數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)

第一篇復(fù)變函數(shù)（串講）總的概念：微分積分級(jí)數(shù)留數(shù)定理極限連續(xù)可導(dǎo)解析C-R條件初等函數(shù)調(diào)和函數(shù)1個(gè)定義，2個(gè)定理，3個(gè)公式泰勒級(jí)數(shù)羅朗級(jí)數(shù)孤立奇點(diǎn)實(shí)函數(shù)的積分第一章解析函數(shù)基本要求：熟練掌握復(fù)數(shù)的各種表示方法及六則運(yùn)算；掌握復(fù)變函數(shù)極其極限、連續(xù)的概念；掌握區(qū)域、鄰域等概念，理解復(fù)變函數(shù)的幾何意義?！?.復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（復(fù)習(xí)）一、復(fù)數(shù)及其表示（復(fù)數(shù)的三種表達(dá)方式）1.直角系：（代數(shù)式）2.極坐標(biāo)系（指數(shù)式）（三角式）歐拉公式二、復(fù)數(shù)運(yùn)算1、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等2、加減法：（代數(shù)式）yx3.乘除法（指數(shù)形式）4.乘方、開方設(shè)：隸模弗公式：乘方：開方：z開n次方，有n個(gè)不同的、獨(dú)立的根。5.共軛運(yùn)算【例】【例】零模為0輻角不確定無窮大模為∞輻角不確定三、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)二、復(fù)變函數(shù)的定義及幾何表示三、復(fù)函數(shù)的極限四、復(fù)函數(shù)連續(xù)的概念一、區(qū)域的概念§2復(fù)變函數(shù)五：解析函數(shù)（重點(diǎn)）正確理解解析函數(shù)的定義，正確判斷函數(shù)的解析性，牢固掌握并熟練運(yùn)用C－R條件；掌握解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；掌握初等函數(shù)的定義、性質(zhì)和解析性；§1復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)=f(z)定義在區(qū)域G上，zG，若存在則稱f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，該極限值稱為=f(z)在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。記做：或復(fù)函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)公式與實(shí)函數(shù)是相同的。RezC-R條件(直角坐標(biāo)系)C-R條件（極坐標(biāo)系）可導(dǎo)的必要條件－C-R條件1）C-R條件是可導(dǎo)的必要條件。說明：2)說明一個(gè)在z點(diǎn)可導(dǎo)的復(fù)函數(shù)，它的實(shí)虛部不再是獨(dú)立的，必須滿足C-R條件所給的關(guān)系。3)可以通過復(fù)函數(shù)的實(shí)虛部求復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)?？蓪?dǎo)的充分條件設(shè)：函數(shù)f(z)＝u(x,y)+iv(x,y)，若在點(diǎn)z(x,y)處，u(x,y)和v(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，并滿足C-R條件，則f(z)＝u(x,y)+iv(x,y)在z點(diǎn)一定可導(dǎo)。即：

一、定義【例】f(z)＝zRez,考察f(z)在z=0點(diǎn)是否解析?二、奇點(diǎn)§2解析函數(shù)三、解析函數(shù)的必要和充分條件四、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系調(diào)和函數(shù)定義共軛調(diào)和函數(shù)區(qū)域G上滿足C-R條件的一對(duì)調(diào)和函數(shù)，稱為共軛調(diào)和函數(shù)。若2u＝02v＝0則u,v為一對(duì)共軛調(diào)和函數(shù)且已知調(diào)和函數(shù)u(x,y)(作為解析函數(shù)的實(shí)部)求出另一個(gè)調(diào)和函數(shù)v(x,y)(作為解析函數(shù)的虛部)構(gòu)造f(z)＝u+iv解析函數(shù)關(guān)鍵定理：解析函數(shù)的實(shí)部與虛部是一對(duì)共軛調(diào)和函數(shù)。選擇路徑的關(guān)鍵是①簡(jiǎn)單②路徑上被積函數(shù)有定義曲線積分法湊全微分法偏導(dǎo)數(shù)法§3.初等函數(shù)初等函數(shù)：在定義域內(nèi)可用一個(gè)統(tǒng)一的解析表達(dá)式來表示，兩大類單值函數(shù)多值函數(shù)從三個(gè)方面對(duì)初等函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識(shí)1）定義；2）解析性；3）性質(zhì)（與實(shí)函數(shù)的比較）多值函數(shù)(難點(diǎn))1.根式函數(shù)(冪函數(shù)n=z的反函數(shù))是一個(gè)n值函數(shù)主值分支第m個(gè)單值分支2.對(duì)數(shù)函數(shù)(e=z的反函數(shù))對(duì)數(shù)函數(shù)為無窮多值的函數(shù)k=0,=lnz=ln|z|+iargz主值分支實(shí)函數(shù)對(duì)數(shù)3.一般冪函數(shù)=z

a

a為任意復(fù)數(shù)a=n(整數(shù))

