Lecture09-Chap07耦合電感與理想變壓器

第七章耦合電感和理想變壓器及其電路分析

7.1耦合電感元件7.2耦合電感的連接和去耦等效7.3含耦合電感電路的時域分析7.4含耦合電感電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析7.5空芯變壓器電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析7.6理想變壓器7.7含理想變壓器的電路分析17.8含理想變壓器的電路分析2理想變壓器耦合電感第七章耦合電感與理想變壓器耦合電感和理想變壓器是R、L、C之外的另兩種理想電路元件，是從實際耦合線圈和實際變壓器抽象出來的。二者都屬于二端口元件（或四端元件），為無源、線性元件。本章介紹這兩種理想元件的特性，以及含兩種元件的電路的分析。當(dāng)2個或多個電感線圈位置較近時，一個線圈中的感應(yīng)磁場會穿越其他線圈，結(jié)果不僅在本身內(nèi)部產(chǎn)生感應(yīng)電壓（自感電壓），也會在其他線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓（稱為互感電壓）。對于電感元件來說，不希望這種互感現(xiàn)象。然而，專門利用互感現(xiàn)象制成的元件也有重要應(yīng)用，包括互感元件和變壓器。本節(jié)先介紹互感元件，也稱耦合電感。第七章耦合電感與理想變壓器7.1耦合電感元件(coupledinductor)

下圖示例一個實際耦合線圈。在磁環(huán)上用漆包線繞制1個線圈，形成耦合電感線圈。第七章耦合電感與理想變壓器第七章耦合電感與理想變壓器理想耦合電感元件是實際耦合線圈的理想化模型，即一種理想電路元件。與線性電感一樣，耦合電感是一種動態(tài)元件。耦合電感線圈是根據(jù)電感線圈間的磁耦合－－互感現(xiàn)象制成的。根據(jù)物理學(xué)的知識，兩個靠近的電感線圈，當(dāng)一個線圈流過變動電流時，除了在此線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓(稱為自感電壓)之外，在另一個電感線圈兩端也將產(chǎn)生感應(yīng)電壓，這種現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象。所產(chǎn)生的感應(yīng)電壓稱為互感電壓。這時說兩線圈發(fā)生了磁耦合(magneticcoupling)。圖7.1-1耦合線圈

第七章耦合電感與理想變壓器一、電感線圈間的磁耦合：先來討論與電感線圈之間的磁耦合，即互感現(xiàn)象，以及相關(guān)的概念。第七章耦合電感與理想變壓器

①當(dāng)線圈1通以電流i1、線圈2開路時：在線圈1中產(chǎn)生自感磁通Ф11，其中有一部分也穿過線圈2，記為Ф21，稱為互感磁通。顯然有，(7.1-1)電流i1(稱為施感電流)在線圈1、線圈2中產(chǎn)生的自感磁通鏈和互感磁通鏈分別為對于線性耦合電感，自感和互感磁通鏈都正比于電流i1，(7.1-3)(7.1-2)式中L1為線圈1的自感系數(shù)，M21是互感系數(shù)，單位也是亨利。1.互感系數(shù)：電流的參考方向與磁通的參考方向符合右手螺旋法則第七章耦合電感與理想變壓器

②同理，當(dāng)線圈2通以電流i2、線圈1開路時：在線圈2中產(chǎn)生自感磁通Ф22，其中有一部分也穿過線圈1，記為Ф12，稱為互感磁通。同樣有，(7.1-4)電流i2(亦稱施感電流)在線圈2、線圈1中產(chǎn)生的自感磁通鏈和互感磁通鏈分別為對于線性耦合電感，自感和互感磁通鏈都正比于電流i2，(7.1-6)(7.1-5)式中L2為線圈2的自感系數(shù)，M12是互感系數(shù)，單位是亨利。第七章耦合電感與理想變壓器式(7.1-3)和(7.1-6)中的互感系數(shù)可寫為可以證明：(7.1-7)對只有兩個線圈的耦合電感，互感系數(shù)統(tǒng)一用M表示，(7.1-8)第七章耦合電感與理想變壓器2.耦合系數(shù)：耦合系數(shù)用于描述兩個線圈相互耦合的緊密程度。定義為(7.1-9)將式(7.1-3)、(7.1-6)代入上式，有(7.1-10)定義式計算式第七章耦合電感與理想變壓器從k定義式，可得由于φ12≤φ22,φ21≤φ11，所以

