2024屆江西省上饒市“山江湖”協(xié)作體高三第二次統(tǒng)一檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題

2023屆江西省上饒市“山江湖”協(xié)作體高三第二次統(tǒng)一檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．2．若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）．A． B． C． D．3．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-12，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．34．設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若存在，且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)?緊跟時(shí)代脈搏的熱門?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個(gè)答題板塊中有且僅有三個(gè)答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4329．已知函數(shù)，若曲線上始終存在兩點(diǎn)，，使得，且的中點(diǎn)在軸上，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．11．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．12．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.14．平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.15．某同學(xué)周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí)，拋一枚硬幣兩次，若兩次都是正面朝上，就在家學(xué)習(xí)，否則出去看電影，則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為____________.16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）每年3月20日是國(guó)際幸福日,某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！保?Ⅰ)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕?；(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸福”的人數(shù),求的分布列及．18．（12分）已知橢圓：的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（異于、兩點(diǎn)），當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，四邊形的面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線、的交點(diǎn)為；試問的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為()，將曲線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線.（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.20．（12分）已知，其中．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值．（2）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．21．（12分）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）記，且集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為，正實(shí)數(shù)、滿足，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.2．C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值．【詳解】解：把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上，，，則當(dāng)最大時(shí)，，求得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．3．C【解析】

先研究的展開式的通項(xiàng)，再分中，取和兩種情況求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?，所以，所以，化?jiǎn)得，所以，即令，因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，，又因?yàn)?，所以要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.5．C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象，由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，注意分析函數(shù)的奇偶性，屬于中等題.6．A【解析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，可得出，結(jié)合，得出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由雙曲線可知，焦點(diǎn)在軸上，則雙曲線的漸近線方程為：，由于焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，可得：，∴，即：，，所以雙曲線的漸近線方程為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及雙曲線的漸近線方程.7．B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.【詳解】若，則，故或，當(dāng)時(shí)，直線，直線，此時(shí)兩條直線平行；當(dāng)時(shí)，直線，直線，此時(shí)兩條直線平行.所以當(dāng)時(shí)，推不出，故“”是“”的不充分條件，當(dāng)時(shí)，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷，前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮，后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系，本題屬于中檔題.8．C【解析】

四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對(duì)相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．9．D【解析】

根據(jù)中點(diǎn)在軸上，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，，（）.對(duì)分成三類，利用則，列方程，化簡(jiǎn)后求得，利用導(dǎo)數(shù)求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)，，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因?yàn)?，所以函?shù)在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，?故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，考查分析與運(yùn)算能力，屬于較難的題目.10．A【解析】

設(shè)直線為，用表示出，，求出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出的最小值．【詳解】解：設(shè)直線為，則，，而滿足，那么設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故選：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵，屬于中檔題．11．D【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.12．C【解析】

集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù)，即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)看作點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率，當(dāng)直線過時(shí)，直線的斜率取得最大值，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可得答案.【詳解】畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示，由得點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)表示點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率，當(dāng)直線過時(shí)，直線的斜率取得最大值，此時(shí)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求目標(biāo)函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.14．【解析】

作出平面區(qū)域，可知平面區(qū)域?yàn)槿切?，求出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)三角形的外接圓方程為，將三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：由圖可知，平面區(qū)域?yàn)?，?lián)立，解得，則點(diǎn)，同理可得點(diǎn)、，設(shè)的外接圓方程為，由題意可得，解得，，，因此，所求圓的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓方程的求解，同時(shí)也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15．【解析】

采用列舉法計(jì)算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家學(xué)習(xí)只有1種情況，即（正，正），故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.16．【解析】

設(shè)，判斷為偶函數(shù)，考慮x>0時(shí)，的解析式和零點(diǎn)個(gè)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象，即可得到的范圍.【詳解】設(shè)，則在是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由得，記，，，故函數(shù)在增，而，所以在減，在增，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此的圖象為因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先計(jì)算其逆事件，即人都認(rèn)為不很幸福的概率，再用減去人都認(rèn)為不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機(jī)變量，列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?！钡?，則表示人都認(rèn)為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意，隨機(jī)變量，的可能的取值為；；；所以隨機(jī)變量的分布列為：所以的期望【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，概率分布中的二項(xiàng)分布問題，屬于常規(guī)題型．18．（1）（2）是為定值，的橫坐標(biāo)為定值【解析】

（1）根據(jù)“直線垂直于軸時(shí)，四邊形的面積為1”列方程，由此求得，結(jié)合橢圓離心率以及，求得，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡(jiǎn)后寫出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程，并求得兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】（1）依題意可知，解得，即；而，即，結(jié)合解得，，因此橢圓方程為（2）由題意得，左焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為：，，．由消去并整理得，∴，．直線的方程為：，直線的方程為：．聯(lián)系方程，解得，又因?yàn)椋裕缘臋M坐標(biāo)為定值．【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19．（1）的極坐標(biāo)方程為，普通方程為；（2）【解析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換可得，，可得曲線的普通方程，再運(yùn)用圖像的平移得依題意得曲線的普通方程為，利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)互化的公式可得方程；（2）法一：將代入曲線的極坐標(biāo)方程得，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，根據(jù)，可求得的范圍；法二:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，根據(jù)，可求得的范圍；【詳解】（1），，即曲線的普通方程為，依題意得曲線的普通方程為，令，得曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）法一：將代入曲線的極坐標(biāo)方程得，則，，，異號(hào)，，，；法二:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，則，，，異號(hào)，，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，求解幾何量的取值范圍，關(guān)鍵在于明確極坐標(biāo)系中極徑和極角的幾何含義，直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.20．（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析【解析】

（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出；（2）先求導(dǎo)，再函數(shù)在區(qū)間上遞增，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則令，解得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即極大值為，無極小值；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增，所以在上恒成立，所