電路分析基礎(chǔ)教案(第6章)

第六章一階電路

第二篇?jiǎng)討B(tài)電路的時(shí)域分析1第六章一階電路

在上章基礎(chǔ)上，本章和下章討論動(dòng)態(tài)電路的響應(yīng)，只限一階和二階電路。只含一個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的線性、時(shí)不變電路，是用線性、常系數(shù)一階常微分方程來描述的。用一階微分方程來描述的電路稱為一階電路。當(dāng)電路中含有二個(gè)或n個(gè)動(dòng)態(tài)元件，建立的方程為二階或n階微分方程，其電路稱為二階或n階電路。注意復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)微分方程求解部分?。?！2第六章一階電路

§1分析動(dòng)態(tài)電路的基本原理§2動(dòng)態(tài)電路的疊加原理

§3三要素法§4

瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)

關(guān)鍵概念3第一節(jié)分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用第六章一階電路

4

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用含電容的一階電路0.5A2Ω0.25F2Ω+2t-i(t)+u(t)-如何求解含有電容的一階電路的電流和電壓？??5

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用含源一階電路含源電阻電路含源電阻電路1、一階電路的分解

一階電路可以采用§4-1中的分解方法進(jìn)行分析。這樣，電路可看成由兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)組成，如圖所示。其一，靜態(tài)電路：含有所有的電源及電阻元件；其二，動(dòng)態(tài)電路：只含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件。6

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用含源電阻電路含源電阻電路

根據(jù)電源等效原理可以化簡(jiǎn)為如下圖所示電路，即可求解。戴維南等效電路。諾頓等效電路。7

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用1、單一電容元件電路，如圖所示。uc(t)++++++------i(t)C含源電阻網(wǎng)絡(luò)

含源電阻網(wǎng)絡(luò)部分用戴維南定理簡(jiǎn)化后，電路如下圖所示。首先求得單口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓，亦即狀態(tài)變量：電容電壓uc。又如何求？如何求？8

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用設(shè)為關(guān)聯(lián)參考方向，由KVL可得回路電壓方程：uRO(t)+uC(t)=uOC(t)，由元件VCR可得：uR0(t)=R0i(t)，i(t)=C（duC(t)/dt），代入回路電壓方程，可得：R0C（duC(t)/dt）+uC(t)=uOC(t)，求解條件？給定初始條件uC(t0)以及t≥t0時(shí)的uOC(t)，便可解出t≥t0時(shí)的uC(t)。9

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用iSC(t)iC(t)C++++++------uC(t)G0化簡(jiǎn)

類似地，對(duì)含源電阻網(wǎng)絡(luò)部分用諾頓定理簡(jiǎn)化后，電路如圖所示。首先求得單口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓，亦即狀態(tài)變量：電容電壓uc。10

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用iSC(t)iC(t)C++++++------uC(t)G0代入上式，可得：C（duC(t)/dt）+G0uC(t)=iSC(t)，同樣，給定初始條件uC(t0)以及t≥t0時(shí)的iSC(t)，便可解出t≥t0時(shí)的uC(t)。設(shè)為關(guān)聯(lián)參考方向，由KCL可得：iC(t)+iGO(t)=iSC(t)，由元件VCR可得：iC(t)=C（duC(t)/dt，iG0(t)=GOuGO(t)=GOuC(t)，11

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用uc(t)++++++------i(t)c含源電阻網(wǎng)絡(luò)

可根據(jù)置換定理以電壓源uC(t)去置換電容，使原電路變換成為一個(gè)電阻電路，如圖所示。然后，運(yùn)用電阻電路的分析方法就可求出t≥t0時(shí)所有的支路電流和電壓。

采用戴維南或諾頓定理求得uC(t)后，如何求解其他支路的電流和電壓？？？12

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用2、單一電感元件電路，如圖所示。uL(t)++++++------i(t)L含源電阻網(wǎng)絡(luò)分割含電感的一階電路L如何求？13

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用uocui(t)L------(t)++++++++++++------uL(t)R0化簡(jiǎn)L

含源電阻網(wǎng)絡(luò)部分用戴維南定理簡(jiǎn)化后，電路如圖所示。首先求得單口網(wǎng)絡(luò)的端口電流，亦即狀態(tài)變量：電感電流iL。又如何求？然后呢？14

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用設(shè)為關(guān)聯(lián)參考方向，由KVL可得:uR0(t)+uL(t)=uOC(t)，由元件VCR可得:uR0(t)=R0iL(t)，uL(t)=L（diL(t)/dt），代入上式，可得：R0iL(t)+L（diL(t)/dt）=uOC(t)，求解條件？uocui(t)L------(t)++++++++++++------uL(t)R0L給定初始條件iL(t0)以及t≥t0時(shí)的uOC(t)，便可解出t≥t0時(shí)的iL(t)。15

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用scii(t)L(t)++++++------uL(t)G0L

類似地，對(duì)含源電阻網(wǎng)絡(luò)部分用諾頓定理簡(jiǎn)化后。進(jìn)而求得單口網(wǎng)絡(luò)的端口電流，亦即電感電流iL。設(shè)為關(guān)聯(lián)參考方向，由KCL及元件的VCR可得：G0L（diL(t)/dt）+iL(t)=iSC(t)，同樣，給定初始條件iL(t0)以及t≥t0時(shí)的iSC(t)，便可解出t≥t0時(shí)的iL(t)。16

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用iL(t)++++++------u(t)含源電阻網(wǎng)絡(luò)置換

運(yùn)用電導(dǎo)（阻）電路的分析方法就可求出t≥t0時(shí)所有的支路電流和電壓。uL(t)++++++------i(t)L含源電阻網(wǎng)絡(luò)L

同樣，采用戴維南或諾頓定理求得iL(t)，便可根據(jù)置換定理以電流源iL(t)去置換電感，使原電路變換成為一個(gè)電導(dǎo)（阻）電路。17

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用3、動(dòng)態(tài)電路的求解第一步：首先分解一階動(dòng)態(tài)電路；uL(t)++++++------i(t)L含源電阻網(wǎng)絡(luò)分割含電感的一階電路L18

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用uocui(t)L------(t)++++++++++++------uL(t)R0化簡(jiǎn)L第二步：求含源電阻網(wǎng)絡(luò)的戴維南或諾頓等效電路；iSC(t)iC(t)C++++++------uC(t)G0化簡(jiǎn)scii(t)L(t)++++++------uL(t)G0L19

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用R0C（duC(t)/dt）+uC(t)=uOC(t)，C（duC(t)/dt）+G0uC(t)=iSC(t)，戴維南等效電路：諾頓等效電路：iSC(t)i(t)C++++++------uC(t)G0化簡(jiǎn)第三步：列寫一階常微分方程，求出電阻單口網(wǎng)絡(luò)與動(dòng)態(tài)元件相連處的狀態(tài)變量（uC、iL）；對(duì)電容一階電路采用電源等效原理進(jìn)行化簡(jiǎn)。20