(7.1-11)k的大小取決于兩線圈的位置和取向。k=1稱為全耦合；k近于1時稱為緊耦合；k值較小時稱為松耦合；k=0時為無耦合，即兩個獨立的電感元件。從式(7.1-10)和(7.1-11)，有(7.1-12)第七章耦合電感與理想變壓器3.互感電壓：

①若施感電流i1是交變的，則除了在線圈1兩端產(chǎn)生自感電壓u11之外，還將在線圈2兩端產(chǎn)生互感電壓u21，(7.1-13)注意，u21的參考方向與φ21成右手螺旋法則。當(dāng)采用關(guān)聯(lián)的電壓、電流參考方向時，電壓的參考方向(亦即繞組中電壓降的參考方向)與磁通的參考方向也符合右手螺旋法則

②同理，若第2個線圈通以交變電流i2，亦在第1個線圈兩端產(chǎn)生互感電壓u12，(7.1-14)u12與φ12成右手螺旋法則。第七章耦合電感與理想變壓器1.磁通鏈方程：當(dāng)兩個線圈同時加有施感電流i1和i2時，則耦合電感線圈中的磁通鏈等于自感磁通鏈和互感磁通鏈兩部分之代數(shù)和。以圖7.1-2所示兩種情況為例。一般情況，兩個線圈同時加有施感電流i1和i2。這時每個線圈中的總磁通鏈和總電壓與施感電流之間的關(guān)系即磁通鏈方程和伏安特性方程。二.耦合電感的磁通鏈方程和伏安特性(VCR)同名端

第七章耦合電感與理想變壓器圖7.1-2磁通相助和磁通相消的耦合電感

第七章耦合電感與理想變壓器或“＋”號表示互感磁通鏈與自感磁通鏈方向一致，互感起“增強”作用；“－”號表示互感磁通鏈與自感磁通鏈方向相反，互感起“削弱”作用。＋、－號的選擇取決于兩線圈中通入的電流的方向及各線圈繞向。(7.1-15)圖a中二施感電流i1、i2在對方線圈內(nèi)部產(chǎn)生的互感磁通與自感磁通方向相同，磁通增強，稱為磁通相助；圖b中二施感電流i1、i2在對方線圈內(nèi)部產(chǎn)生的互感磁通與自感磁通方向相反，磁通削弱，稱為磁通相消。二線圈內(nèi)部總磁通鏈分別如上二式所示?；?qū)憺榈谄哒埋詈想姼信c理想變壓器2.耦合電感的VCR方程：如果兩線圈都有施感電流i1、i2且都是隨時間變化的，則兩個線圈中會有感應(yīng)電壓，每個線圈的感應(yīng)電壓包括自感電壓和互感電壓兩部分。

若各線圈的電壓、電流均采用關(guān)聯(lián)參考方向，則根據(jù)電磁感應(yīng)定律，由磁通鏈方程可得這就是理想耦合電感線圈的伏安關(guān)系式。這是兩個聯(lián)立的線性微分方程組，表明了u1不僅與i1有關(guān)，也與i2有關(guān)。同樣，u2也如此。這兩式體現(xiàn)了線圈間的耦合作用。由此可見，理想耦合線圈，即耦合電感用三個參數(shù)L1、L2、M來表征。(7.1-16)第七章耦合電感與理想變壓器上兩式都表明每個線圈的電壓是自感電壓和互感電壓的疊加。當(dāng)i2=0時，(7.1-16a)式即與(7.1-13)完全相同。而i1=0時，(7.1-16b)式與(7.1-14)式完全相同。必須著重指出，互感電壓項的正負，取決于這一線圈中互感磁通與自感磁通的參考方向是否一致而定。而這兩者是否一致又要取決于兩線圈的相對位置、繞向和電流的參考方向。但在實際情況下，線圈往往是密封的，不能看到具體的情況，并且，要在電路圖中給出線圈繞向也很不方便。為此，引入同名端。第七章耦合電感與理想變壓器

①當(dāng)電流分別從兩線圈各自的某端同時流入(或流出)時，若兩者產(chǎn)生的磁通相助，則這兩端稱為兩互感線圈的同名端。②當(dāng)給某一線圈施加可變電流而另一線圈開路時，每個線圈上均有一感應(yīng)電壓(一個自感電壓、一個互感電壓)，這兩個電壓實際極性的高(或低)電位端稱為同名端。or若施感電流為一正的且為增長的電流(則自感電壓正極性在電流進端，故可定義)，施感電流的進端與互感電壓的正極性端構(gòu)成同名端。

