《電路》第13章非正弦周期電流電路和信號的頻譜

第十三章非正弦周期電流電路和信號的頻譜知識結(jié)構(gòu)框圖非正弦周期信號分解為傅里葉級數(shù)非正弦周期信號穩(wěn)態(tài)電路的分析瞬時值、有效值、平均功率分析計算(諧波分析法)對稱三相電路的高次諧波對稱分量分析法2/4/20231重點1.非正弦周期電流和電壓的有效值、平均值;2.非正弦周期電流電路的平均功率；3.非正弦周期電流電路的計算(諧波分析法)。難點1.響應(yīng)的疊加；2.電路中LC對不同次諧波的諧振。2/4/20232與其它章節(jié)的聯(lián)系本章主要討論在非正弦周期電流、電壓信號的作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析和計算方法。非正弦周期信號可以分解為直流分量和一系列不同頻率的正弦量之和，對每一信號單獨作用下的響應(yīng)，與直流電路及交流電路的求解方法相同，應(yīng)用疊加定理將各分量的響應(yīng)疊加得最后結(jié)果，是前面內(nèi)容的綜合。2/4/20233§13-1非正弦周期信號生產(chǎn)實際中，會碰到許多非正弦信號，原因有：①激勵本身是非正弦信號；

在電氣工程、電子信息、自動控制、計算機等技術(shù)領(lǐng)域中經(jīng)常用到非正弦信號，例如交流發(fā)電機的輸出電壓嚴格地說是非正弦量。②電路中含有非線性元件。例如整流電路等。①不是正弦波；②按周期規(guī)律變化。非正弦周期交流信號的特點f(t)=f(t+nT)2/4/20234實踐中常見的非正弦周期信號T2T鋸齒波T尖頂脈沖T整流波數(shù)字電路、計算機的CP等通過顯像管偏轉(zhuǎn)線圈的掃描電流晶閘管的觸發(fā)脈沖等橋式或全波整流電路的輸出波形otiotuT方波otuoti2/4/20235實踐中常見的非正弦周期信號（續(xù)）正弦電壓在鐵心線圈中產(chǎn)生的電流波形三角波PWM調(diào)制器的時間基準信號波形半波otuT階梯波由數(shù)字電路或計算機產(chǎn)生的正弦信號整流波T尖頂波otiT2otuTT2otiTT2控制電壓2/4/20236§13-2周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)1.非正弦周期函數(shù)的分解根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識：若非正弦周期信號

f(t)滿足“狄里赫利條件”，就能展開成一個收斂的傅里葉級數(shù)。系數(shù)a0、ak、

bk

分別為：f(t)=

a0

+∑[akcos(k1t)+bksin(k1t)]k=1∞a0=T1∫0Tf(t)dtak=T2∫0Tf(t)cos(k1t)dtbk=T2∫0Tf(t)sin(k1t)dt2/4/20237根據(jù)給定f(t)的形式，積分區(qū)間也可以改為：積分區(qū)間也可以是[0～2p]或[-p～p]，例如：=p1∫f(t)cos(k1t)d(1t)-pp02pak=p1∫f(t)cos(k1t)d(1t)a0=T∫f(t)dt-T/21T/2ak=T2∫f(t)cos(k1t)dt-T/2T/2bk=T2∫f(t)sin(k1t)dt-T/2T/2=p1∫f(t)sin(k1t)d(1t)-pp02pbk=p1∫f(t)sin(k1t)d(1t)a0=∫f(t)d(1t)12p02p2/4/20238展開式同時存在正弦項和余弦項，在進行不同信號的對比時不方便，而且數(shù)ak、bk的意義也不明確。將展開式合并成電工技術(shù)中更為適用的形式

—余弦級數(shù)：則f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(k1t+k)式中：A0=

a0Akm=ak2+

bk2k=arctgak

-bkf(t)=

a0+∑[akcos(k1t)+bksin(k1t)]k=1∞令

ak=

Akmcos

kbk=-Akmsink

2/4/20239①

A0

是f(t)的恒定分量，或稱為直流分量。②k=1的項Amcos(1t+1)