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用R0iL(t)+L（diL(t)/dt）=uOC(t)，G0L（diL(t)/dt）+iL(t)=iSC(t)。對(duì)電感一階電路采用電源等效原理進(jìn)行化簡(jiǎn)。戴維南等效電路：諾頓等效電路：-oci(t)L-----(t)++++++++++++------uL(t)R0化簡(jiǎn)Luscii(t)L(t)++++++------uL(t)G0L21

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用第四步：利用置換定理置換動(dòng)態(tài)元件；iL(t)++++++------u(t)含源電阻網(wǎng)絡(luò)置換第五步：利用電阻電路分析方法即可求出電路中其他任一變量。對(duì)電容一階電路采用電壓源置換。對(duì)電感一階電路采用電流源置換。22

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用

綜上所述，從分解方法觀點(diǎn)上看，處理一階電路最關(guān)鍵的步驟是：求得：uC(t)或iL(t)，即：電路的狀態(tài)變量。23

§6-1分解方法在動(dòng)態(tài)電路分析中的運(yùn)用本節(jié)要點(diǎn)：（1）分解在一階動(dòng)態(tài)電路中的應(yīng)用，（2）求解一階電路的步驟。24第二節(jié)零狀態(tài)響應(yīng)第六章一階電路

251、一些概念

穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)、零狀態(tài)、零輸入、全響應(yīng)。

在第一篇（第一章~第四章）中，對(duì)于靜態(tài)電路的分析，其狀態(tài)恒定不變，所以屬于電路的穩(wěn)態(tài)分析。

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)含源一階電路含源電阻電路含源電阻電路26穩(wěn)態(tài)所謂穩(wěn)態(tài)是指電路在直流或正弦激勵(lì)下，其狀態(tài)恒定不變或按正弦規(guī)律周期變化，即其響應(yīng)保持為常數(shù)或?yàn)橥l率的正弦量。

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)含源一階電路含源電阻電路含源電阻電路27

在穩(wěn)態(tài)電路中，包括直流電路及采用相量分析的正弦電路，所有元件的約束關(guān)系（VCR）均為代數(shù)方程。

計(jì)算這類電路的電壓和電流時(shí)，根據(jù)KL定律及元件本身的VCR所得到的方程也是代數(shù)方程。

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)含源一階電路含源電阻電路含源電阻電路28瞬態(tài)

對(duì)于含有動(dòng)態(tài)元件的動(dòng)態(tài)電路，在達(dá)到一種穩(wěn)定狀態(tài)之前，一般要經(jīng)過一個(gè)過渡過程。通常這個(gè)過程很短暫，故稱為瞬變過程或暫態(tài)過程。

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)一階電路電阻電路電阻電路29

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)電路

是指初始狀態(tài)為零的電路。零狀態(tài)響應(yīng)

就是電路在零初始狀態(tài)下，即動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能為零，由外加激勵(lì)引起的響應(yīng)。含源一階電路含源電阻電路含源電阻電路uC(t0)=0iL(t0)=030

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)零輸入電路

是指初始狀態(tài)不為零的電路。零輸入響應(yīng)

是電路在沒有外加激勵(lì)時(shí)，而僅由初始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng)。無源一階電路無源電阻電路無源電阻電路uC(t0)≠0iL(t0)≠031

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)所有響應(yīng)的和，即：全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)。含源一階電路含源電阻電路含源電阻電路uC(t0)≠0iL(t0)≠032

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

本節(jié)主要討論R-C和R-L電路的零狀態(tài)響應(yīng)。

動(dòng)態(tài)分析的任務(wù)就是求解動(dòng)態(tài)電路的過渡過程或暫態(tài)過程，找出這時(shí)電路中的電壓和電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。含源一階電路含源電阻電路含源電阻電路uC(t0)=0iL(t0)=033

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)概念回顧。上章提到的關(guān)鍵概念：電容電壓、電感電流的連續(xù)性，即：其它電流、電壓，特別是：不一定是連續(xù)的。34

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)(b)工作狀態(tài)，§7(a)因果關(guān)系，§2

兩個(gè)著眼點(diǎn)全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)。全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+暫態(tài)響應(yīng)。2、動(dòng)態(tài)電路的疊加原理

疊加原理在動(dòng)態(tài)電路的（全響應(yīng)）分析中起著非常重要的作用，本章從兩個(gè)方面來討論。35

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（1）從激勵(lì)和響應(yīng)的因果關(guān)系分析RC串聯(lián)等效電路的全響應(yīng)，如圖所示。

設(shè)在t=t0時(shí)，圖中電容電壓為uC(t0)。則根據(jù)電容等效電路，可將單一電容元件電路在t≥t0時(shí)等效為：36

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

從物理意義上說，uC(t0)是t<t0時(shí)電流對(duì)電容的充電的結(jié)果，如果關(guān)心的只是t≥t0電路的表現(xiàn)，知道t=t0時(shí)uC(t0)的值就足夠了。37

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

同時(shí)，在該等效電路中，也只需要知道uS(t)，t≥t0即可。需要注意：盡管us在t=t0時(shí)可能是不連續(xù)的，但uC(t0-)=uC(t0+)，即電容電壓在t=t0時(shí)卻是連續(xù)的。38

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（2）疊加原理的運(yùn)用

等效電路中存在兩個(gè)獨(dú)立電壓源。

根據(jù)疊加定理，該電路中任一電壓、電流，如uC(t)是兩個(gè)電源分別單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的兩個(gè)分量的代數(shù)和。39

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

把在零初始狀態(tài)下，僅由電路的輸入uS(t)所引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)；40

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

把在零輸入狀態(tài)下，僅由非零初始狀態(tài)uC(0)所引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)；這兩個(gè)響應(yīng)分別與自己的激勵(lì)成比例。uC"(t)=初始電壓源單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)41

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

兩種響應(yīng)之和稱為全響應(yīng)，即當(dāng)外加激勵(lì)和初始狀態(tài)都不為零時(shí)一階電路的響應(yīng)稱為全響應(yīng)。全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)，

上述三種響應(yīng)是電路分析中都會(huì)遇到的，本章將分別予以討論。42

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)2、RC一階電路零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)

對(duì)于RC電路，t≥0時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)是指：在uC(0)=0的條件下，由t≥0時(shí)的輸入uS(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)。43