同名端用標志“·”或“*”等符號表示。3.同名端(correspondingterminals)：從磁通角度定義從感應(yīng)電壓角度定義第七章耦合電感與理想變壓器圖7.1-3互感線圈的同名端：a.磁通相助情況

b.磁通相消情況第七章耦合電感與理想變壓器＋－－＋u2u1i1i2L1L2M由于同名端反映了兩線圈間互感電壓與電感電流之間的對應(yīng)關(guān)系，因此在電路圖中就不需要畫出線圈的繞向和磁芯的結(jié)構(gòu)。耦合電感用圖7.1-4表示。圖7.1-4耦合電感的電路符號

對應(yīng)的VCR方程為(7.1-17)此式是在各線圈電流電壓為關(guān)聯(lián)參考方向，二電流由同名端流入的情況下，寫出的。第七章耦合電感與理想變壓器圖7.1-5互感線圈同名端的測定

同名端的測定：第七章耦合電感與理想變壓器實驗：耦合線圈初次級波形的觀測在環(huán)形磁芯上用漆包線繞一個耦合電感，初級60匝，次級30匝，如圖所示。在初級加上999kHz正弦信號，用示波器觀察到正弦波形。在耦合電感的次級上，可以觀察到正弦波形，其幅度約為初級電壓的一半。用雙蹤示波器可以同時觀察耦合電感初級和次級線圈上的正弦電壓波形，它們的相位是相同的。當(dāng)我們改變次級線圈的繞向時，耦合電感初級和次級線圈上電壓波形的相位是相反的。為了區(qū)別這兩種情況，需確定耦合電感的同名端，圖示耦合電感線圈的兩個紅色(或綠色)端鈕是一對同名端。當(dāng)初次級電壓參考方向的正極都在同名端時，它們的相位相同。第七章耦合電感與理想變壓器例7.1-1圖7.1-7(a)所示電路，已知R1=10Ω，L1=5H,L2=2H,M=1H，i1(t)波形如圖7.1-7(b)所示。試求電流源兩端電壓uac(t)及開路電壓ude(t)。

圖7.1-7例7.1-1用圖第七章耦合電感與理想變壓器解由于第2個線圈開路，其電流為零，所以R2上電壓為零，L2上自感電壓為零，L2上僅有電流i1在其上產(chǎn)生的互感電壓。這一電壓也就是d,e開路時的電壓。根據(jù)i1的參考方向及同名端位置，可知第七章耦合電感與理想變壓器在0≤t≤1s時,(由給出的i1(t)波形寫出)第七章耦合電感與理想變壓器在1≤t≤2s時,在t≥2s時,第七章耦合電感與理想變壓器第七章耦合電感與理想變壓器例7.1-2

圖7.1-8所示互感線圈模型電路，同名端位置及各線圈電壓、電流的參考方向均標示在圖上，試列寫出該互感線圈的電壓、電流關(guān)系式(指微分關(guān)系)。

第七章耦合電感與理想變壓器＋－－＋u2u1i1i2L1L2M＋－－＋u2u1i1i2L1L2M＋－－＋u2u1i1i2L1L2M＋－－＋u2u1i1i2L1L2M(a)(b)(c)(d)圖7.1-8例7.1-2用圖第七章耦合電感與理想變壓器解:(a)(b)(c)(d)第七章耦合電感與理想變壓器小結(jié)：線圈電壓＝自感電壓＋互感電壓

1、自感電壓的符號由線圈自身電壓、電流參考方向決定：線圈自身的電壓與電流參考方向相關(guān)聯(lián)，自感電壓取正號；兩者參考方向不一致，自感電壓取負號。

2、互感電壓由兩個線圈電流流入方向決定：電流都從同名端流入，互感與自感同號；電流從異名端流入，互感與自感取反號。第七章耦合電感與理想變壓器三.正弦穩(wěn)態(tài)電路中的耦合電感元件在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，耦合電感的VCR可表示為相量形式，根據(jù)式(7.1-17)，等效電路為(互感電壓用CCVS表示)，(7.1-17)＋－－＋圖7.1-6正弦穩(wěn)態(tài)下耦合電感等效電路

第七章耦合電感與理想變壓器7.2耦合電感的連接和去耦等效

一.耦合電感的串聯(lián)等效

7.2-1互感線圈順接串聯(lián)及其等效電感

1.順向串聯(lián)：＋－－＋u2u1L1L2M－＋ui＋－uiLeq(a)(b)耦合電感中的兩個電感線圈在以下幾種連接下可以進行去耦等效(并不是所有情況都能去耦)。第七章耦合電感與理想變壓器由所設(shè)電壓、電流參考方向及互感線圈上電壓、電流關(guān)系，得式中(7.2-1)因此，兩個有順向串聯(lián)的耦合電感可以用一個自感為Leq的電感線圈等效，如圖(b)。第七章耦合電感與理想變壓器2.反向串聯(lián)：等效電感為7.2-2互感線圈反接串聯(lián)及其等效電感