具有與f(t)相同的頻率，稱基波分量?；ㄕ糵(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。③

k≥2的各項，分別稱為二次諧波，三次諧波等。統(tǒng)稱高次諧波。Akm=ak2+

bk2k=arctgak

-bkf(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(k1t+k)2/4/2023102.非正弦周期信號的頻譜

f(t)中各次諧波的幅值和初相不同，對不同的f(t)，正弦波的頻率成份也不一定相同。為形象地反映各次諧波的頻率成份，以及各次諧波幅值和初相與頻率的關(guān)系，引入振幅頻譜和相位頻譜的概念。振幅頻譜：

f(t)展開式中Akm與

(=k1)的關(guān)系。反映了各頻率成份的振幅所占的“比重”，因k是正整數(shù)，故頻譜圖是離散的，也稱線頻譜。相位頻譜：指k與的關(guān)系。f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(k1t+fk)2/4/202311鋸齒波的振幅頻譜圖今后若無說明，均指振幅頻譜。iotI-IT/2-T/2Ti(t)=p2Icos(1t-90o)+21cos(21t+90o)+31cos(31t-90o)+41cos(41t+90o)+鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為o121314151Ikm2IpI2pI3pI4p2/4/202312(1)若f(t)是偶函數(shù)即滿足

f(t)=f(-t)(2)若f(t)是奇函數(shù)outT/2-T/2則ak=0，只求bk即可：A0=T2∫0f(t)dtT/2ak

=T4∫0f(t)cos(k1t)dtbk

=T4∫0f(t)sin(k1t)dtiotT-T/2T/2T/2T/2即滿足

f(-t)=-

f(t)則bk=0。3.波形特征及其與級數(shù)分解的關(guān)系2/4/202313(3)若f(t)為“鏡”對稱

滿足

f(t)=-

f(t±T/2)則a2k=

b2k

=0,

otf(t)T/2T移動半個周期，得另半個周期的鏡像知A0是f(t)在一個周期內(nèi)與橫軸圍成的面積。t1A由A0=T1∫0Tf(t)dt所以即使f(t)不是“鏡”對稱，只要它的正、負半周與橫軸圍成的面積相等，就有A0=0。另外，對某些f(t)，求A0時也可以不用積分。①無直流分量；展開式中②不含偶次諧波。又稱奇諧函數(shù)。2/4/202314(4)若f(t)為半波對稱即滿足f(t)=

f(t±T/2)對某些f(t)，適當移動縱坐標(另選一個計時起點)，就變?yōu)榕己瘮?shù)或奇函數(shù)。

Akm與計時起點無關(guān)，由于ak、bk與計時起點有關(guān)，所以k與計時起點有關(guān)，但各次諧波的相對位置不變。也可以先移坐標軸，待求得系數(shù)后，再找到原函數(shù)的系數(shù)。otuT/2-T/2TT是整流電源周期即展開式中不含奇次諧波。則a2k+1

=

b2k+1

=02/4/202315例：求右圖方波的傅里葉級數(shù)展開式及頻譜。矩形波電流在一個周期內(nèi)的表達式為:解：i(t)=Im

，0＜t＜T/20

，T/2＜t＜Toti(t)T/2ImTt2ppI0=T∫0i(t)dtT1=T∫0Im

dtT/21=2Im直流分量:基波、諧波分量:bk

=p∫0i(t)sin(kwt)d(wt)2p1

=p∫0Im

sin(kwt)d(wt)p1=0k

為偶數(shù)kp2Imk

為奇數(shù)=Imkp[1-cos(kp)]2/4/202316ak

=p∫0Im

cos(kwt)d(wt)p1oti(t)T/2ImTt2pp=Imkpsin(kwt)0p=0i(t)=2Im(sint

+31+2Impsin3t+51sin5t+…)f(t)=

a0+∑[akcos(k1t)+bksin(k1t)]k=1∞代入得i(t)的展開式為(k為奇數(shù))Ikm=ak2+

bk2=bk

=kp2Im諧波振幅2/4/202317owti(t)i(t)