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

可以用t=0時(shí)開關(guān)的閉合即“換路”來表明uS(t)=US、t≥0。tusUs0

設(shè)：已知t≥0時(shí)輸入為圖示的階躍信號(hào)，其值為US。44

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)求解狀態(tài)變量uc(t)？由兩類約束得：

初始電壓為零可能意味著：可能是電容從未充過電；也可能是被充過電，但此時(shí)所充電壓已消失殆盡。t≥0

加上初始條件：)()(+-=0u0uCC便可解出uc(t)。

所以初始條件可更為準(zhǔn)確地表示為：45

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（1）uC(t)變化趨勢(shì)

由于電容電壓不能躍變，開關(guān)閉合前一瞬間uC(0-)既然為零，那么在閉合一瞬間uC(0+)也必須為零，盡管此時(shí)US已經(jīng)接通。

因此，在t=0-時(shí)電壓US全部加在電阻兩端，充電電流iC(0+)=US/R，開始對(duì)電容充電。SCURCdtdu=+0ciC=+(0)此時(shí)電容電壓的變化率應(yīng)為：46

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

一旦電容電壓開始增長(zhǎng)，導(dǎo)致電阻電壓的減少，充電電流必隨之減小，直至趨于零，電容如同開路，充電停止。

因此，uC的變化趨勢(shì)是：起先增長(zhǎng)很快，隨著uC的增長(zhǎng)，增長(zhǎng)越來越慢，直至趨于US，電容充電完畢。

當(dāng)直流電路中電壓和電流都不隨著時(shí)間變化時(shí)，稱電路進(jìn)入了直流穩(wěn)態(tài)。

此時(shí)：uC(t)=US，或uC(∞)=US。47

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（2）零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)的求解t≥0

t≥0

解上述RC一階電路微分方程可用直接積分法：48

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)由初始條件uC(0)=0，可得：k=－lnUS；代入后可得：

這一響應(yīng)是由零值開始按指數(shù)規(guī)律上升趨向于穩(wěn)態(tài)值的。49

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)按指數(shù)律增長(zhǎng)，趨于其直流穩(wěn)態(tài)值US。反映了儲(chǔ)能由零增長(zhǎng)至的過程—充電過程。（3）零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)的波形圖①②uCt500

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（4）變化規(guī)律的核心部分

變化規(guī)律的核心部分②是指數(shù)函數(shù)：

此處K=US。其中RC乘積的量綱為時(shí)間，令τ=RC，稱為時(shí)間常數(shù)。τ決定uC等變化的快慢。②51

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)切距：在t=0+處，切線的斜率為-K/τ，即得切線與橫軸的焦點(diǎn)（切距）為τ。0次切距：指數(shù)曲線上任意一點(diǎn)的次切距也等于τ。這說明，曲線上任意一點(diǎn)，如果以該點(diǎn)的斜率為固定變化率衰減，經(jīng)過τ時(shí)間后為零值。52

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（5）時(shí)間常數(shù)τ的物理意義53

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（a）t=5τ時(shí)，f(t)已為K的0.674%，趨近零。工程上取t=(4-5)τ作為衰減到零的時(shí)刻。054

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（b）τ越大則衰減到零所需的時(shí)間越長(zhǎng)，即變化慢。0即uC(t)到達(dá)US值所需時(shí)間越長(zhǎng)。55

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（c）τ=RC，C越大則表示可儲(chǔ)存的容量越大，而R越大則表示充電電流越小，則表示uC(t)到達(dá)US值所需時(shí)間越長(zhǎng)。注意：充電快慢與US大小無關(guān)!56

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

根據(jù)已求出的uC(t)，可求得iC(t)為：（6）零狀態(tài)響應(yīng)iC(t)的求解t≥0

)(0+CSCiURdtdu=Ci=C-etRC=-etτ(t)tiCUs/R0τ2τ3τ4τt=0+時(shí)，iC(0+)=US/R，波形如圖所示。57

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)注意：t=0-時(shí)，uC、iC均為零，而t=0+時(shí)，uC仍保持為零，即：uC(0-)=uC(0+)=0，而iC則躍變?yōu)閁S/R，即：iC(0-)iC(0+)=US/R。因此，在t=0時(shí)，uC是連續(xù)的，而iC則是不連續(xù)的。uCtiCUs/R0τ2τ3τ4τ58

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（7）電源總能量

若輸入為直流電壓US，uC最終將達(dá)US值。uC的零狀態(tài)響應(yīng)反映電容的儲(chǔ)能從無到有的增長(zhǎng)過程，最終達(dá)到US值。電容的儲(chǔ)能為：這能量與R的大小無關(guān)。

在充電過程中，電阻消耗的總能量W為：òo∞iC2(t)Rdt=òo∞US2Re2tRCdt=US2Re2tRCRC2()0∞解出：W=59

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

由此可見，在充電過程中電阻所消耗的總能量與電容最后所儲(chǔ)存的能量相等，充電效率為50%。

電源提供的總能量為：2SCU+=60

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)3、RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)iL(t)

對(duì)于RL電路，t≥0時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)是指：在iL(0)=0的條件下，由t≥0時(shí)的輸入uS(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)。suL------(t)++++++iL(t)Rt≥０61

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

與RC電路類似，也可以用t=0時(shí)開關(guān)的閉合來表明uS(t)=US、t≥0。tusUs0

設(shè)t≥0時(shí)輸入為圖示的階躍信號(hào)，其值為US。L------t=０++++++RiL(t)UsL+-RuS(t)t≥0iL(t)62

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)求解狀態(tài)變量iL(t)：關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，由兩類約束得：

初始電流為零：可能是電感從未充過電；也可能是被充過電，但此時(shí)所充電流已消失殆盡。)()(+-=0i0iLL便可解出iL(t)。L------t=０++++++RiL(t)Usdtt≥0

SLLURidiL=+加上初始條件：0)0(=Li

所以初始條件可更為準(zhǔn)確地表示為：63

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（1）iL(t)變化趨勢(shì)

由于電感電流不能躍變，開關(guān)閉合前一瞬間iL(0-)既然為零，那么在閉合一瞬間iL(0+)也必須為零，電阻的電流也為零，盡管此時(shí)US已經(jīng)接通。

因此，在t=0-時(shí)電壓US全部加在電感兩端，充電電壓uL(0+)=US，開始對(duì)電感充電。SLULdtdi=+0即SLUdtdi=+0L

此時(shí)電感電流的變化率應(yīng)為：L------t=０++++++RiL(t)Us64

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

一旦電感電流開始增長(zhǎng)，導(dǎo)致電阻電壓的增加，電感電壓必隨之減小，直至趨于零，電感如同短路。

因此，iL的變化趨勢(shì)是：起先增長(zhǎng)很快，隨著iL的增長(zhǎng)，增長(zhǎng)越來越慢，直至電感電壓趨于0。

這時(shí)，全部電源電壓都加在了電阻兩端。電路中電流不再變化，電路進(jìn)入了直流穩(wěn)態(tài)。此時(shí)有：iL（t）=US/R，或iL（∞）=US/R。L------t=０++++++RiL(t)Us65