＋－－＋u2u1L1L2M－＋ui＋－uiLeq(a)(b)(7.2-2)第七章耦合電感與理想變壓器從式(7.2-1)和(7.2-2)可見，兩個無耦合電感串聯(lián)時的等效電感為(7.2-3)順向串聯(lián)取+逆向串聯(lián)取-第七章耦合電感與理想變壓器二.耦合電感的并聯(lián)等效

7.2-3互感線圈同側(cè)并聯(lián)

1.同側(cè)并聯(lián)

L1L2－＋uiMi2i1＋－uiLeq(b)(a)第七章耦合電感與理想變壓器根據(jù)KVL，有由耦合電感VCR(7.2-4)(7.2-5)按照式(7.2-4)，可得(7.2-6)根據(jù)KCL，有(7.2-7)或(7.2-8)第七章耦合電感與理想變壓器(7.2-9)將式(7.2-9)代回式(7.2-4)，可得(7.2-10)從(7.2-6)和(7.2-8)式可解出第七章耦合電感與理想變壓器式中可見，兩耦合電感的同測并聯(lián)可等效為一個電感，如圖(b)。(7.2-11)第七章耦合電感與理想變壓器2.異側(cè)并聯(lián)

7.2-4互感線圈異側(cè)并聯(lián)

L1L2－＋uiMi2i1＋－uiLeq(b)(a)兩耦合電感的異側(cè)并聯(lián)可等效為一個電感，如圖(b)。(7.2-12)第七章耦合電感與理想變壓器從式(7.2-11)和(7.2-12)可見，無耦合時，兩個電感線圈并聯(lián)的等效電感為(7.2-13)同側(cè)并聯(lián)取+異側(cè)并聯(lián)取-第七章耦合電感與理想變壓器三.耦合電感的T型等效

1.同名端為公共端的T型去耦等效

圖7.2-5同名端為共端的T型去耦等效＋－－＋u2u1i2i2L1L2M123＋－－＋u2u1i1i2L1L2M第七章耦合電感與理想變壓器(7.2-14)(7.2-15)根據(jù)耦合電感VCR，有上2式可變換為第七章耦合電感與理想變壓器根據(jù)式(7.2-14)和(7.2-15)，圖7.2-5(a)和(b)可等效為圖c或d(c)(d)1232132.異名端為公共端的T型去耦等效

圖7.2-6異名端為共端的T型去耦等效

第七章耦合電感與理想變壓器＋－－＋u2u1i2i2L1L2M123(a)(b)＋－－＋u2u1i1i2L1L2M第七章耦合電感與理想變壓器耦合電感VCR，變換為，(7.2-16)(7.2-17)第七章耦合電感與理想變壓器(c)(d)根據(jù)式(7.2-16)和(7.2-17)，圖7.2-6(a)和(b)可等效為圖c或d圖7.2-7123＋－u1－＋u2123＋－u1－＋u2第七章耦合電感與理想變壓器(a)(b)123＋－u1－＋u2123＋－u1－＋u2豎直電感：公共端為同名端取+

公共端為異名端取-水平電感

：與豎向電感反號以上討論了耦合電感的兩種主要的去耦等效方法(耦合電感的并聯(lián)可用7.2.3得到)，它們適用于任何變動電壓、電流情況，當(dāng)然也可用于正弦穩(wěn)態(tài)交流電路。應(yīng)再次明確，無論是互感串聯(lián)二端子等效還是T型去耦多端子等效，都是對端子以外的電壓、電流、功率來說的，其等效電感參數(shù)不但與兩耦合線圈的自感系數(shù)、互感系數(shù)有關(guān)，而且還與同名端的位置有關(guān)。去耦等效電路消除了原電路各電感之間的耦合，稱為去耦等效變換。替換后的電路即可作為一般無互感電路來分析、計算(即在分析電路時不必再考慮其耦合作用)，這給分析互感電路帶來不少方便。第七章耦合電感與理想變壓器第七章耦合電感與理想變壓器例7.2-1

求圖7.2-8所示兩個網(wǎng)絡(luò)的等效電感。*4H2H2H1H1H*(a)L1L2M(b)圖7.2-8第七章耦合電感與理想變壓器方法一、用去耦等效電路替換求等效電感。解：第七章耦合電感與理想變壓器方法二、用去耦等效的方法，理解等效過程。M12*L1L2M23L3*（a）選擇3個線圈的電流和電壓參考方向如圖第七章耦合電感與理想變壓器（b）選擇初級、次級線圈電流和電壓參考方向如圖L1L2M第七章耦合電感與理想變壓器方法三、從正弦穩(wěn)態(tài)阻抗計算求等效電感。答案:(a)1H(b)7.3含互感的動態(tài)電路分析（時域分析）