=2Im(sint

+31+2Impsin3t+51sin5t+…)基波分量三次諧波五次諧波直流分量owti(t)取到5次諧波的情況實用中，根據(jù)展開式的收斂速度和誤差要求取前幾項，高次諧波可以忽略。2/4/202318矩形波的幅度頻譜矩形波的相位頻譜132Impokww3w5w7w11517fkokww3w5w7w-90ok=arctgak

-bk=-90oAkm=bk

=kp2Im2/4/202319§13-3有效值、平均值和平均功率①sin、cos在一個周期內(nèi)的積分為0；回憶三角函數(shù)的性質(zhì)∫02pcoskwt

d(wt)=0∫02pcos2kwt

d(wt)=p例如(k為整數(shù),下同)③正交性質(zhì)(k≠q)∫02pcoskwt

sinqwt

d(wt)=0∫02pcoskwt

cosqwt

d(wt)=0∫02psinkwt

sinqwt

d(wt)=0②sin2、cos2

在一個周期內(nèi)的積分為p；2/4/2023201.有效值則I=T∫0Ti2(t)dt若i(t)

=I0+Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fk)i(t)2=I02+2I0Sk=1∞Ikmcos(kw1t+fk)+[k=1S∞Ikmcos(kw1t+fk)]2

T1∫0TI0

dt

=I0

22第一項第二項T1∫0T2I0Ikmcos(kw1t+fk)dt

=01三角函數(shù)的性質(zhì)2/4/202321k=1S∞[Ikm

cos(kw1t+fk)]2Sk=1∞2Ikmcos(kw1t+fk)

Iqmcos(qw1t+fq)+T1∫0TSk=1∞Ikmcos2(kw1t+fk)

dt

2T1∫0TSk=1∞2Ikmcos(kw1t+fk)(kq)整理上述結(jié)果得到：Sk=1∞Ikmcos2(kw1t+fk)

2=Sk=1∞Ik

2=Iqmcos(qw1t+fq)dt=0正交性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)2/4/202322結(jié)論同理，非正弦周期電壓u(t)的有效值為當給出的電流或電壓是展開的級數(shù)形式時，可分別用以上兩式計算有效值。U0

+2Sk=1∞Uk

2U=周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。I0

+2Sk=1∞Ik

2I=非正弦周期電流的有效值與各分量的關(guān)系為2/4/2023232.平均值IavT1∫0T|

i(t)

|dt相當于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值。def直流量的平均值：Iav

=T1∫0TI0

dt

=I0正弦量的平均值：Iav

=T1∫0T|

Imcost

|dt

0.637Im

0.898I在實際應(yīng)用中，對非正弦周期電流或電壓的平均值也同樣定義為絕對值的平均值?！襏av=T10T|u(t)|dtIavot|i|TT20.637Im2/4/202324對同一非正弦量,不同類型的儀表測量結(jié)果不同:直流儀表(磁電系儀表)表針的偏轉(zhuǎn)角測量結(jié)果是直流量。T1∫0Tidta交流儀表(電磁系儀表)表針的偏轉(zhuǎn)角測量結(jié)果是有效值。全波整流(磁電系儀表)表針的偏轉(zhuǎn)角測量結(jié)果是平均值。T1∫0Ti2dtaT1∫0T|

i

|

dta2/4/2023253.平均功率任意一端口+-uiP=T1∫0Tui

dtP=U0I0+∑k=1∞Uk

Ikcosjk設(shè)i

=I0+Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fik)u

=U0+Sk=1∞Ukm

cos(kw1t+fuk)利用三角函數(shù)的正交性得u與i參考方向關(guān)聯(lián),一端口吸收的平均功率為平均功率=直流分量的功率+各次諧波的平均功率。結(jié)論式中：jk

