張厚粲 第三章 集中量數(shù)

第三章集中量數(shù)反應(yīng)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量叫集中量數(shù)。常用的集中量數(shù)包括

算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等等。第一節(jié)算數(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（arithmeticaverage

）一般簡(jiǎn)稱(chēng)為平均數(shù)（average）或均數(shù)、均值（mean）。一般用Ｍ，或者用表示。算術(shù)平均數(shù)是最常用的集中量。算術(shù)平均數(shù)→平均數(shù)或均數(shù)、均值（一）為分組數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)的方法一、平均數(shù)的計(jì)算表示原始分?jǐn)?shù)的總和，N表示個(gè)數(shù)

由上述公式可得算術(shù)平均數(shù)的幾個(gè)重要特點(diǎn)=0如果數(shù)據(jù)的數(shù)目以及每個(gè)觀測(cè)值都很大時(shí)么應(yīng)用公式比較麻煩。要用估計(jì)平均數(shù)。AM為估計(jì)平均數(shù)N

數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)二用估計(jì)平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一種集中量。它是“真值”（truescore）的最佳估計(jì)值。真值是反映某種現(xiàn)象的真實(shí)水平的分?jǐn)?shù)。由于測(cè)量過(guò)程中的各種偶然因素的影響，真值往往很難得到。在實(shí)際測(cè)量中，往往采用“多次測(cè)量，取平均數(shù)”的方法，用平均數(shù)去估計(jì)真值。原理推導(dǎo)三、平均數(shù)的意義算術(shù)平均數(shù)具備一個(gè)良好的集中量所應(yīng)具備的一些特點(diǎn)：反應(yīng)靈敏有公式嚴(yán)密確定簡(jiǎn)明易懂適合代數(shù)運(yùn)算抽樣變動(dòng)影響不大等等，因此是一個(gè)最常用的集中量。主要不足：容易受兩極端數(shù)值的影響一組數(shù)據(jù)中有模糊不清的數(shù)值時(shí)無(wú)法計(jì)算。三、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)三、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)同質(zhì)性原則：算術(shù)平均數(shù)只能用于表示同類(lèi)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。平均數(shù)與個(gè)體數(shù)值相結(jié)合的原則：在解釋個(gè)體特征時(shí)，既要看平均數(shù)，也要結(jié)合個(gè)體的數(shù)據(jù)。平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合原則：描述一組數(shù)據(jù)時(shí)既要分析其集中趨勢(shì)，也要分析離散程度。四計(jì)算和應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的原則第二節(jié)中數(shù)與眾數(shù)一中數(shù)中數(shù)（median）又稱(chēng)為中點(diǎn)數(shù)，中位數(shù)。是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中位于中間位置的數(shù)。中位數(shù)是常用集中量的一種。一般用Md或Mdn表示。（一）未分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法1.一組數(shù)據(jù)中無(wú)重復(fù)數(shù)值的情況（1）數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則Md為位置的那個(gè)數(shù)（2）數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則Md為居于中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即2.一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況（1）當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒(méi)有位于數(shù)列中間時(shí)，求中數(shù)的方法與無(wú)重復(fù)數(shù)據(jù)時(shí)求中數(shù)的方法相同（2）當(dāng)重復(fù)數(shù)值位于數(shù)列中間，數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)。（3）當(dāng)重復(fù)數(shù)值位于數(shù)列中間，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)。次數(shù)分布表計(jì)算法74.457473.5573.172.6572.271.7571.370.8570.469.9569.51110987654321表3-152名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)次數(shù)分布表1371221324045485052累積頻數(shù)145－5224591185322頻數(shù)f合計(jì)50－55－60－65－70－75－80－85－90－95－成績(jī)由下至上累積頻數(shù)計(jì)算公式公式中:Lb為中位數(shù)所在組的精確下限

fb為中位數(shù)所在組下限以下的累積頻數(shù)

n為數(shù)據(jù)總和

fmd為中位數(shù)所在組的頻數(shù)

i為組距表3-252名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)計(jì)算表1371221324045485052累積頻數(shù)1455224591185322頻數(shù)f合計(jì)505572.2736065707580859095計(jì)算成績(jī)由上至下累積頻數(shù)計(jì)算公式公式中:La為中位數(shù)所在組的精確上限

fa為中位數(shù)所在組上限以上的累積頻數(shù)

n為數(shù)據(jù)總和

fMd

為中位數(shù)所在組的頻數(shù)

i為組距成績(jī)頻數(shù)f累積頻數(shù)計(jì)算95229028538057587011659605554502451合計(jì)5272.273成績(jī)頻數(shù)f累積頻數(shù)計(jì)算95229024853780512758207011316594060545554495025145152合計(jì)52中數(shù)總的估計(jì)原則首先找出中數(shù)所在的位置如果出現(xiàn)特殊情況：如出現(xiàn)重復(fù)數(shù)據(jù)或者數(shù)據(jù)不清晰等，應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)的情況進(jìn)行具體分析，運(yùn)用相應(yīng)的公式計(jì)算。(二)中數(shù)的特點(diǎn)及應(yīng)用中數(shù)是根據(jù)全部數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)來(lái)確定其位置的，意義簡(jiǎn)明，對(duì)按順序排列的數(shù)據(jù)來(lái)講，計(jì)算中位數(shù)也比較容易。中數(shù)不受兩端極端數(shù)據(jù)的影響，但反應(yīng)不靈敏，也不適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算的要求。一般用于下列情況：一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)時(shí)；一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)不確切、不清楚時(shí)；資料屬于等級(jí)性質(zhì)時(shí)。二、眾數(shù)眾數(shù)（mode）又稱(chēng)為范數(shù)、密集數(shù)、通常數(shù)，用Mo表示，有兩種定義：眾數(shù)也是一種集中量，也可用來(lái)表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。（一）眾數(shù)的計(jì)算方法

觀察法尋找粗略眾數(shù)未分組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù)。次數(shù)分布表中，頻數(shù)最多那一組數(shù)據(jù)的組中值，即為眾數(shù)。公式法計(jì)算理論眾數(shù)的近似值

用公式計(jì)算的眾數(shù)稱(chēng)為理論眾數(shù)。一般在心理與教育統(tǒng)計(jì)中常用的公式有皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)公式和金氏插補(bǔ)法公式。皮爾遜經(jīng)驗(yàn)公式金氏插補(bǔ)法皮爾遜經(jīng)驗(yàn)公式只有當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時(shí)才能使用。當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)時(shí)，一般用金氏插補(bǔ)法計(jì)算眾數(shù)。MoMMd眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)眾數(shù)的概念簡(jiǎn)單易懂，但