華中科技大學精品課程-微積分(下)

主要(zhǔyào)內(nèi)容一.平面(píngmiàn)及其方程二.直線及其方程精品資料設平面上的任一點為一.平面(píngmiàn)方程π1.平面的點法式(fǎshì)方程解:------平面的點法式方程精品資料注:平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為(chēnɡwéi)平面的方程，平面稱為(chēnɡwéi)方程的圖形．命題(mìngtí)1.平面方程為x,y,z的三元一次方程.解取精品資料所求平面(píngmiàn)方程為化簡得一般地,已知不在同一(tóngyī)直線上的三點Mi(xi,yi,zi),則由M1,M2,M3所確定的平面方程為:------平面的三點式方程(留作習題,自己證之)M1M2M3Mn精品資料取法矢量化簡得所求平面(píngmiàn)方程為解精品資料由平面的點法式(fǎshì)方程:2.平面(píngmiàn)的一般方程知平面方程為x,y,z的三元一次方程.命題2.任何x,y,z的三元一次方程:均表示一張平面,這里A,B,C不同時為零.(1)精品資料證:(2)由于方程(fāngchéng)(1)和(2)為同解方程(fāngchéng),而方程(fāngchéng)(2)表示過M0且與垂直(chuízhí)的平面,所以方程(1)表示一張平面.我們稱方程為平面的一般方程,精品資料平面一般方程的幾種(jǐzhǒnɡ)特殊情況：平面(píngmiàn)Ax+By+Cz=0通過坐標原點；平面通過軸；平面平行于軸；類似地可討論

情形.yoz平面.類似地可討論A=B=0,A=C=0情況.精品資料設平面(píngmiàn)為由平面(píngmiàn)過原點知所求平面方程為解精品資料設平面(píngmiàn)為將三點(sāndiǎn)坐標代入得解3.平面的截距式方程精品資料將代入所設方程(fāngchéng)得------平面(píngmiàn)的截距式方程精品資料設平面(píngmiàn)為由所求平面(píngmiàn)與已知平面(píngmiàn)平行得（向量平行的充要條件）解精品資料化簡得令代入體積式所求平面(píngmiàn)方程為精品資料定義(dìngyì)（通常(tōngcháng)取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.4.兩平面的夾角交線L0L2L1精品資料按照兩向量(xiàngliàng)夾角余弦公式有------兩平面(píngmiàn)夾角余弦公式兩平面位置特征：//精品資料例6研究以下(yǐxià)各組里兩平面的位置關系：解兩平面(píngmiàn)相交，夾角精品資料兩平面(píngmiàn)平行兩平面平行(píngxíng)但不重合．兩平面平行兩平面重合.精品資料例7平面(píngmiàn)通過z軸且與求它的方程(fāngchéng).解或或精品資料解5.平面外一點(yīdiǎn)到此平面的距離作矢量(shǐliàng)P1P0,則作與n方向一致的單位矢量n0,則π精品資料精品資料------點到平面距離(jùlí)公式由此可解釋(jiěshì)平面方程中D的含義.為原點到平面的距離.精品資料定義(dìngyì)空間直線可看成(kànchénɡ)兩平面的交線．二.空間直線方程1.空間直線的一般方程Lπ1π2設平面π1、π2的方程分別為：當精品資料------空間(kōngjiān)直線的一般方程L:注：2.空間(kōngjiān)直線的點向式方程（對稱式方程）設------方向矢量則直線L唯一確定，下面求L的方程.精品資料xyzoLM0M解:方向(fāngxiàng)矢量------直線(zhíxiàn)的點向式方程------直線(zhíxiàn)的對稱式方程或------直線的矢量方程.其中t為參數(shù)...精品資料注:10直線(zhíxiàn)對稱式方程也可以用直線(zhíxiàn)的一般方程來表示.20若l,m,n中有為零的,如l=0,m≠0,n≠0,則方程(fāngchéng)為如此等等.30稱l,m,n為L的一組方向數(shù).方向矢量的余弦稱為直線的方向余弦.*精品資料例8用對稱式方程表示(biǎoshì)直線解在直線上任取一