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（2）零狀態(tài)響應(yīng)iL(t)的求解0)(R3-=-teUtitLSLR0)1(R3--teUtLSR=USR

這一響應(yīng)是由零值開始按指數(shù)規(guī)律上升趨向于穩(wěn)態(tài)值US/R的。

類似前面RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的求解步驟，可求得：66

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)iL(t)按指數(shù)律增長(zhǎng)，趨于其直流穩(wěn)態(tài)值US/R。反映了儲(chǔ)能由零增至的過程—充電過程。（3）零狀態(tài)響應(yīng)iL(t)的波形圖

)(R-=-eUtitLSLRUSR①②iL()tLiL221US/RiL(t)iL-Rt/LeUSR67)(R-=-eUtitLSLRUSR

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（4）變化規(guī)律的核心部分

此處K=US/R。其中L/R的量綱為時(shí)間，令τ=L/R，稱為時(shí)間常數(shù)。τ決定iL等變化的快慢。

變化規(guī)律的核心部分②是指數(shù)函數(shù)：

LtKetf-=)(R0②68

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（5）時(shí)間常數(shù)τ的物理意義69

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（a）t=5τ時(shí)，f(t)已為K的0.674%，趨近零。工程上取t=(4-5)τ作為由零增長(zhǎng)到US/R的時(shí)刻。。070

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（b）τ越大則由零增長(zhǎng)到US/R所需的時(shí)間越長(zhǎng)，即變化慢。0)(R-=-eUtitLSLRUSR即iL(t)到達(dá)US/R值所需時(shí)間越長(zhǎng)。71L------t=０++++++RiL(t)Us

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)注意：充電快慢與US大小無關(guān)!（c）τ=L/R，L越大則表示可儲(chǔ)存的容量越大，而R越小則表示UR增長(zhǎng)越慢，充電電流增長(zhǎng)也越慢，則表示iL(t)到達(dá)US/R值所需時(shí)間越長(zhǎng)。)(R-=-eUtitLSLRUSR72

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)已求出的iL(t)，可求得uL(t)為：（6）零狀態(tài)響應(yīng)uL(t)的求解t≥0

)(0+LSLuUdtdi=Lu=L-eRtL=-etτ(t)tuLUs0τ2τ3τ4τi=0+時(shí)，uL(o+)=US，波形如圖所示。73

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)注意：t=0-時(shí)，uL、iL均為零；而t=0+時(shí)，iL仍保持為零，即iL(0-)=iL(0+)=0；而uL則躍變?yōu)閁S，即uL(0-)uL(0+)=US。因此，在t=0時(shí)，iL是連續(xù)的而uL則是不連續(xù)的。tuLUs0τ2τ3τ4τiLiL(t)t0L------t=０++++++RiL(t)Us74

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)（7）電源總能量

若輸入為直流電壓US，iL最終將達(dá)US/R值。iL的零狀態(tài)響應(yīng)反映電感的儲(chǔ)能從無到有的增長(zhǎng)過程，最終達(dá)到US/R值。電感的儲(chǔ)能為：這能量與R的大小有關(guān)。?在充電過程值，電阻消耗的總能量為：òo∞uL2(t)/Rdt=òo∞US2Re2tRCdt=US2Re2RtLL2R()0∞解出：W=2SL21UR()2SL21UR()75

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

由此可見，在充電過程中電阻所消耗的總能量與電感最后所儲(chǔ)存的能量相等，充電效率為50%。電源提供的總能量W為：+=2SL21UR()2SL21UR()2SLUR()76

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)例題：已知iL(0)=0，求iL(t)、i(t)，t≥0。解（1）先求iL(t)：t≥0時(shí)原電路可化簡(jiǎn)為戴維南等效電路。其中：77

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)從而直接求得：τ=L/R=2s)(R-=-eUtitLSLRUSR由前述結(jié)論：得：78

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)解（2）再求i(t)：

原電路中電感用電流源iL(t)置換。用網(wǎng)孔法可求得i(t)，t≥0。網(wǎng)孔電流按i(t)和iL(t)設(shè)定。7.2i(t)+1.2iL(t)=18，iL(t)已解出。代入iL(t)可直接解出：i(t)=(2+0.5e-t/2)(A)。（解畢）提問：若電源電壓為9V，iL(t)、i(t)為多少？79

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)注意：i(t)不是按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的，而是按指數(shù)規(guī)律衰減的。不要以為零狀態(tài)響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的；在RL電路中，只有iL(t)才如此，其它i、u未必如此；在RC電路中，只有uC(t)才如此，其它i、u未必如此。80

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)4、一階電路電容電壓、電感電流零狀態(tài)響應(yīng)的一般公式

以上討論了在恒定電源的作用下，電路在t≥0時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。

其實(shí)質(zhì)上是電路中動(dòng)態(tài)元件的儲(chǔ)能從無到有逐漸增長(zhǎng)的過程。81

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

前面給出的一階RC電路和一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)，都是在圖示電路的結(jié)構(gòu)中給出的。SCURdtdu=Ci=C-etRC(t)t≥0W=對(duì)于如圖所示的一階RC電路：82

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)注意，如果電路結(jié)構(gòu)變化了，公式會(huì)有所不同。

試想，若有源電阻網(wǎng)絡(luò)采用諾頓等效結(jié)構(gòu)或其他結(jié)構(gòu)形式。L------t=０++++++RiL(t)Us)(tiL0)1(R3--teUtLSR=SLUdtdi=Lu=L-eRtL(t)t≥02SL21UR()W=對(duì)于如圖所示的一階RL電路：83

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

電容電壓或電感電流都是從零值開始按指數(shù)規(guī)律上升到它的穩(wěn)態(tài)值的，不是即時(shí)的，而是需要經(jīng)歷一段時(shí)間的，其時(shí)間常數(shù)τ分別為RC或L/R.

