數(shù)學(xué)建模超市進(jìn)貨

超市單個(gè)商品最佳進(jìn)貨方案問題劉鑫、王帥、周洪（目錄）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"一 問題的提出 1\o"CurrentDocument"二問題的假設(shè) 2.\o"CurrentDocument"三 模型的建立及問題分析 4\o"CurrentDocument"四模型的評 11\o"CurrentDocument"五參考文獻(xiàn) 12一、問題的提出商家在考慮怎樣進(jìn)貨的時(shí)候往往會(huì)想到很多因素，制定一條良好的進(jìn)貨方案，這也是一個(gè)比較棘手的問題。這不僅要能最大的滿足商家自己的利益，又要滿足廣大顧客的需求。商家的良好的進(jìn)貨策略不僅可以滿足顧客的需要，而且可以使商家獲取最大利潤。然而不合理的進(jìn)貨策略一方面可能使貨物堆積，造成浪費(fèi)；另一方面，進(jìn)貨量不足無法滿足消費(fèi)者需求。最終導(dǎo)致商家利潤減少甚至虧損。所以我們不禁要問怎樣的進(jìn)貨策略才可以既滿足顧客的需要，又保證商家自己獲得最大利潤？現(xiàn)在,不妨只考慮其中一種商品的銷售和進(jìn)貨情況從而確定最佳進(jìn)貨策略。問題的假設(shè)分為A、B、C三種情況，A．假設(shè)需求是隨機(jī)的，不考慮中斷（缺貨）損失的情況下，我們所假設(shè)的模型具有以下特點(diǎn)：1．不允許缺貨，或缺貨損失費(fèi)為無窮；2．當(dāng)庫存降為零后，可以立即得到補(bǔ)充；3．需求是連續(xù)的，均勻的；4、每次訂貨量不變，訂貨費(fèi)不變；5'單位存儲(chǔ)費(fèi)不變?；诖四Ｐ?，我們假設(shè)：D為需求率，是指單位時(shí)間內(nèi)對某種物品的需求量；Q為訂貨量，表示在一次訂貨中，包含某種貨物的數(shù)量；C為商品每次的訂貨費(fèi)；Cp為單位商品、單位時(shí)間的存儲(chǔ)費(fèi)；t為訂貨間隔，表示兩次訂貨之間的時(shí)間間隔。B、假設(shè)需求隨機(jī)的，考慮中斷損失情況，我們所假設(shè)的模型具有以下特點(diǎn)：允許缺貨，有缺貨損失費(fèi)；當(dāng)庫存降為零后還可以再等一段時(shí)間后訂貨；每次得到訂貨量后，立即支付給顧客，以補(bǔ)充最大缺貨量；需求是連續(xù)的，均勻的；每次訂貨量不變，訂貨費(fèi)不變；單位存儲(chǔ)費(fèi)不變；基于此模型，我們假設(shè)：D為需求率，是指單位時(shí)間內(nèi)對某種物品的需求量；Q為訂貨量，表示在一次訂貨中，包含某種貨物的數(shù)量；C為商品每次的訂貨費(fèi)Cp為單位商品、單位時(shí)間的存儲(chǔ)費(fèi)；t為訂貨間隔，表示兩次訂貨之間的時(shí)間間隔；t1為t中不缺貨時(shí)期；t2為t中缺貨時(shí)期；S為最大缺貨量；Cs為缺貨損失單價(jià)。C.假設(shè)需求隨機(jī)的，可進(jìn)一步考慮有替代品的情況下的最佳進(jìn)貨策略，我們所假設(shè)的模型具有以下特點(diǎn)：1.需求是連續(xù)的，均勻的；彳2當(dāng)原商品庫存降為零后，可以立即由替代品得到補(bǔ)充，替代品庫存降為0后，便立即訂貨；3每次訂貨時(shí)原商品和替代品各自訂貨量不變，各自訂貨費(fèi)也不變；4由于原商品和替代品有很大共同屬性，這里不妨假設(shè)兩種商品單位存儲(chǔ)費(fèi)相同且不變；基于此模型，我們假設(shè)：D為需求率，是指單位時(shí)間內(nèi)對某種物品的需求量；Q為總訂貨量，表示在一次訂貨中，包含兩種種貨物的數(shù)量；S為原商品最大缺貨量，即替代品的訂貨量；t為訂貨間隔，表示兩次訂貨之間的時(shí)間間隔；t1為t中原商品存在時(shí)期；t2為t中替代品代替原商品補(bǔ)充的時(shí)期；Cp為單位商品、單位時(shí)間的存儲(chǔ)費(fèi)；C為原商品每次的訂貨費(fèi)；C*為替代品每次的訂貨費(fèi)。