現(xiàn)代控制理論-7

現(xiàn)代控制理論

ModernControlTheory

(7)俞立浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院第3章能控性和能觀性分析狀態(tài)空間模型建立了輸入、狀態(tài)、輸出之間的關(guān)系。狀態(tài)方程反映控制輸入對(duì)狀態(tài)的影響；輸出方程反映系統(tǒng)輸出對(duì)控制輸入和狀態(tài)的依賴。運(yùn)動(dòng)分析揭示了輸入和初始狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀況的影響問(wèn)題：希望系統(tǒng)有期望的運(yùn)行，能否通過(guò)適當(dāng)?shù)耐獠枯斎雭?lái)實(shí)現(xiàn)呢？有兩個(gè)問(wèn)題：系統(tǒng)是否有這樣的能力？如何來(lái)設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器？前一個(gè)問(wèn)題是分析，提出了能控性概念！后一個(gè)問(wèn)題是設(shè)計(jì)，需要有各種設(shè)計(jì)方法！能控性是系統(tǒng)的一種能力，狀態(tài)能控性和輸出能控；卡爾曼提出了能控性概念，奠定了現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)。作業(yè)：查閱能控性的原始文章報(bào)告文章中的原始思想3.1系統(tǒng)的能控性系統(tǒng)模型定義對(duì)系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)x0，存在某個(gè)時(shí)間段[0,T]上定義的控制信號(hào)u，使得在該控制信號(hào)的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)從x0轉(zhuǎn)移到x(T)=0，則稱狀態(tài)x0是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是完全能控的,也簡(jiǎn)稱為能控的。有時(shí)也稱矩陣對(duì)是能控的。問(wèn)題：如何來(lái)判斷能控性呢？能控性判據(jù)根據(jù)定義，能控性判斷要求找到到使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)的一個(gè)控制律。由運(yùn)動(dòng)分析：

則其中的即：如果系統(tǒng)能控，則線性方程組一定有解。理論上可以證明：以上結(jié)果的逆也是成立的。從而，能控性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性方程組的可解性問(wèn)題！線性方程組

Ax=b對(duì)所有的b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A滿秩。定理3.1.1

系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是

能控性檢驗(yàn)矩陣。特點(diǎn)：只依賴狀態(tài)矩陣A和輸入矩陣B，和時(shí)間長(zhǎng)短無(wú)關(guān)是否滿秩的方法：SISO：計(jì)算的行列式MIMO：計(jì)算行列式MATLAB命令：ctrb(A,B)

SISO：det(ctrb(A,B))

MIMO：det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)’)例3.1.1

檢驗(yàn)由以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的能控性：解能控性檢驗(yàn)矩陣

不是滿秩的故系統(tǒng)不能控。例3.1.2

考慮倒立擺系統(tǒng)線性化狀態(tài)空間模型的系數(shù)矩陣是能控性檢驗(yàn)矩陣

故系統(tǒng)是能控的。解釋！系統(tǒng)的狀態(tài)例3.1.4

考慮能控標(biāo)準(zhǔn)型

能控性檢驗(yàn)矩陣總是非奇異的。故系統(tǒng)是能控的。能控標(biāo)準(zhǔn)形：能控的；特殊的結(jié)構(gòu)。定理

系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是存在常數(shù)T>0，使得n維矩陣是非奇異的。構(gòu)造控制律由能控性定義得到系統(tǒng)的能控性。定理的說(shuō)明1。若系統(tǒng)能控，則對(duì)所有時(shí)間T，都是非奇異的2。若非奇異，則可以構(gòu)造出將非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)的控制律3。若系統(tǒng)能控，由（1），可在任意短時(shí)間內(nèi)將非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)

能控格拉姆矩陣隨著T的減小，減小，增加將隨著T的減小而增大，消耗更大能量！控制律是一個(gè)開環(huán)控制信號(hào)。3.1.3

關(guān)于能控性的一些性質(zhì)

能控性判據(jù)基于狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣。問(wèn)題：不同的狀態(tài)空間模型表示是否有相同的能控性？定理3.1.3

等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。

T是非奇異矩陣和具有相同的秩。問(wèn)題：任意一個(gè)能控系統(tǒng)模型是否可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型呢？定理

單輸入能控系統(tǒng)的任意狀態(tài)空間模型都能等價(jià)變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型

證明系統(tǒng)的狀態(tài)方程系統(tǒng)能控要求尋找一個(gè)狀態(tài)變換使得變換后的方程

是能控的，故其能控性檢驗(yàn)矩陣也是可逆矩陣。因此，要尋找的變換矩陣算法：Step1：確定系數(shù)Step2：構(gòu)造矩陣對(duì)Step3：計(jì)算Step4：計(jì)算變換矩陣優(yōu)點(diǎn)：對(duì)一個(gè)能控系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，只要考慮能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間模型。連續(xù)系統(tǒng)能控性概念可以推廣到離散系統(tǒng)問(wèn)題：一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)模型可以離散化，那么離散化對(duì)系統(tǒng)的能控性有何影響呢？系統(tǒng)能控性連續(xù)系統(tǒng)能控性概念可以推廣到離散系統(tǒng)問(wèn)題：一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)模型可以離散化，那么離散化對(duì)系統(tǒng)的能控性有何影響呢？例3.1.7

考慮由以下狀態(tài)空間模型描述的連續(xù)系統(tǒng)

檢驗(yàn)其離散化狀態(tài)空間模型的能控性。求矩陣指數(shù)函數(shù)利用能控性檢驗(yàn)矩陣當(dāng)，以上能控性矩陣的第2行為零，故能控性檢驗(yàn)矩陣是不滿秩的。離散系統(tǒng)不能控的。原因：采樣周期選取不合適！采樣周期大，使得信息損失過(guò)多，導(dǎo)致性能損失采樣周期小，處理復(fù)雜3.1.4

輸出能控性

控制輸入影響輸出的能力－－輸出能控性。若對(duì)任意的初始輸出y0，存在某個(gè)時(shí)間段[0,T]上定義的控制信號(hào)u，使得在該控制作用下，系統(tǒng)的輸出從初始輸出y0轉(zhuǎn)移到任意給定的最終輸出y(T)，則系統(tǒng)稱為是輸出完全能控的，簡(jiǎn)稱輸出能控。檢驗(yàn)條件：矩陣的秩等于該矩陣的行數(shù)。例3.1.8

判斷以下系統(tǒng)的狀態(tài)和輸