電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開路，電感相當(dāng)于短路，由此可確定電容或電感的穩(wěn)態(tài)值。84

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

一般一階零狀態(tài)電路的狀態(tài)變量電容電壓uC(t)或電感電流iL(t)的一般表達(dá)式為：uC(t)=uC(∞)(1-e-t/τ)，t≥0，iL(t)=iL(∞)(1-e-t/τ)，t≥0，)(tiL0)1(R3--teUtLSR=L------t=０++++++RiL(t)Us85

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)其中τ為電路的時(shí)間常數(shù)，R為動(dòng)態(tài)元件所接電阻網(wǎng)絡(luò)戴維南等效電路的等效電阻。)(tiL0)1(R3--teUtLSR=L------t=０++++++RiL(t)UsuC(t)=uC(∞)(1-e-t/τ)，t≥0，iL(t)=iL(∞)(1-e-t/τ)，t≥0，式中uC(∞)、iL(∞)為穩(wěn)態(tài)值，86

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

由此可見，零狀態(tài)響應(yīng)是由電容或電感的穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)所確定的，有狀態(tài)變量的一般表達(dá)式：狀態(tài)變量：y(t)=y(∞)(1-e-t/τ)

因此，只要確定了穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)，求解時(shí)無須列寫和求解電路的微分方程，就可直接寫出其狀態(tài)變量響應(yīng)表達(dá)式uC(t)、iL(t)。

然后根據(jù)置換定理就可求出其他各個(gè)電壓和電流。注意：上述一般表達(dá)式只是適用于狀態(tài)變量。87

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)5、零狀態(tài)響應(yīng)的性質(zhì)

在零狀態(tài)電路中，若外施激勵(lì)增大m倍，則零狀態(tài)響應(yīng)也增大m倍，稱為零狀態(tài)響應(yīng)比例性或齊次性。

若零狀態(tài)電路有多個(gè)激勵(lì)，則還存在零狀態(tài)疊加性，其響應(yīng)是每個(gè)激勵(lì)分別作用時(shí)產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和，稱為零狀態(tài)響應(yīng)可加性或疊加性。綜上所訴，零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的線性函數(shù)，簡(jiǎn)稱零狀態(tài)響應(yīng)線性（包含比例性或齊次性和可加性或疊加性）。88

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)例題：如圖所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)閉合，試求t≥0時(shí)的iL(t)。Kt=0+15V-6Ω6Ω3Ω2HiL+15V-6Ω6Ω3Ω2HiL解：方法一。

可以先化簡(jiǎn)為戴維南等效電路來求解，如圖所示。uOC=7.5V，RO=6Ω，τ=L/RO=1/3s，iL=(uOC/RO)(1-e-t/τ)=1.25（1-e-3t）,t≥0。（解畢）+7.5V-6Ω89

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)+15V-6Ω6Ω3ΩiL(∞)解：方法二。

直接利用一般公式求解，穩(wěn)態(tài)時(shí)的電路如圖所示。

由分流公式得：iL(∞)=1.25A；

電感所接電阻為：R=6Ω，τ=L/R=1/3s，iL=iL（∞）(1-e-t/τ)=1.25（1-e-3t）,t≥0。（解畢）6Ω6Ω3ΩR90

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)

再次強(qiáng)調(diào)，以上得出的結(jié)論和公式，都是在特定條件下得出的：特定電路結(jié)構(gòu)（串聯(lián)）；特定電源類型（恒定電壓源）；特定參數(shù)（如t0=0）；圖示特定參考方向。若條件發(fā)生變化，其結(jié)論和公式也要跟著變化。但求解的基本思想和方法仍然是求微分方程。91

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)例題(lhs)：如圖所示電路，兩電源均在t=0開始作用于電路。已知電容的初始電壓u(0)=0，試求電壓源電流i(t)，t≥0。解：注意本題的電壓源電壓為2t，不是直流電壓，所以前述的公式不適用，需要求解微分方程。0.5A2Ω0.25F2Ω+2t-i(t)+u(t)-92

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)先求狀態(tài)變量u(t)

利用電源等效原理將原電路化簡(jiǎn)為如圖所示電路。在關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，根據(jù)KCL定理可得節(jié)點(diǎn)電流方程：0.25du/dt+u=0.5+t，t≥0

可解得（略）：u(t)=0.25(1-e-4t)+t（V），t≥0（0.5+t）A0.25F1Ω+u(t)-0.5A2Ω0.25F2Ω+2t-i(t)+u(t)-93

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)再求非狀態(tài)變量i(t)

設(shè)想電容用電壓為u(t)的電壓源替代，如圖所示。顯然，由KVL解此電阻電路可得：i(t)=(2t-u(t))/2=0.5t-0.125(1-e-4t)(A),t≥0。（解畢）0.5A2Ω0.25F2Ω+2t-i(t)+u(t)-94

§6-2零狀態(tài)響應(yīng)本節(jié)要點(diǎn)：（1）動(dòng)態(tài)電路的疊加原理，（2）RC一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)，（3）RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)，（4）一階電路零狀態(tài)響應(yīng)的一般公式。95第三節(jié)階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)第六章一階電路

96

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

兩類重要的零狀態(tài)響應(yīng)：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)；單位沖激函數(shù)。

對(duì)于全電容與理想電壓源或全電感和理想電流源組成的電路，可能會(huì)發(fā)生某些特殊的情況：

如電容電壓或電感電流不再是連續(xù)函數(shù)，即uC（t）或iL（t）會(huì)出現(xiàn)跳變。

本節(jié)討論對(duì)這類問題的分析。C--t=０++iC(t)Us97

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)定義：（1）單位階躍函數(shù)的定義ε(t）t011、單位階躍函數(shù)ε(t)

在動(dòng)態(tài)電路分析中，廣泛應(yīng)用階躍函數(shù)來描述電路的激勵(lì)和響應(yīng)。其波形如圖所示。

在躍變點(diǎn)t=0處不連續(xù)，函數(shù)值未定義。98

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)可記為：例如：5ε(t)

因此，除用開關(guān)外，也可以用單位階躍函數(shù)ε(t)方便地表示各種信號(hào)uS(t)、t≥0。

不必再標(biāo)示開關(guān)和t≥0，表達(dá)更為簡(jiǎn)便。99

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)（2）延時(shí)(delayed)單位階躍函數(shù)ε(t-t0)定義：ε(t-t0)t01t0其波形如圖所示。

在躍變點(diǎn)t=t0處不連續(xù)，函數(shù)值未定義。100

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)u(t)tt001ε(t)t01-ε(t-t0)t0t0-1

不必再分三段標(biāo)示?？梢?，用階躍信號(hào)來表示信號(hào)，表達(dá)更為簡(jiǎn)便。u(t)=0，t＜0；u(t)=1,0≤t≤t0；u(t)=1，t0≤t。

ε(t-t0)連同ε(t)，可以用數(shù)學(xué)形式表明分段常量信號(hào)、如矩形脈沖施加于電路的情況。

圖示為分段常量信號(hào)要分三段表示。

可表示為一系列階躍信號(hào)之和。即：u(t)=ε(t)-ε(t-t0)101

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)ε(t）t01（3）階躍信號(hào)的性質(zhì)

ε(t)或ε(t-t0)是奇異函數(shù)：在t=0或t=t0時(shí)函數(shù)值不連續(xù)，發(fā)生跳變，無意義。在t=0或t=t0時(shí)函數(shù)值可取0或1，ε(0-)=0，ε(0+)=1。