第七章耦合電感與理想變壓器簡單情況的動態(tài)分析：初級線圈回路和次級線圈回路獨立，次級線圈開路或短路的情況。前一種情況，初級線圈只有自感電壓，次級線圈只有互感電壓。初級回路就是普通RL電路，可用三要素公式求解；后一種情況可進行去耦等效。第七章耦合電感與理想變壓器例7.3-1

如圖7.3-1所示電路，t<0時已處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時開關(guān)S閉合，求t≥0時的開路電壓u(t)。2H4H1Hu＋_3A6Ω1Ω2ΩS圖7.3-1第七章耦合電感與理想變壓器解：由于4H電感始終開路，其電流為零，故2H電感中無互感電壓。把2H電感所在電路用諾頓等效為3A電流源與2Ω電阻并聯(lián)，利用三要素公式求解。例7.3-2圖示電路原已穩(wěn)定，t=0時合上開關(guān)。試求之后的電流

i(t)

。第七章耦合電感與理想變壓器去耦等效第七章耦合電感與理想變壓器與其它電感無耦合的電感元件的換路關(guān)系：與另外一個電感有耦合時的換路關(guān)系：例7.3-2圖示電路原已穩(wěn)定，t=0時開關(guān)K閉合，求時的電流和電壓。第七章耦合電感與理想變壓器答案：第七章耦合電感與理想變壓器

例7.4-1

圖7.4-1為含有耦合電感的正弦穩(wěn)態(tài)電路，電源角頻率為ω。試寫出網(wǎng)孔方程和節(jié)點電壓方程。圖7.4-1

7.4含互感電路的正弦穩(wěn)態(tài)(相量法)分析

分析含有耦合電感電路的關(guān)鍵是，要在電感電壓中計入互感電壓，并注意其極性。一.電路方程法：第七章耦合電感與理想變壓器解：1、網(wǎng)孔電流方程：列寫網(wǎng)孔電流方程的方法是：把耦合電感的電壓也作為變量，對各網(wǎng)孔列KVL方程，然后補上耦合電感的VCR，1)對各網(wǎng)孔應(yīng)用KVL，第七章耦合電感與理想變壓器2)設(shè)L1、L2的電壓、均以標記端為正極性端，由耦合電感的VCR，有3)將、代入前面三式，整理后有第七章耦合電感與理想變壓器2.節(jié)點電壓方程：把耦合電感的電流也作為變量，對各節(jié)點列KCL，然后再補上耦合電感的VCR。1)將、也作為變量，列各節(jié)點KCL方程2)耦合電感VCR（、用節(jié)點電壓表示）第七章耦合電感與理想變壓器例7.4-2正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖。設(shè)電源的角頻率為ω，試列寫網(wǎng)孔電流方程。圖7.4-2

第七章耦合電感與理想變壓器解：方法一、1)先將、也作為變量列寫網(wǎng)孔方程2)根據(jù)耦合電感的VCR，并將、用網(wǎng)孔電流表示第七章耦合電感與理想變壓器3)將、表達式代入前式，整理得也可寫為矩陣形式，第七章耦合電感與理想變壓器方法二、由于本題耦合電感有一端相連，因此可以進行去耦等效變換，如下圖所示。對該圖列寫網(wǎng)孔電流方程，直接可得上式結(jié)果。第七章耦合電感與理想變壓器例7.4-3電路如圖，試求以及電路的輸入阻抗。圖7.4-3

第七章耦合電感與理想變壓器網(wǎng)孔1、2的KVL方程為由耦合電感的VCR則網(wǎng)孔電流方程為：第七章耦合電感與理想變壓器從中解出將代入耦合電感的VCR，得電路的輸入阻抗為第七章耦合電感與理想變壓器例7.4-4

圖（a）為有耦合電感的電路，試列寫電路的回路電流方程。

例7-4-4（b）例7-4-4（a）第七章耦合電感與理想變壓器解：設(shè)網(wǎng)孔電流如圖（b）所示，為順時針方向，則回路方程為：注意：列寫有互感電路的回路電流方程是，注意互感電壓的極性和不要遺漏互感電壓。第七章耦合電感與理想變壓器例7.4-5求圖示電路的輸入阻抗，設(shè)信號源角頻率為ω。解一、回路方程L1L2M可解得第七章耦合電感與理想變壓器解二、采用去耦等效L1－MML2－M第七章耦合電感與理想變壓器例7.4-6求圖示正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的等效電感。L1L2MZeq圖7.4-5