=zn冪函數(shù)(單值)(有理數(shù))m值函數(shù),m≥2a其它無窮多值【例1】計(jì)算:(1)Ln(sini)，(2)21+i，

（3）i1/i【例2】解sinz的零點(diǎn)(解方程:sinz=0)第二章Cauchy定理Cauchy積分公式本章主要從積分角度來討論解析函數(shù)的性質(zhì)主要內(nèi)容:一個(gè)定義,兩個(gè)定理,三個(gè)公式§1復(fù)積分的概念及性質(zhì)分割、求和、取極限一個(gè)復(fù)積分等價(jià)于兩個(gè)二元的實(shí)的曲線積分一、定義另一種觀點(diǎn)：用實(shí)積分求復(fù)積分的解題步驟：①建立曲線方程②找到曲線上被積函數(shù)和積分元的表達(dá)式③將二元函數(shù)的線積分化為一元函數(shù)的定積分例：求(n為整數(shù))C:|z-a|=≠0復(fù)函數(shù)滿足什么條件時(shí)積分與路徑無關(guān)。

單連通域復(fù)連通域§2.Cauchy定理一、單連通區(qū)域的Caucy定理積分與路徑無關(guān)二、復(fù)連通區(qū)域的Caucy定理三、不定積分、原函數(shù)

§3Cauchy積分公式一、Cauchy積分公式：【例】§4Cauchy積分公式的主要推論【例】求導(dǎo)數(shù)公式：兩個(gè)定理單連域Cauchy定理復(fù)連域三個(gè)公式Cauchy積分公式（有界區(qū)域）高階導(dǎo)數(shù)公式牛－萊公式一個(gè)定義

復(fù)積分【例】?jī)缂?jí)數(shù)1、定義：2、斂散性阿貝爾第一定理：若冪級(jí)數(shù)在z1點(diǎn)收斂，則此級(jí)數(shù)在以z0為心，|z1-z0|為半徑的圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。推論：若在z2點(diǎn)發(fā)散，則此冪級(jí)數(shù)一定在以z0為心，|z2-z0|為半徑的圓外發(fā)散。第三章泰勒展開和羅朗展開4.冪級(jí)數(shù)的解析性(1)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)是一個(gè)解析函數(shù)。(2)冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)可做逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微分運(yùn)算，且運(yùn)算結(jié)果收斂半徑不變。5、冪級(jí)數(shù)的乘積公式§2解析函數(shù)的泰勒展開一、泰勒定理若f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析，z0∈G,只要圓:│z-z0│≥

R

含于G內(nèi)，則f(z)在圓內(nèi)任意一點(diǎn)z可展為冪級(jí)數(shù)

其中：C為閉圓:│z-z0│≥R的邊界，方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向?2：收斂半徑：R=LL：展開中心到被展函數(shù)離z0最近的奇點(diǎn)的距離展開的三要素：展開中心，收斂半徑，展開系數(shù)?1：展開中心：題目中給定?3：展開系數(shù)由不同的展開方法求出1、直接展開法利用：基本展式2、間接展開法理論依據(jù)：泰勒展開的唯一性出發(fā)點(diǎn)：基本展式方法一、變量變換方法二、算術(shù)運(yùn)算法方法三、分析運(yùn)算法微分法：積分法：§3羅朗展開一、羅朗定理：若f(z)在環(huán)域G：R1<|z-z0|<R2中單值解析，則對(duì)于環(huán)域內(nèi)的任何z點(diǎn)，f(z)可以展為冪級(jí)數(shù)C是G內(nèi)任意一條包圍內(nèi)圓的閉合曲線。積分沿路徑正方向R2R1C1CC21)同一函數(shù)，同一展開中心，在不同區(qū)域的展式是不同的。2)展式中指標(biāo)k的處理是靈活的。3)羅朗級(jí)數(shù)并不一定能反應(yīng)展開中心的奇異性只有在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域作羅朗展開時(shí)，所得的羅朗展式才能反應(yīng)此孤立奇點(diǎn)的奇異性。二、羅朗展開方法：主要為間接展開【例】在展開單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)的定義奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)的分類定義：若f(z)在孤立奇點(diǎn)z0去心鄰域（0＜|z-z0|<R)內(nèi)，羅朗展式為(1)沒有負(fù)冪項(xiàng)——稱z0為f(z)的可去奇點(diǎn)(2)有有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)（m項(xiàng)）—

z0為f(z)的m階極點(diǎn)(3)有無限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)—

z0為f(z)的本性奇點(diǎn)不存在判斷零點(diǎn)的方法法一：利用零點(diǎn)階數(shù)的定義（m較小）若Φ(z)在z0點(diǎn)解析，且Φ(z0)≠0。則z0是m階零點(diǎn)法二：將函數(shù)g(z)在z0點(diǎn)的泰勒展開作變形【例】g(z)