階躍信號(hào)本身沒有量綱，當(dāng)用它表示電壓或電流時(shí)，量綱分別為伏特或安培，并統(tǒng)稱為單位階躍信號(hào)。102

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)動(dòng)態(tài)電路ε(t-t0)A動(dòng)態(tài)電路ε(t)V+-（4）階躍信號(hào)的應(yīng)用（a)描述開關(guān)動(dòng)作

階躍函數(shù)可以作為開關(guān)的數(shù)學(xué)模型。例如，用單位階躍電壓源作激勵(lì)，則相當(dāng)于t=0時(shí)接入1V的電壓源或t=t0時(shí)接入1A的電流源，如圖所示。動(dòng)態(tài)電路1V+-Kt=0R動(dòng)態(tài)電路1AKt=t0R103

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)但要注意：圖示兩個(gè)電壓源或電流源是不等效的，它們只是對(duì)外接動(dòng)態(tài)電路等效。

所以，階躍信號(hào)也稱為開關(guān)信號(hào)。動(dòng)態(tài)電路ε(t-t0)A動(dòng)態(tài)電路ε(t)V+-動(dòng)態(tài)電路1V+-Kt=0R動(dòng)態(tài)電路1AKt=t0R104

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)f(t)tt00f(t)tt002t03t04t05t0f(t)tt002t0f(t)tt002t03t0(b)表示分段常量信號(hào)或階梯信號(hào)

圖中所示是電子技術(shù)中常見的分段常量信號(hào)，其中圖（a）、（b）常稱為單個(gè)矩形脈沖和脈沖串。

圖示波形可以用若干個(gè)階躍信號(hào)的代數(shù)和表示。105

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)f(t)tt00f(t)tt002t03t04t05t0u(t)=ε(t)-ε(t-t0)+ε(t-2t0)-ε(t-3t0)+…+ε(t-2kt0)-ε(t-(2k+1)t0)=∑k=0∞ε(t-2kt0)-ε(t-(2k+1)t0)；以單個(gè)方波脈沖為例，如圖所示。

可以表示為：u(t)=ε(t)-ε(t-t0)；以多個(gè)方波脈沖串為例，如圖所示。

可以表示為：106

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)(c)表示其它任意具有起始點(diǎn)的信號(hào)的區(qū)間。f(t)ε(t)t01f(t)ε(t-t0)t0t0t01f(t)ε(t)

綜上所述，凡函數(shù)值突然躍變時(shí)，就相當(dāng)于在突變處出現(xiàn)一個(gè)階躍函數(shù)。107

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)（5）單位階躍信號(hào)輸入的零狀態(tài)響應(yīng)——單位階躍響應(yīng)

單位階躍輸入的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，記作s(t)，響應(yīng)可以是電壓，也可以是電流。

當(dāng)電路的激勵(lì)為單位階躍信號(hào)ε(t)時(shí)，相當(dāng)于將電路在t=0時(shí)，接通1V的電壓源或1A的電流源，因此，單位階躍響應(yīng)應(yīng)與直流激勵(lì)響應(yīng)相同。108

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)單位階躍響應(yīng)的時(shí)不變性

對(duì)于時(shí)不變電路，若單位階躍信號(hào)作用下的響應(yīng)為s(t)，則延時(shí)單位階躍信號(hào)作用下響應(yīng)為s(t-t0)，這一性質(zhì)稱為時(shí)不變性。單位階躍響應(yīng)的比例性

如果電路的輸入是幅度為A的階躍信號(hào)，則根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)比例性可知As(t)即為該電路的階躍響應(yīng)。單位階躍響應(yīng)的疊加原理

多個(gè)階躍信號(hào)輸入作用下的零狀態(tài)響應(yīng)可由疊加原理求得。

109

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

因此，在將這類信號(hào)分解為階躍信號(hào)后，即可按直流一階電路處理，運(yùn)用齊次性和疊加性可求得其零狀態(tài)響應(yīng)。

當(dāng)激勵(lì)為由階躍成分構(gòu)成的常量信號(hào)或階梯信號(hào)時(shí)，用階躍響應(yīng)分析十分方便。

設(shè)s(t)為ε(t)的響應(yīng)，激勵(lì)由N個(gè)階躍信號(hào)ε(t)組成：x(t)=∑AKε(t-t0)，則響應(yīng)：y(t)=∑AKs(t-t0)。110

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)輸入可視為由-3V和4ε(t)V兩部分組成。解：-3V單獨(dú)作用下，可得：u'(t)=-2V;4ε(t)V單獨(dú)作用下，可得：u"(t)=(8/3)(1-e-4t)ε(t)V，由疊加原理：u(t)=u'(t)+u"(t)，對(duì)所有t，得：u(t)=-2+(8/3)(1-e-4t)ε(t)(V)。(解畢)例題111

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)解：由疊加原理得：i(t)=i'(t)+i"(t)=A(1-e-t)ε(t)-A(1-e-(t-t0))ε(t-t0)。例題試求圖示零狀態(tài)RL電路的i(t)、uL(t)。i(t)1H1Ω+u(t)-tu(t)t00A脈沖電壓u(t)可分解為兩個(gè)階躍信號(hào)之和：u(t)=Aε(t)-Aε(t-t0)Aε(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為：i'(t)=A(1-e-t)ε(t);-Aε(t-t0)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為：i"(t)=-A(1-e-(t-to))ε(t-t0);uL(t)=L(diL/dt)???待續(xù)112

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)dtdε(t)Ci=2、單位沖激函數(shù)δ(t)，又稱狄拉克函數(shù)

引用單位階躍函數(shù)ε(t)后，在電路分析中會(huì)遇到對(duì)ε(t)求導(dǎo)的問題，如圖中電路求i(t)的問題。113

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)ε(t）t01當(dāng)t＞0或t＜0時(shí)，有：dε(t)/dt=0；當(dāng)t=0時(shí)，ε(t)不連續(xù)，其斜率是無界的，即：dε(t)/dt=∞；

把ε(t)的導(dǎo)數(shù)記為δ(t)，稱為單位沖激函數(shù)，即：δ(t)=dε(t)/dt。

相應(yīng)地要求δ(t)對(duì)t的積分為ε(t)，即：ε(t)=∫δ(ξ)dξ。114

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)（1）δ(t）的定義

單位沖擊函數(shù)即強(qiáng)度為1單位的沖擊函數(shù)。例如沖激電流i(t)=5δ(t)A，其強(qiáng)度為5C(庫侖)。(1)式為沖激函數(shù)強(qiáng)度的定義。(1)、(2)為δ(t)的定義。則：

如令：115

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)δ(t)也是奇異函數(shù)：在t≠0時(shí)為零；在t=0時(shí)不連續(xù)，發(fā)生跳變，有高度為1的跳躍，強(qiáng)度為1，其斜率是無界的。無意義。函數(shù)值為∞。t01δ(t)