三模型的建立及問題分析分為A、B、C三種情況，A(對假設(shè)A進(jìn)行模型建立丿由上述假設(shè)，在一個(gè)周期內(nèi)最大庫存量為Q,最小庫存量為o,并且需求是連續(xù)均勻的，于是在一個(gè)周期內(nèi)，其平均庫存量為1Q，因此，2平均存貨費(fèi)=存儲(chǔ)費(fèi)X平均庫存量JCpxQ,2可做出庫存量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖(由于未掌握相關(guān)數(shù)學(xué)作圖軟件，在此只有手工作圖，有模糊或不精確的地方還請諒解丿，如下，圖表1由于在最初時(shí)刻，訂貨量為Q，經(jīng)過時(shí)間t后存儲(chǔ)量為o，需求量為D，且連續(xù)均勻變化，因此，得到訂貨量Q，需求量D和訂貨周期t之間的關(guān)糸為：t=Q，D設(shè)每次的訂貨費(fèi)用為C,于是得到平均訂貨費(fèi)=訂貨費(fèi)=C=CD,訂貨時(shí)間間隔tQ對于此模型平均庫存總費(fèi)用=平均存貨費(fèi)+平均訂貨費(fèi)即F(Q)=1CpxQ+CD,2Q訂貨量的最優(yōu)值由F(Q)關(guān)于Q的最小值求出假設(shè)Q是連續(xù)的找到Q的最優(yōu)值的一階必要條件為dF(Q)=1Cp-CDdQ2 Q2得到一個(gè)駐點(diǎn)Q*得到一個(gè)駐點(diǎn)Q*2CDCpdQ2最小值點(diǎn)，其最優(yōu)庫存總費(fèi)用為，因此這個(gè)模型的最優(yōu)存儲(chǔ)策略為每隔dQ2最小值點(diǎn)，其最優(yōu)庫存總費(fèi)用為，因此這個(gè)模型的最優(yōu)存儲(chǔ)策略為每隔t*=蘭=D2CCpD驗(yàn)證駐點(diǎn)的二階條件由于d2F(Q)=2CD>0,所以Q*是函數(shù)F(Q)Q/3F*=iCpxQ*+CD=/2CCpD2 Q*-單位時(shí)間，就訂Q*單位貨物，每個(gè)單位時(shí)間的最優(yōu)庫存總費(fèi)用為/2CCpD個(gè)單位費(fèi)用。B(對假設(shè)B進(jìn)行模型的建立丿由假設(shè)B,Q-S為最大庫存量，可得出允許缺貨模型的庫存量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖(此處也給出手工做出的圖丿，如下，圖表2因此，得到需求率、最大庫存量、最大缺貨量、不缺貨時(shí)期和缺貨時(shí)期之間的關(guān)糸為，t1=Q-S, 12=S, t=Q.D D D在不缺貨時(shí)期tl內(nèi)，最大庫存量為Q-S,最小庫存量為0,因此，其平均庫存量為1(Q-S)。在缺貨時(shí)期t2內(nèi)，庫存量為0,因此，一個(gè)周期內(nèi)的平均2庫存量為,平均庫存量=2(Q-S)+0xt2=(Q-S)t1

t1+t2 2t由以上式子得到,平均庫存量=竺畧.2Q因此,可以得到一個(gè)周期內(nèi)的平均缺貨量為

平均缺貨量_0Xt1+Sxt2X1_sxt2—S2平均缺貨量— 2— — t1+t2 2t2Q對于允許缺貨的經(jīng)濟(jì)定購批量存儲(chǔ)摸型，平均庫存總費(fèi)用—平均存貨費(fèi)+平均缺貨費(fèi)+平均訂貨費(fèi)-存儲(chǔ)費(fèi)X平均庫存量+缺貨損失費(fèi)X平均缺貨量+平均訂貨費(fèi)，即2F(Q,S)-Cp(Q-S)+CsS2+CD.2Q 2QQ利用多元函數(shù)極值最優(yōu)性條件求F(Q,S)的極小點(diǎn)。由一階必要條件得dF—1[(Cp+Cs)S-CpxQ]—0,dSQdF—-2[iCp(Q-S)2+iCsS2+CD]+1Cp(Q-S)dQQ22 2 Q--丄[Cp(Q-S)2+CsS2-2Cp(Q-S)+2CD]2Q2—0.于是得到S*—CpQ*,Cp+CsQ*—”CD(Cp+Cs)_CpxCs接下來驗(yàn)證二階充分條件。由于函數(shù)F(Q,S)的Hesse矩陣d2Fd2F(Cs+Cp)S2+2CD-(Cp+Cs)STOC\o"1-5"\h\z[dQ2dQdS]—[ Q3 Q2 ]d2F d2F -(Cp+Cs)S Cp+CsdSdQ dS2 Q2 Q正定，所以由兩式得的Q*和S*為極小值，利用上式得到二/2CpCsCDCp+CsF*—Cp(Q*-S*)2+CD二/2CpCsCDCp+Cs2QQ/2Q*即允許缺貨的經(jīng)濟(jì)訂購批量儲(chǔ)存模型的最有儲(chǔ)存策略為每隔t*單位時(shí)間就定Q*單位貨物，其允許缺貨量為S*單位貨物，每個(gè)單位內(nèi)的最有庫存總費(fèi)用為『CPCsCD個(gè)單位費(fèi)用。Cp+Cs當(dāng)Cs〉0,Cp>0時(shí)有CP+Cs〉l，因此，由上式得到CsQ*缺貨二［2CD（Cp+Cs）>（2CD=Q*不缺貨，CpCs CpF*缺貨二/2CpCsCD</2CpCD=F*不缺貨，Cp+Cs上式表明，允許缺貨模型的最優(yōu)庫存量要大于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量，每次訂貨的時(shí)間間隔要比不允許缺貨模型的間隔長，而最優(yōu)庫存總費(fèi)用會(huì)下降，因此，在條件允許的情況下，應(yīng)當(dāng)利用允許缺貨模型來降低庫存總費(fèi)用?？