第七章耦合電感與理想變壓器解做出原電路的相量模型如圖。設(shè)在端口處施加，網(wǎng)孔方程為第七章耦合電感與理想變壓器可解得于是從阻抗表達式可以看出，該網(wǎng)絡(luò)等效于一個電感線圈，等效電感為，此結(jié)果與例7.2-1(b)結(jié)果一致。例7.4-7

圖7.4-6(a)所示互感電路，已知R1=8.5Ω,ωL1=30Ω,=22.5Ω,R2=60Ω,ωL2=60Ω,ωM=30Ω,=15∠0°V。求電流R2上消耗的功率P2。圖7.4-6例7.4-7用圖第七章耦合電感與理想變壓器第七章耦合電感與理想變壓器解：網(wǎng)孔方程即由耦合電感VCR，代入前兩式并整理，得網(wǎng)孔方程為第七章耦合電感與理想變壓器可解得R2上消耗的功率第七章耦合電感與理想變壓器例7.4-8電路如圖所示，為使負載獲得最大功率，求負載阻抗。j10kj10kj2k10kΩ解只要求出戴維寧等效阻抗即可。將電壓源置零，如下圖j10kj10kj2k10kΩ圖7.4-6

第七章耦合電感與理想變壓器列網(wǎng)孔方程消去，可解得當(dāng)負載阻抗為等效電源內(nèi)阻抗的共扼時，獲得最大功率，故例7.4-9

如圖7.4-7(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中含有互感線圈，已知us(t)=2cos(2t+45°)V，L1=L2=1.5H,M=0.5H，負載電阻RL=1Ω。求RL上吸收的平均功率PL。圖7.4-7含有互感的正弦穩(wěn)態(tài)電路第七章耦合電感與理想變壓器二.用去耦等效分析含有互感的正弦穩(wěn)態(tài)電路：解：利用T形等效為圖b電路，再做出電路b的相量模型如圖c

第七章耦合電感與理想變壓器總電流負載電阻支路電流于是，電阻功率為例7.4-10

圖7.4-8(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知L1=7H,L2=4H,M=2H，R=8Ω,us(t)=20costV，求電流i2(t)。圖7.4-8例7.4-10用圖

第七章耦合電感與理想變壓器第七章耦合電感與理想變壓器解：利用T形等效為圖b電路，再做出電路b的相量模型如圖c

所以7.5空芯變壓器電路的分析

(兩個回路的互感電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析①)第七章耦合電感與理想變壓器

變壓器是電子技術(shù)中經(jīng)常用到的部件，它通常有一個初級(原邊)線圈和一個次級(副邊)線圈。初級線圈接電源形成初級回路(或原邊回路)，次級線圈接負載形成次級回路(或副邊回路)，能量通過磁場的耦合由電源傳遞給負載。變壓器可以用鐵芯(稱為鐵芯變壓器)，也可以不用鐵芯(稱為空芯變壓器)。鐵心變壓器的耦合系數(shù)可接近1，屬于緊耦合；空心變壓器的耦合系數(shù)則較小，屬于松耦合。變壓器是利用電磁感應(yīng)原理制成的，可以用耦合電感來構(gòu)成它的模型。這一模型常用于分析空芯變壓器電路。本節(jié)說明這類電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析方法。①兩個回路由耦合電感相聯(lián)系。圖7.5-1空芯變壓器電路模型

(兩個回路的互感電路)

第七章耦合電感與理想變壓器當(dāng)變壓器磁芯工作在線性區(qū)時，其電路模型如圖。其中R1、R2分別為變壓器初級、次級繞組的電阻，ZL為負載阻抗。由KVL，得第七章耦合電感與理想變壓器一、方程法(回路法)分析：(7.5-1)令(7.5-2)(變壓器原邊回路阻抗)(變壓器副邊回路阻抗)則網(wǎng)孔方程為(7.5-3)第七章耦合電感與理想變壓器可以解出(7.5-4)(7.5-5)式中：是副邊折算到原邊的引入阻抗；是原邊折算到副邊的引入阻抗；則是副邊的開路電壓。第七章耦合電感與理想變壓器二、等效法(初級、次級等效電路)：1、初級等效電路從式(7.5-4)可得由電源端看進去的輸入阻抗為，(7.5-6)由此可見，輸入阻抗由兩部分構(gòu)成：即初級回路阻抗；次級回路在初級回路中的反映阻抗，其大小等于除以次級回路阻抗。圖7.5-2初級等效電路