=fuk

-fik式中，Uk

、Ik

是第k次諧波的有效值；k

是第k次諧波電流與電壓的相位差。2/4/202326§13-4非正弦電流電路的計算①分解；②計算；③疊加。把給定電源的非正弦周期電流或電壓作傅里葉級數(shù)分解。利用直流和正弦交流電路的計算方法，對直流和各次諧波激勵分別計算其響應(yīng)。將以上計算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時值迭加。注意交流各次諧波電路計算可應(yīng)用相量法，迭加時必須用瞬時值；L、C對直流分量、各次諧波分量的“態(tài)度”是不同的：XkL=kwLXkC=kwC1將通過例題說明。2/4/202327例1uS

=[10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t)

+28.28cos(5w1t)+20.20cos(7w1t)

+15.71cos(9w1t)+]V,試求i和P。

k=

0，C有隔直作用k=

1，基波作用

.Im(1)=3

-

j9.45141.40o解：分析步驟①分解；已是級數(shù)形式。②分別求各分量單獨作用的結(jié)果；注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系！

=14.2672.39oAP(1)=

I(1)2R=21Im(1)2R=

305.02WRC+-uSi3W-j9.45W所以I0=

0，P0=

02/4/202328同理可求得：和P(5)、P(7)、P(9)。③用疊加原理，按時域形式疊加k=

3，XC(3)=31XC(1)=-39.45=-3.15W

.Im(3)

=3

-

j3.1547.130o

=10.8346.4oAP(3)=

I(3)2R=21Im(3)2R=

175.93W

.Im(5)、

.Im(7)、

.Im(9)i=14.26cos(w1t+72.39o)P=

P0+P(1)+P(3)+

+P(9)注意：同頻率的電壓電流構(gòu)成有功功率。72.39oA,

.Im(1)

=14.26P(1)

=

305.02W+10.83cos(3w1t+46.4o)+

=669.8WRC+-uSi3W-j9.45W2/4/202329例2：已知u(t)是周期函數(shù)(波形如圖),求理想變壓器原邊電流i1(t)及輸出電壓u2的有效值。L=1/2H,C=125/F2410.5u/Vt/ms012解：

=2/T=2×103rad/su(t)=12+12cost當u=12V作用時，電容開路、電感短路，有：i1=12/8=1.5A,2

:18-+uL-+u2Ci1i2u2=0。當u=12cost作用時：XC

=-1/C=-42×103×125

×10-6-=2/4/202330XL=L=2×103×

210-3=1XC

=-4

2

:18-+L-+C

.I1

.I2-j4j1

.U212V

.I1m

=j4

.U1m=120oj4=-j3A

.U1m=

.Um0oV

.U2m=n1

.U1m=60oVU2==1226=4.243V,i1=1.5+3cos(t-90o)A8-+C

.I1-j412V-+

.U1j4L'副邊阻抗j1

折算到原邊為j4。(Zeq=n2ZL)發(fā)生并聯(lián)諧振2/4/202331例3：已知求Uab、i及功率表的讀數(shù)。2u1=220cost

Vu2=220cost+100cos(3t+30o)V22解：三次諧波作用：4402+1002=Uab=451.22V一次諧波作用：

.Uab(1)=4400oV.I(1)

=60+j20440=6.96-18.4oA

.Uab(3)=10030oV

.I(3)

=60+j60=1.18-15oA10030oi

=6.9622cos(3t-15o)A+1.18P=220×6.96cos18.4測量的是u1的功率=1452.92W-+

.I

.U1j20-+

.U2W**60abcos(t-18.4o)2/4/202332例4：已知L=0.1H，C3=1F，電容C1中只有基波電流，電容C3中只有三次諧波電流，求C1、C2和各支路電流。給定iS=5+20cos1000t+10cos3000tA。LC2C1C3iSi1i2i3200W100W解：

C1、C3“有隔直通交”的作用，所以i2、i3中不含直流分量。I1(0)=5AC1中只有基波電流，說明L和C2對三次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振：

I2(0)=I3(0)=0，C2=w2L1=910mFC3中只有三次諧波電流，說明L、C1、C2對基波發(fā)生串聯(lián)諧振：jwC11+j(wL-1/wC2)L/C2=0C1=980mF2/4/202333基波作用時發(fā)生串聯(lián)諧振i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0

