最值導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用

最值

區(qū)間內(nèi)部某點取得區(qū)間端點取得極值點駐點導(dǎo)數(shù)不存在的點第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四、函數(shù)的最值1、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大（小）值●求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的步驟：①求出在區(qū)間內(nèi)部的所有駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點。②計算上述點及端點處的函數(shù)值。③

比較計算出的函數(shù)值的大小，其中最大者就是

函數(shù)的最大值，最小者就是函數(shù)的最小值?！?/p>

若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)，則最值在端點處取得。例

求在上的最大值和最小值。解令得駐點：所求的最大值為最小值為（舍）又2、實際問題中的最值問題在實際問題中，常常需要求在一定條件下，怎樣才能使用料最省，容積最大，平均成本最低，費用最少等問題，這些問題反映到數(shù)學(xué)上，都可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大（?。┲祮栴}。●

利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值時，若所建立的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個駐點

，且從實際問題可知在內(nèi)必定有最值，則就是最值點。例1將邊長為的正方形四角截去四個相等的小解設(shè)所截小正方形的邊長為由題意得：令得駐點：（惟一的駐點）當(dāng)小正方形邊長為時，能使盒的容積最大。正方形，然后折成一個無蓋的盒，問小正方形邊長為多少時，能使盒的容積最大？例2

要制造一個容積為的帶蓋圓柱形鐵桶，問底半徑和高分別為何值時，才能使所用的鐵皮最??？設(shè)鐵桶的表面積為由題知解令得駐點：（唯一的駐點）從而當(dāng)?shù)装霃?，高時所用的鐵皮最省。練習(xí)

制作一個底面為正方形，體積為64的

封閉長方體容器，如何設(shè)計才能使所用材料最?。?/p>

解

設(shè)底面正方形邊長為，高為，長方體的表面積為由題意得：令得惟一駐點：故….（一）經(jīng)濟(jì)分析中常見的函數(shù)1、需求函數(shù)在一定的價格水平下，消費者愿意而且有支付能力購買的商品量。設(shè)需求量，價格，則●

一般地，需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù)。需求量由多種因素決定。其中商品的市場價格是影響它的一個主要因素。需求量：五、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用2、供給函數(shù)在一定的價格水平下，生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并可供出售的商品量。供給量也由多種因素決定。設(shè)供給量，價格，則●

一般地，供給函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)。供給量：●

市場均衡對一種商品而言，若，則稱此商品達(dá)到市場均衡。市場均衡價格：市場均衡數(shù)量：▽例1已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為：供給函數(shù)為：求該產(chǎn)品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量。解由得解之，故從而▽3、成本函數(shù)生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所要投入的各種生產(chǎn)要素的總費用。廠房、設(shè)備等固定資產(chǎn)的折舊，管理者的固定工資等它不隨產(chǎn)品產(chǎn)量的變化而變化。變動成本：原材料費用、工人工資等，它隨產(chǎn)品產(chǎn)量的變化而變化。成本函數(shù)：平均成本函數(shù)：成本：固定成本：4、收入函數(shù)(收益函數(shù))生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入。設(shè)總收入，銷售量，收入函數(shù)：價格，則平均收入函數(shù)：總收入：5、利潤函數(shù)總收入與總成本之差。利潤函數(shù)：平均利潤函數(shù)：●盈利：虧損：盈虧平衡：利潤：例2

設(shè)某商品的需求函數(shù)為：試求該商品的收入函數(shù)，并求銷量為200件時的總收入和平均收入。

由得又解（二）邊際定義：若是經(jīng)濟(jì)問題中的某個可導(dǎo)函數(shù)，則稱邊際函數(shù)值。的邊際函數(shù)。邊際函數(shù)在點處的●

邊際成本：●

邊際收益：●

邊際利潤：▽●邊際函數(shù)的經(jīng)濟(jì)解釋的經(jīng)濟(jì)解釋：函數(shù)在點處，當(dāng)改變一個單位時，相應(yīng)地近似改變個單位。證明：▽例1

某化工廠日生產(chǎn)能力最高為1000噸，每日產(chǎn)品求：當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時的邊際成本。的經(jīng)濟(jì)解釋：解的總成本（單位：元）是日產(chǎn)量（單位：噸）的函數(shù)：▽

例2設(shè)某種家具的需求函數(shù)為

為需求量。試求銷售450件時的邊際收入。其中（單位：元）為家具的銷售價格，（單位：件）解由得收入函數(shù)為邊際收入函數(shù)為故的經(jīng)濟(jì)解釋：▽（三）經(jīng)濟(jì)分析中的最值問題例1

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品千件時的總成本函數(shù)為：（萬元），單位銷售價格為：（萬元/千件），試求：1）產(chǎn)量為多少時可使利潤達(dá)到最大？2）最大利潤是多少？解1）由已知得利潤函數(shù)從而有令得駐點是利潤函數(shù)的最大值點。故當(dāng)產(chǎn)量為千件時可使利潤達(dá)到最大。（2）最大利潤為（萬元）是利潤函數(shù)的的唯一駐點，又該問題確實存在最大利潤。例2某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為（為需求量，為價格）。試求：1）成本函數(shù)，收入函數(shù)；2）產(chǎn)量為多少噸時利潤最大？解1）成本函數(shù)故收入函數(shù)2）利潤函數(shù)令得駐點是利潤函數(shù)的唯一駐點，又該問題確實存在最大利潤.

是利潤函數(shù)的最大值點。故當(dāng)…..例3設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為：其中是產(chǎn)量（單位：臺）.（萬元），求使平均成本最小的產(chǎn)量，并求最小平均成本