紤]當(dāng)Cs趨向于無窮大（即不允許缺貨）有S*fO和Cp+Csf1Cs因此得到Q*缺貨fQ*不缺貨，t*缺貨ft*不缺貨，F(xiàn)*缺貨fF*不缺貨。因此，從這個(gè)角度來看，不允許缺貨模型實(shí)際上是允許缺貨模型的特例。C（對假設(shè)C進(jìn)行模型的建立丿由假設(shè)C,原商品和替代品各自庫存量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖（此處也給出手工做出的圖丿，如下，圖表3在一個(gè)周期內(nèi)，最大庫存量也為Q,最小庫存量為0,并且需求是連續(xù)的，于是在一個(gè)周期內(nèi)，平均庫存量為1Q,2平均庫存費(fèi)二存儲(chǔ)費(fèi)x平均庫存量=lCpxQ,2又得到需求率、最大庫存量、最大缺貨量、不缺貨時(shí)期和缺貨時(shí)期之間的關(guān)系為，t1=Q-S, t2=SD D原商品平均訂貨費(fèi)二CDxQ-SQQ替代品平均訂貨費(fèi)二CTDxS,QQ因此， 平均庫存總費(fèi)用=平均存貨費(fèi)+平均訂貨費(fèi)F(Q,S)=1CpxQ+CDxQ-S+￡1DxSTOC\o"1-5"\h\z2 Q Q Q Q=1CpxQ+CD+(C*~C)DS,2 Q Q2'利用多元函數(shù)極值最優(yōu)性條件求F(Q,S丿的極小點(diǎn)。由一階要條件得,dF=】Cp_CD_2(C*-C)DSdQ2?Q2 Q3'dF=(C*-C)DdS Q2(1)當(dāng)C*=C時(shí)，dF=iCp-CD,dQ2 Q2dF=0,dS此時(shí)跟假設(shè)A的情況一模一樣，這個(gè)模型的最優(yōu)存儲(chǔ)策略為每隔t*=竺.個(gè)單位時(shí)間訂貨，可求得每個(gè)單位時(shí)間的最優(yōu)庫存總費(fèi)用為((2CCpD)CpD個(gè)單位費(fèi)用。(2)當(dāng)C*HC時(shí),匹工0,dS可見此時(shí)找不出一個(gè)駐點(diǎn)S*,F(Q,S)關(guān)于S(SH0)是單調(diào)函數(shù)，這里只有將S看作一個(gè)常量，于是，

令dF=1Cp-CD-2(C*-C)DS=o,dQ2 Q2 Q3此處考慮到解Q*是解一個(gè)關(guān)于Q*的一元三次方程，難以解出，所以在此只有按照C*的取值來討論不同情況，如下，若C*>C,t*=Q!>/竺DNCpD若C*<C,Q*<2CDCp，Q*<2CDCp，t*=上<D2CCpD以上過程這說明,(1)當(dāng)替代品價(jià)格等于原商品價(jià)格時(shí)，有替代品模型的最優(yōu)庫存量于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量都為2CD.最優(yōu)庫存量于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量都為2CD.,每次訂貨的時(shí)間間隔于不Cp允許缺貨模型的間隔都為2C；CpD'(2)當(dāng)替代品價(jià)格高于原商品價(jià)格時(shí)，有替代品模型的最優(yōu)庫存量要適當(dāng)大于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量2最優(yōu)庫存量要適當(dāng)大于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量2CD.,每次訂貨的時(shí)間間隔Cp要比不允許缺貨模型的間隔jcpD■適當(dāng)長;3)當(dāng)替代品價(jià)格低于原商品價(jià)格時(shí)，有替代品模型的最優(yōu)庫存量要適當(dāng)小于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量/2C2.，每次訂貨的時(shí)間間隔要比Cp不允許缺貨模型的間隔jcpD■適當(dāng)短一些。四模型的評價(jià)為了對模型進(jìn)行合理評價(jià)，我們小組特地對校園超市的商品的銷售情況以及進(jìn)貨情況進(jìn)行為期一周的調(diào)查，以下是我們對美年達(dá)銷售情況的調(diào)查結(jié)果，電子科技大學(xué)清水河校區(qū)校園超市2012~2013學(xué)年上半學(xué)期第十四周美年達(dá)銷售情況統(tǒng)計(jì)星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日銷售量/瓶21242631252827進(jìn)貨量/瓶0072