第七章耦合電感與理想變壓器當(dāng)時，亦即次級開路時，；當(dāng)時，在輸入阻抗中即增加了反映阻抗這一項。這就是說，次級回路對初級回路的影響可以用反映阻抗來計及。因此，由電源端看進去的等效電路，亦即初級等效電路如圖8.5-2所示。當(dāng)我們只需求解初級電流時，可利用這一等效電路迅速求得結(jié)果。第七章耦合電感與理想變壓器2、次級等效電路從式(7.5-5)第一個等號可見，等效電路如下，圖7.5-3次級等效電路

(7.5-7)第七章耦合電感與理想變壓器3、次級戴維寧等效電路從式(7.5-5)第二個等號可見，是次級斷開時的初級電流相量。因而次級回路又可等效如下，圖7.5-4次級戴維寧等效電路

(7.5-8)第七章耦合電感與理想變壓器可見，次級等效電路中的阻抗也由兩部分構(gòu)成：次級回路阻抗和初級在次級回路的反映阻抗，這一反映阻抗等于除以初級回路阻抗。次級戴維寧等效電路也可由戴維寧定理得到。負載斷開后的相量模型如圖7.5-5(a)所示。由圖可知圖7.5-5(a)求開路電壓用圖

而故注意，是次級斷開時的初級電流相量，計算時不考慮次級對初級的反映阻抗。第七章耦合電感與理想變壓器(b)求等效內(nèi)阻抗用圖求戴維寧等效電路的等效內(nèi)阻抗時，把電路中的電壓源短路，在斷開處施加電源（如圖7.5-5b)，再求c、d端輸入阻抗即可。根據(jù)反映阻抗的概念，可知次級回路阻抗cd(c)次級等效電路

故次級等效電路如圖8.5-5(c)所示。初級回路對次級回路的反映阻抗第七章耦合電感與理想變壓器此式正是(7.5-8)。當(dāng)只求次級回路電流時，用反映阻抗的概念可以很快求得。例7.5-2（例7.4-6）圖7.5-7(a)所示互感電路，已知R1=8.5Ω,ωL1=30Ω,=22.5Ω,R2=60Ω,ωL2=60Ω,ωM=30Ω,=15∠0°V。求電流R2上消耗的功率P2。圖7.5-7例7.5-2用圖

第七章耦合電感與理想變壓器解用初、次級等效電路第七章耦合電感與理想變壓器當(dāng)然也可用方程法求解。例7.5-3

圖7.5-8(a)所示電路，已知

=10∠0°V，ω=106rad/s，L1=L2=1mH,C1=C2=1000pF,R1=10Ω,M=20μH。負載電阻RL可任意改變，問RL等于多大時其上可獲得最大功率，并求出此時的最大功率PLmax及電容C2上的電壓有效值UC2。圖7.5-8例7.5-3用圖

第七章耦合電感與理想變壓器解自22′處斷開RL,第七章耦合電感與理想變壓器第七章耦合電感與理想變壓器當(dāng)然也可用方程法求解。7.6理想變壓器一.理想變壓器的三個理想條件

理想變壓器多端元件可以看作為互感多端元件在滿足下述3個理想條件極限演變而來的。條件1：耦合系數(shù)k=1,即全耦合。條件2：自感系數(shù)L1、L2無窮大但L1/L2等于常數(shù)。由(8.1-10)式并考慮條件1，可知也為無窮大。此條件可簡說為參數(shù)無窮大。條件3：無損耗。第七章耦合電感與理想變壓器實際變壓器是一種利用磁耦合原理實現(xiàn)能量和信號傳輸?shù)亩喽穗娐吩诟鞣N電氣及電子系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用。為了建立實際變壓器的電路模型，引入理想變壓器(idealtransformer)元件。二.理想變壓器的主要特性

圖7.6-1變壓器示意圖及其電路符號

第七章耦合電感與理想變壓器理想變壓器與耦合電感元件的符號相同(這是由于實際變壓器常用來耦合線圈實現(xiàn))，但它只有唯一的一個參數(shù)---n。＋－－＋u2u1i1i2n:1(b)第七章耦合電感與理想變壓器(7.6-1)(7.6-2)(7.6-3)設(shè)i1、i2從同名端流入且u1、i1和u2、i2取關(guān)聯(lián)參考方向，令則初、次級磁通鏈分別為，1.變壓關(guān)系

