假設投資的風險水平是即要求總風險Q（）限制在k內Q）RQ,x0s.t

k

，則模型可轉化為：

iiiiiiinnniiiiiiinnnni假設投資的收益水平是，即凈收益總額

()

不少于h

()

≥，則模型可轉化為：minQ()s.t

(hF(x)Mx3.3模型假設投資者對風險和收益的相對偏好參數為0模型可轉化為：min

()()s.t.

FM,03.4模求及析由于交易費(x)是分段函數使上述模型中的目標函數或約束條件相對比較復雜一非線性規(guī)劃問題，難于求但意到總資額M相大，一旦投資資產，其投資額x一都會超過，是交易費(x)簡化為線性函數c(x)piii

i從而，資金約束簡化為F()f(x)xiiiiii凈收益總額簡化為R(x()r()]rpiiiiiiiiiiii在實際進行計算時，可設M=1，時y

i

=（

1p

）xii

（＝，1…n可視作投資S的比例

nn以下的模型求解都是在上述兩個簡化條件下進行討論.1）型a的解nn模型a的束條件(x)k即Q(Q()x)iiii0所以此約束條件可轉化為

≤k，xii這時模型a可簡為如下的線性規(guī)劃問題：

（＝，，…，n）rpiiiix,iL,niii

p)xii具體到n=4的形，按投資的收益和風險題中題中給定的數據，模型為：maxx0.19x0.18503

4,0.015xx,0.02614xx1.02x0（i＝0，1…，4）023i利用matlab7.1求模型a輸出結果是{x0->0.158192,->->0.0909091,x4->0.192308}}這說明投資方案為（0.158192，0.2，0.333333，），以得總體風險不超過0.005的最大收益是M當k取同的值險收益的關系圖1.輸出結果列表如下：表1模1的算結果風險水平

最大收益

00.0010.0020.0030.0040.0050.0070.0080.0090.010.0110.0120.0130.0140.0150.0160.0170.0180.0190.020.0210.0220.0230.0240.025

0.050.07550.10110.12660.15210.17760.20660.21120.21550.2190.22230.22560.22880.23210.23540.23870.24190.24520.24850.25180.2550.25830.26160.26490.2673

10.83160.66330.49490.32660.15820000000000000000000

00.040.080.120.160.20.280.320.360.40.440.480.520.560.60.640.680.720.760.80.840.880.920.960.9901

00.06670.13330.20.26670.33330.46670.53330.60.58430.54470.50510.46550.42590.38630.34670.30710.26750.22780.18820.14860.1090.06940.02980

00.01820.03640.05450.07270.09090.12730.12710.02330000000000000000

00.03850.07690.11540.15380.19230.1016000000000000000000

214ii1nnn214ii1nnnnn50.30.250.2益收0.150.10.05

00.0050.01

0.0150.020.025風險a圖1模型1中風k與益的關結合圖1于險和收益沒有特殊偏好的投資者來說該選擇圖中曲線的拐0.2019這時對的資比例見表1的體所示。從表中計算結果可以看出，對低風險水平，除了存入銀行外，投資首選風險率最低的，然后是S和，收益較低；對高風險平，總收益較高，投資方向是選擇凈收益率–p）大的S和S．些與人們的經驗是一的，這里給出了定量的結果．2）型的解模型本是極小大規(guī)劃：minx)iis.t.

r)iii

≥h

(1p)xii

≥0但是，可以引進變量

=

iii0

i，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：min(x)ns.t

xii

i=0,1,2,n

r)xiii

≥h,

(1ii

x≥0i

i具體到n=4的形，按投資的收益和風險題中題中給定的數據，模型為：minx

s.t

0.025xxxxxx13540.05x0.27xx0.185x,014

5x1.01x1.021.065xx0234i

（i＝，，…，5利用matlab7.1求模型b，當h取同的值（們算最小風險和最優(yōu)決策,益水平h取，果如表2所示，風險和收益的關系見圖2.從表2看，對低收益水平，除存入銀行外，投資首選風險率最低的資產，后是

和，收益當然較低。對高收益水平，總風險自然也高，應首選凈收益率（

）最大的

和

。這些與人們的經驗是一致的。表2模2的算結果風險水平

最大收益0.0020.00240.00270.00310.00350.00390.00430.00470.00510.00550.00780.01030.01340.01640.0195

0.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.210.220.230.240.25

0.67020.60430.53830.47240.40640.34050.27450.20860.14260.076700000

0.07830.0940.10970.12540.1410.15670.17240.1880.20370.21940.31140.4120.53410.65630.7784

0.13060.15670.18280.20890.2350.26120.28730.31340.33950.36560.5190.57250.45150.33050.2096