沖激函數(shù)的波形如圖所示，箭頭旁邊標(biāo)有“1”，并不表示幅度，只是表示“強(qiáng)度”。116

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)一個(gè)脈沖函數(shù)的波形如圖所示，

它的高度為1/Δ，寬度為Δ，在保持矩形面積恒為1的情況下，它的寬度越窄，其高度越高。tp(t)0Δ1/Δ117

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)當(dāng)Δ→0時(shí)，脈沖高度1/Δ→∞，在此極限情況下，可以得到一個(gè)寬度趨于零，幅度趨于無窮大，而面積仍為1的脈沖，這就是單位沖激函數(shù)，可記為：limp(t)=δ(t)Δ→0tδ(t)01tp(t)0Δ1/Δ118

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

與階躍函數(shù)一樣，對(duì)單位延時(shí)函數(shù)δ(t-t0)，有：)2(t00)(δ)1(1)(δ1==ò∞-tt-t0d∞對(duì)所有xx-t0

同樣，對(duì)于強(qiáng)度為K的沖激函數(shù)，可表示為：Kδ(t-t0)。119

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)ε(t))(δ=ò∞-dtxxdttdεtδ)()(=（2）單位沖激函數(shù)δ(t)性質(zhì)（a)單位沖激函數(shù)δ(t)對(duì)時(shí)間的積分等于單位階躍函數(shù)ε(t)，即：

反之，階躍函數(shù)ε(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于沖激函數(shù)δ(t)，即：120

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)（b)單位沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)由于當(dāng)t0時(shí)，δ(t)=0，所以對(duì)任意在t=0時(shí)連續(xù)的函數(shù)f(t)，將有:f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，因此：f(0)f(t)δ(t)dt=ò∞-∞δ(t)dt=ò∞-∞f(0)f(t0)f(t)δ(t-t0)dt=ò∞-∞δ(t-t0)dt=ò∞-∞f(0)類似，f(t)δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0)，因此：由此可見，沖激函數(shù)具有把一個(gè)函數(shù)在某一時(shí)刻的值“抽取”出來的性質(zhì)，也稱為抽樣函數(shù)。模擬信號(hào)到數(shù)字信號(hào)的變換。121

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

當(dāng)把一個(gè)單位沖激電流δi(t)加到初始電壓為零、且C=1F的電容上。（3）單位沖激函數(shù)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)——單位沖激響應(yīng)h(t)δi(t)122

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

這相當(dāng)于單位沖激電流瞬間把電荷轉(zhuǎn)移到電容上，使電容電壓從零躍變到1V。

與電容電壓不能躍變矛盾？uC=δi(t)dt=ò0-0+C1C1=1V電容電壓uC為：δi(t)123

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

當(dāng)把一個(gè)單位沖激電壓δu(t)加到初始電流為零、且L=1H的電感上。δi(t)L124

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)電感電流iL為：iL=δu(t)dt=ò0-0+L1L1=1A

這相當(dāng)于單位沖激電壓瞬間在電感上建立了1A的電流，即電感電流從零躍變到1A。

與電感電流不能躍變矛盾？δi(t)L125

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

當(dāng)沖激函數(shù)作用于零狀態(tài)的一階RC或RL電路，在t=0-到0+的區(qū)間內(nèi)，它使電容電壓或電感電流發(fā)生躍變。

t≥0+時(shí)，沖激函數(shù)為零，但uC(0+)或iL(0+)不為零，電路中將產(chǎn)生相當(dāng)于初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)。

所以，一般電路沖激響應(yīng)的求解，關(guān)鍵在于計(jì)算在沖激函數(shù)作用下的uC(0+)或iL(0+)的值。126

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

單位沖激輸入的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，記作h(t)。

如前所述，沖激函數(shù)等于階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

因此線性電路中階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)之間也具有一個(gè)重要關(guān)系。

如果以s(t)表示某一電路的階躍響應(yīng)，而h(t)為同一電路的沖激響應(yīng)，則有：s(t)

=h(t)dtòdttdεtδ)()(=ε(t)

=δ(t)dtò127

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)證明：按沖激函數(shù)的定義，有：ε(t))(δ=ò∞-dtxxdttdεtδ)()(=

根據(jù)一個(gè)線性時(shí)不變電路的一個(gè)重要性質(zhì)：對(duì)于線性電路，描述電路性狀的微分方程為線性常系數(shù)方程。如設(shè)激勵(lì)x(t)的響應(yīng)為y(t)，則當(dāng)所施加激勵(lì)換為x(t)的導(dǎo)數(shù)或積分時(shí)，所得響應(yīng)必相應(yīng)地為y(t)的導(dǎo)數(shù)或積分。

沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，因此沖激響應(yīng)可以按階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)求得。（證畢）128

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)另一種證明：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)p(t)可看作是兩個(gè)階躍函數(shù)之差，即：tp(t)0Δ1/Δp(t)=1Δ[ε(t)-ε(t-Δ)]于是，可知該單位脈沖p(t)的零狀態(tài)響應(yīng)為：h(t)=lim1Δ[s(t)-s(t-Δ)]=Δ→0ds(t)dt1Δ[s(t)-s(t-Δ)]因此，可知該單位沖激響應(yīng)為：129

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

由此可見，上式提供了求h(t)的一條途徑，即：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單位沖激響應(yīng)；反之，單位沖激響應(yīng)對(duì)時(shí)間的積分即為單位階躍響應(yīng)。ε(t))(δ=ò∞-dtxxdttdεtδ)()(=dttdsth)()(=S(t))(h=ò∞-dtxx130

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)例（略）：接續(xù)前題，求uL(t)。解：前題已求出：i(t)=A(1-e-t)ε(t)-A(1-e-(t-t0))ε(t-t0),i(t)1H1Ω+u(t)-tu(t)t00A131

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)

因?yàn)?，uL(t)=Ldi/dt=di/dt，代入得：uL(t)=di/dt=Ae-tε(t)+A(1-e-t)δ(t)-Ae-(t-t0)ε(t-t0)-A(1-e-(t-t0))δ(t-t0)，

根據(jù)取樣性質(zhì)：f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0)，有:e-tδ(t)=e0δ(t)，e-(t-t0)δ(t-t0)=e0δ(t-t0)代入得，uL(t)=Ae-tε(t)-Ae-(t-t0)ε(t-t0)。(解畢)132

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)例（略）：求圖示電路的單位沖激響應(yīng)u(t)。+h(t)-CR+δ電壓源(t)-解：由等效規(guī)律可將原電路轉(zhuǎn)化為由圖所示電路。則有：δ電壓源(t)=δ電流源(t)R；將δ電壓源(t)換為ε(t)=(1A)R，+s(t)-CR+ε(t)-則可得階躍信號(hào)的響應(yīng)為：133