(7.6-4)第七章耦合電感與理想變壓器或稱為匝數(shù)比(turnsratio)或變比(transformationratio)。2.變流關(guān)系

圖7.6-2變流關(guān)系第七章耦合電感與理想變壓器(7.6-5)設(shè)電流初始值為零并對(7.6-5)式兩端作0～t的積分，得而L1→∞＋－－＋u2u1i1i2(7.6-6)第七章耦合電感與理想變壓器或式(7.6-4)和(7.6-6)即理想變壓器的伏安特性(VCR)。從VCR可見：

理想變壓器次級短路相當(dāng)于初級亦短路；次級開路相當(dāng)于初級亦開路。

故第七章耦合電感與理想變壓器(7.6-8)在正弦穩(wěn)態(tài)下，理想變壓器VCR可寫為(7.6-7)理想變壓器不消耗能量，也不貯存能量，所以它是不耗能、不貯能的無記憶多端電路元件。功率：(7.6-9)3.變換阻抗關(guān)系

圖7.6-3推導(dǎo)理想變壓器變換阻抗關(guān)系用圖

第七章耦合電感與理想變壓器(7.6-10)ZL＋－－＋N1N2利用調(diào)節(jié)變壓器的匝數(shù)比可實現(xiàn)阻抗匹配。在功率放大電路中，一般負載ZL是固定的，不能隨意改變，為了提高輸出功率，采用變壓器耦合，將實際負載ZL變成所期望的值n2ZL，調(diào)節(jié)n容易實現(xiàn)阻抗匹配。（有時會有兩個n值滿足匹配條件，理論上都可以。工程上一般取較小的n，這樣匝數(shù)少，節(jié)省銅線材料。如習(xí)題10-19）另外，注意這里的匹配由于n2使得ZL模改變來達到匹配，所以屬于模匹配的情況。如果想要負載得到最大功率，應(yīng)該調(diào)節(jié)負載實部、虛部，達到共扼匹配。第七章耦合電感與理想變壓器小結(jié)：

(1)理想變壓器的3個理想條件：全耦合、參數(shù)無窮大、無損耗。

(2)理想變壓器的3個主要性能：變壓、變流、變阻抗。

(3)理想變壓器的變壓、變流關(guān)系適用于一切變動電壓、電流情況，即便是直流電壓、電流，理想變壓器也存在上述變換關(guān)系。

(4)理想變壓器在任意時刻吸收的功率為零，這說明它是不耗能、不貯能、只起能量傳輸作用的電路元件。第七章耦合電感與理想變壓器第七章耦合電感與理想變壓器(7.6-11)由于變壓器次級一般接負載，次級對負載來說是電源，故常選參考方向如圖所示。在這樣的參考方向下，VCR為圖7.6-4另一種常用參考方向兩式相乘，得即初級輸入功率等于次級發(fā)出功率。阻抗變換關(guān)系不變。＋－－＋u2u1i1i2n:1第七章耦合電感與理想變壓器7.7.含理想變壓器電路的分析

例1、電路如圖a所示，求電壓u2(t)。一.含理想變壓器的電阻電路分析

1、理想變壓器的阻抗變換：提示：分析含理想變壓器的電路時，常利用阻抗原－副邊折算的方法，將電路等效為無耦合電路進行求解、分析。解：將圖a電路副邊電阻折算到原邊，得等效電路圖b，由此可得利用理想變壓器特性，可知第七章耦合電感與理想變壓器例2、電路如圖a所示，求4Ω電阻獲得的功率。1:2提示：圖示電路不是初級、次級獨立回路，故不能用阻抗變換方法。對于含理想變壓器電路，可利用電路的支路法、網(wǎng)孔/回路法、節(jié)點法等進行求解分析，再加上理想變壓器VCR關(guān)系。第七章耦合電感與理想變壓器2、含理想變壓器電路的一般分析方法：第七章耦合電感與理想變壓器1:2解選用回路法。列回路方程：列變壓器VCR關(guān)系方程：第七章耦合電感與理想變壓器聯(lián)立解方程可得通過4Ω電阻的電流則4Ω電阻獲得功率例7.6-2

圖7.6-6（a）、（b）電路，求ab端等效電阻Rab。圖7.6-6例7.6-2用圖

第七章耦合電感與理想變壓器ab2:1abi1i22:1ii3(a)(b)解：第七章耦合電感與理想變壓器提示：a、b兩圖輸入電阻的不同是因為變壓器下端是否短接決定了3Ω電阻上是否有電流流過。對于圖a，根據(jù)廣義基爾霍夫電流定律可知流過3Ω電阻支路電流為0，所以該支路可以斷開。因此，利用電阻變換