三次諧波作用時發(fā)生并聯(lián)諧振

.I3m(3)

=100+200-j103/3100×10=9-j1030=2.2348oA

.I1m(3)=

.IS(3)-

.I3m(3)-11oALC2C1C3iSi1i2i3200W100WiS=5+20cos1000t+10cos3000tALC2C1C3iSi1i2i3200W100W并聯(lián)諧振i2(3)=0。Z1(3)=100

Z3(3)=200

-j3103=8.672/4/202334iS=5+20cos1000t+10cos3000tA直流作用時I1(0)=5A，I2(0)=I3(0)=0基波作用時i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0

三次諧波作用時的瞬時值i3(3)=2.23cos(3000t+48o)A

i1(3)=8.67cos(3000t-11o)A

按時域形式疊加：i1=5+8.67cos(3000t-11o)Ai2=20cos1000tAi3=2.23cos(3000t+48o)A

.I3m(3)

三次諧波作用時=2.2348oA

.I1m(3)=8.67-11oAi2(3)=0。LC2C1C3iSi1i2i3200W100W2/4/202335*§13-5對稱三相電路的高次諧波設(shè)三相電源滿足uB=u(wt-120o)uC=u(wt+120o)三相發(fā)電機、變壓器、電動機等都帶有鐵心，所以由它們組成的對稱三相電路，其電壓、電流都含有高次諧波分量。uA=u(wt)uowt由于電網(wǎng)中的電壓是鏡對稱的，為奇諧函數(shù)。所以三相電壓的傅里葉級數(shù)展開式中僅含有奇次諧波，不含直流和偶次諧波。則稱uA、uB、uC為對稱非正弦三相電源。iowt平頂波尖頂波2/4/2023361.分析以uA、

uB、uC為例的展開式(k為奇數(shù))：注意到三角函數(shù)的周期性，展開式可以整理為uA

=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)++Um(k)cos(kw1t+fk)

uB

=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t-360o+f3)+Um5cos(5w1t-600o+f5)+Um7cos(7w1t-840o+f7

)uC

=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+360o+f3)+Um5cos(5w1t+600o+f5)+Um7cos(7w1t+840o+f7

)+

+

Um(k)cos[k(w1t-120o)+fk)]+

+

Um(k)cos[k(w1t+120o)+fk)]2/4/202337uA

=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)

+uB

=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)

+Um5cos(5w1t+120o+f5)+Um7cos(7w1t-120o+f7

)

+

uC

=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)

+Um5cos(5w1t-120o+f5)+Um7cos(7w1t+120o+f7

)

+

討論(n=0,1,2,3,

)：①基波、7次、、(k=6n+1)次諧波分別是正序?qū)ΨQ的三相電壓，構(gòu)成正序組；②5次、11次、、(k=6n+5)次諧波分別構(gòu)成負序組；③3次、9次、、(k=6n+3)次諧波分別構(gòu)成零序組。2/4/202338結(jié)論三相對稱的非正弦周期量(奇諧波)可以分解為3類對稱組，即正序?qū)ΨQ組、負序?qū)ΨQ組和零序?qū)ΨQ組。分析計算時，按3類對稱組分別進行。對于正序和負序?qū)ΨQ組，可直接引用第12章的方法和有關(guān)結(jié)論。下面僅分析零序組分量的響應(yīng)。2/4/202339(1)對稱的△電源零序組電壓源等幅同相k=3,9,15,k=6n+3

.UA(k)=

.UB(k)=

.UC(k)=

.US(k)在三角形電源的回路中將產(chǎn)生零序環(huán)流3Zk3=

.I0(k)=

.US(k)

.US(k)Zk

.UAB(k)=

.UBC(k)=

.UCA(k)=

.US(k)-

.I0(k)Zk=0

整個系統(tǒng)中除電源中有零序組環(huán)流外，其余部分的電壓、電流中將不含零序組分量。如在環(huán)流的作用下零序線電壓為零；結(jié)論+