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)δ(t)t=0-時(shí)，u=h=0；t=0+時(shí)，u=h=1/C。因此t=0時(shí)在沖激電流作用下電容電壓u由0躍變?yōu)?/C（V）。（解畢）電流δ是無界的?。?！134

§6-3階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)本節(jié)要點(diǎn)：（1）階躍信號(hào)及響應(yīng)；（2）沖激信號(hào)及響應(yīng)；（3）兩者的關(guān)系。135第四節(jié)零輸入響應(yīng)第六章一階電路

136§6-4零輸入響應(yīng)1、零輸入概念

在動(dòng)態(tài)電路中，電路的響應(yīng)不僅與外加激勵(lì)有關(guān)，而且與動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能有關(guān)。

電路在沒有外加激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)，它反映了電路本身的特性。

因此，零輸入響應(yīng)僅僅是由于非零初始狀態(tài)引起的，即，是由初始時(shí)刻電容或電感的儲(chǔ)能所引起的。137§6-4零輸入響應(yīng)2、RC電路的零輸入響應(yīng)RC串聯(lián)等效電路的全響應(yīng)，如圖所示。

設(shè)在t=0時(shí)，圖中電容電壓為uC(0)。則根據(jù)電容等效電路，可將單一電容元件電路在t≥0時(shí)等效為：138§6-4零輸入響應(yīng)

在實(shí)際的電路分析中，零輸入響應(yīng)可以獨(dú)立存在，不一定是全響應(yīng)的一個(gè)分量，可以用uC(t)來表示電容電壓的零輸入響應(yīng)。

需要注意：在電容等效電路中，電容C的初始電壓設(shè)為零，即：u1(0)=0；而實(shí)際的初始電壓uC(0)是以電壓源的形式與之串聯(lián)的。

在輸入為零的條件下，由初始電壓uC(0)所產(chǎn)生的響應(yīng)。如圖所示。139§6-4零輸入響應(yīng)

u1(t)只存在于等效電路中，在上圖中它卻是獨(dú)立電壓源uC(0)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。

由上節(jié)可知：

其中，負(fù)號(hào)的出現(xiàn)是由于參考方向設(shè)定上的差別。

(a)求狀態(tài)變量uC(t)

所求電容電壓uC(t)在等效電路中是：uC(t)=u1(t)+uC(0)1400t234uC(t)0.01830.368uC(0)ττττuC(0)uC(0)∴0)0()0()()(13=+=-teuutututCCCt§6-4零輸入響應(yīng)

代入可求得零輸入響應(yīng)為：

由此可見，uC(t)是一個(gè)由uC(0)開始隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)，如圖所示為uC(t)的放電曲線。ttuC(0)etuC-=)(141§6-4零輸入響應(yīng)(b)求iC(t)dtdu1iC(t)C==RU0-ett其中，負(fù)號(hào)表示放電電流與圖中所設(shè)方向相反。由前式可知：

設(shè)uC(0)=U0，可得：142§6-4零輸入響應(yīng)

如圖所示為iC(t)的放電曲線，在t=0時(shí)，電流由零躍變?yōu)?U0/R，表現(xiàn)出不連續(xù)性。

因此在放電過程中，uC和iC都隨時(shí)間衰減，當(dāng)t=(4~5)τ時(shí)可以認(rèn)為放電結(jié)束，uC和iC均已趨于零。時(shí)間常數(shù)τ越小，則過程進(jìn)行越快。tiC(t)0-U0/RdtduCiC(t)C==RU0-ett也可直接由uC求得：143§6-4零輸入響應(yīng)（c)特性

從物理意義上看，RC的零輸入響應(yīng)反映電容儲(chǔ)能從有到無的衰減過程—放電過程。對(duì)比RC的零狀態(tài)響應(yīng)，反映電容儲(chǔ)能從無到有的增長(zhǎng)過程—充電過程。零輸入響應(yīng)：放電過程零狀態(tài)響應(yīng)：充電過程144§6-4零輸入響應(yīng)

由上所知，iC(t)、uC(t)也都是隨時(shí)間衰減的指數(shù)曲線。

但在t=0時(shí)刻，uC保持其連續(xù)性，而iC則發(fā)生了躍變。

時(shí)間常數(shù)τ反映出一階動(dòng)態(tài)電路本身所固有的這一性質(zhì)，它是一個(gè)與外加激勵(lì)無關(guān)的常數(shù)。dtdu1iC(t)C==RU0-ett∴0)0()0()()(13=+=-teuutututCCCt145§6-4零輸入響應(yīng)

在放電過程中，電容不斷釋放能量并為電阻所消耗，直到原來儲(chǔ)存在電容中的電場(chǎng)能量全部為電阻所吸收而轉(zhuǎn)換成熱能。即：WR=∫0∞i2(t)Rdt

=∫0∞(U0e-t/τ/R)2Rdt

=(U02/R)∫0∞e-2t/τdt=CU02/2。146§6-4零輸入響應(yīng)----++++uL(t)iL(t)RL----++++uL(t)iL(t)RLiL(0)i1(t)3、RL電路的零輸入響應(yīng)（a)求狀態(tài)變量iL(t)

iL(t)是在輸入為零的條件下，由初始電流iL(0)所產(chǎn)生的響應(yīng)。

等效電路如圖所示。

因此有：iL(t)=i1(t)+iL(0)147§6-4零輸入響應(yīng)

i1(t)只存在于等效電路中，在上圖中它卻是獨(dú)立電流源iL(0)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，由上節(jié)可知：

0)1)(0()(13--=-teititLt∴0)0()0()()(13=+=-teiitititLLLt代入可求得零輸入響應(yīng)為：

其中，負(fù)號(hào)的出現(xiàn)是由于參考方向設(shè)定上的差別。

----++++uL(t)iL(t)RLiL(0)i1(t)148§6-4零輸入響應(yīng)

由此可見，iL(t)是一個(gè)由iL(0)開始隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)，如圖所示為iL(t)的放電曲線。ttiL(0)etiL-=)(0t234iL(t)0.01830.368iL(0)ττττiL(0)iL(0)

這一結(jié)論和以上對(duì)RC電路分析所的結(jié)論相同，只是時(shí)間常數(shù)τ不同而已。

∴0)0()0()()(13=+=-teiitititLLLt149§6-4零輸入響應(yīng)(b)求uL(t)dtdi1uL(t)L==RI0-ett其中，負(fù)號(hào)表示放電電壓與圖中所設(shè)方向相反。----++++uL(t)iL(t)RLiL(0)i1(t)由前式可知：

設(shè)iL(0)=I0，可得：0)1)(0()(13--=-teititLt150§6-4零輸入響應(yīng)

如圖所示為uL(t)的放電曲線，在t=0時(shí)，電壓uL由零躍變?yōu)?I0R，表現(xiàn)出不連續(xù)性。

因此在放電過程中，