0.03560.04270.04990.0570.06410.07120.07830.08550.09260.09970.05690000

0.07530.09040.10550.12050.13560.15070.16570.18080.19590.21090.09080000

n+1nn+1n0.250.20.150.10.0020.0040.0060.0080.010.012風險

0.0140.0160.0180.02圖2模型2中風與收益h的關結合圖，對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇圖中曲線的拐點0.059，0.2這時對的資比例見表2的體所示。3）型求類似模型的解，我們同樣引進變量x=

ii0

，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：minρx–（–）

ni

r)iiis.t

qxii

n

i=0，，…，

n

(1p)xii

≥i具體到n=4的形，按投資的收益和風險題題中給定的數據，模型為：min

xx0.185x)234s.t

0.025xxxxx5535,4

x1.01x1.02xxx0023i

（i＝，1，…，）利用求解模型c，當ρ取不同的值0.75~0.95們算最小風險最優(yōu)決策輸出結果列表如下：

表3模3的算結果風險水平最收益率0.760.77

0.02480.0248

0.26730.2673

00

0.99010.9901

00

00

000.780.79

0.00920.0092

0.21650.2165

00

0.36930.61470.36920.6148

00

000.80.81

0.00790.0092

0.21070.2165

00

0.31510.52180.14310.36870.61540

000.820.830.840.850.860.870.880.890.90.910.920.93

0.00740.00790.0060.0060.00620.00660.00590.0060.0060.00590.00590.0059

0.20840.21060.20170.20160.20260.20450.20170.20170.20180.20170.20160.2016

000000000000

0.29570.49280.13440.05470.31390.52350.142500.23860.39730.10820.2260.23750.39670.10840.22750.24680.41130.07530.23720.26530.44220.00880.25520.23790.39640.10780.22790.2390.39370.10790.22940.23920.3980.10290.22990.2380.39580.10750.22870.23760.39610.1080.22840.23750.39630.1080.22820.940.950.960.97

0.00610.00590.00170.0054

0.18470.1350.24360.33090.11060.15570.201600.23760.3960.1080.22850.09160.72560.06520.10650.03020.06410.18480.1140.21410.35640.09740.192

從圖5可看出，模型3的險收益關系與模型1和模型的結幾乎完全一致。0.280.260.240.220.2益收

0.180.160.140.120.10.08

00.0050.01

0.0150.020.025風險圖3模型3中風險與收益的系0.0250.020.015險風0.010.00500.750.80.850.9偏好

0.951圖4模3中險與偏好系數的系

益收

0.280.260.240.220.20.180.160.140.120.10.080.750.80.850.9偏好

0.951圖5模型3中益與偏好系數的系四模評價與推廣本文我們建立了投資收益與風險的雙目標優(yōu)化模型，通過控制風險使收益最大，保證收益使風最小，以及引入收益——風險偏好系數，將兩目標模型化為了單目標模型，并使用matlab7.1求解所得結果具有一定的指導意義。但是，本文沒有討論收益和風險的評估方法，在實際應用中還存在資產相關的情形，此時，用大風險代表組合投資的風險未必合理，因此，對不同風險度量下的最優(yōu)投資組合進行比較研究是一步的改進方向。五

總結歷經兩周的時間終于完成了這次課設，在這次實踐課程中，我真的遇到了不少的問題，在同學老師的幫助以及在圖書館和網站搜集資料，解決了所有遇到的問題。尤其在問題分析的過程中是難度最大也是問題最多的環(huán)節(jié)，感覺總是把問題分析的不夠全面透徹，經常顧及這個方面而忽了另一方面，最后我請教了同學，終于完成了問題分析并且建立了模型。在完成這一環(huán)節(jié)后，接來的任務都是我獨立完成，也遇到了不少的困難，但都是較易解決的。通過這次實踐，我確實學了不少，學會了使用，也知道了分析問題的方法。六考文獻[1]MATLAB程設計與實例應用。張錚等。北京：中國鐵道出版社2003.10運籌—方法與應用。吳風平。南京：河海大學出版社2000.12《數學模型及方法火林主編。江西高校出版社1997.10

數學建模教育及競賽。甘筱青主編。南昌：江西高校版社2004.6[5]蕭鐵，面向21世紀課程教材：大學數學數學實驗北京：高等教育出版社赫孝良紅等編著建模競賽題簡析與論文點評交通大學出版社陳叔平，譚永基，一類投資組合問題的建模與分析，學的實踐與認識）7，1999.七附錄functionresult=qiujie()為表格數據1.55.5522.640];42543.2407606.0428421.55498.17.6270685.617833.453.340248311955.7320462.79.45.34.5237.6131];

00增加存銀行r=data(:,1);%%型一求解%result=[];%fora=0:0.01:0.5%result=[result;moxing1(r,q,p,a)];%%result=round(result.*10000)./10000;%%gridon%xlabel('險)%yl