鄭州大學(xué)數(shù)字信號處理復(fù)習(xí)

數(shù)字信號處理

第一章離散時間信號與系統(tǒng)

一、離散信號（序列）的表示

（T表示抽樣間隔）表示方法：（1）數(shù)學(xué)表達式（2）圖形表示1.1離散時間信號——序列二、信號的運算1、信號的移位：x(n)→x(n-m)

2、線性卷積：上式中，若序列x(n)和h(n)的長度分別是M和L,則y(n)的長度為L+M-1。

三、幾種常用序列1、單位抽樣序列δ(n)（1）定義式（2）δ(n)的性質(zhì)

例：求（1）（2）2、單位階躍序列u(n)（1）定義式3、矩形序列RN(n)（1）定義式（2）RN(n)用來截斷序列例：序列x(n)=δ(n)-3δ(n-1)+2δ(n-2),若序列y(n)=x(n-1)R3(n),求y(n)的數(shù)學(xué)表達式。4、正弦型序列要求：會判斷正弦型序列的周期性四、正弦序列的周期性的周期有三種情況：是整數(shù)，則x(n)是周期序列，周期為N；

是有理數(shù)，（其中P、Q為互質(zhì)整數(shù))，則x(n)是周期序列，周期為P；

是無理數(shù)，則x(n)不是周期序列。

例1：序列是否周期序列？若是，周期是多少？例2：信號以抽樣間隔T=0.5對x(t)進行抽樣得到離散信號x(n),（1）請問x(n)是否為周期序列？如果是，寫出x(n)的周期；（2）若欲對x(t)進行信號分析，則時域應(yīng)至少取多少個抽樣點？為什么？五、用δ(n)表示任意序列例1：已知序列x(n)=δ(n)-4δ(n-1)+3δ(n-2),y(n)=x(n-1),求y(n)的數(shù)學(xué)表達式。畫圖表示x(n)和y(n).例2：已知f(n)如圖，寫出f(n)表達式

1.2線性、移不變（LSI）系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)：若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]，則a1y1(n)+a2y2(n)=T[a1x1(n)+a2x2(n)]例：判斷下列系統(tǒng)是否線性系統(tǒng)。y(n)=x(n)+1y(n)=x(n+5)y(n)=x(3n)二、移不變系統(tǒng)：若y(n)=T[x(n)]，則y(n-m)=T[x(n-m)]。例：判斷下列系統(tǒng)是否線性移不變系統(tǒng)。y(n)=x(n)+1y(n)=x(n+5)y(n)=x(3n)三、LSI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)（1）定義：當(dāng)輸入信號為δ(n)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位抽樣響應(yīng)，用h(n)表示。（2）h(n)只能用來描述線性移不變系統(tǒng)。（3）若線性移不變系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為h(n)，當(dāng)輸入信號為x(n)時，系統(tǒng)的輸出為：y(n)=x(n)*h(n)四、因果系統(tǒng)

1、因果系統(tǒng)的定義：因果系統(tǒng)是指某時刻的輸出只取決于此時或此時之前時刻的輸入的系統(tǒng)。例：判斷下列系統(tǒng)是否因果系統(tǒng)。

y(n)=x(n-2)，

y(n)=x(n+5)例：下列單位抽樣響應(yīng)所表示的系統(tǒng)是否因果系統(tǒng)?A.h(n)=δ(n) B.h(n)=u(n)C.h(n)=R10(n) D.h(n)=e-20nu(n)2、線性移不變系統(tǒng)因果性的判斷：當(dāng)n<0時，h(n)=0，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。

1、穩(wěn)定系統(tǒng)的定義：穩(wěn)定（BIBO）系統(tǒng)是指當(dāng)輸入有界時，輸出也有界的系統(tǒng)。例：判斷下列系統(tǒng)是否穩(wěn)定系統(tǒng)。

y(n)=x(n-2)

y(n)=nx(n)五、穩(wěn)定系統(tǒng)2、線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷：

若，系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。例：下列單位抽樣響應(yīng)所表示的系統(tǒng)是否因果穩(wěn)定系統(tǒng)?A.h(n)=δ(n)B.h(n)=u(n)C.h(n)=R10(n)D.h(n)=e-20nu(n)1.4連續(xù)時間信號的抽樣1、對連續(xù)信號進行時域抽樣會使信號的頻譜產(chǎn)生周期延拓。

2、奈奎斯特抽樣定理：若信號頻率上限為fc，要想對其抽樣后由抽樣信號恢復(fù)出原信號，則抽樣率fs應(yīng)滿足稱為奈奎斯特抽樣頻率，稱為乃奎斯特抽樣間隔。

3、抽樣信號的恢復(fù)：若連續(xù)信號為帶限，且對其抽樣滿足奈奎斯特條件，則只要將抽樣信號通過理想低通濾波器即可完全不失真恢復(fù)原信號。

第二章Z變換與離散時間傅里葉變換2.2z變換定義與收斂域一、z變換公式例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).求x(n)的z變換X(z)解：掌握X(z)收斂域與序列x(n)的關(guān)系若X(z)收斂域為，則x(n)為右邊序列（因果序列），反之亦然，則x(n)為左邊序列（逆因果序列），反之亦然；若X(z)收斂域為，則x(n)為雙邊序列，反之亦然；若X(z)收斂域為，則x(n)為有限長序列，反之亦然。若X(z)收斂域為二、z變換的收斂域：使X(z)收斂的z的范圍。2.3Z反變換1、極點：

使的z的值稱為X(z)的極點。收斂域內(nèi)不可能有極點。極點決定收斂域的邊界。

例：求的極點。X（z）有幾種可能的收斂域？

2、X(z)有幾種收斂域，就對應(yīng)幾種x(n)。一、掌握收斂域在Z反變換中的作用。二、掌握用留數(shù)法求Z反變換的方法例：已知求X(z)的反變換x(n)。一、z變換的時移特性：若，則2.4Z變換的性質(zhì)二、z變換的卷積特性：2.6序列的傅里葉變換一、序列的傅里葉變公式：

例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).

求x(n)的頻譜X(ejω)解：

二、序列x(n)的直流分量例：若x(n)=δ(n)-3δ(n-1)+9δ(n-2),

則x(n)的直流分量X(ej0)=

。2.9傅里葉變換的一些對稱性質(zhì)3、實偶序列的傅里葉變換是實偶函數(shù)。1、實序列的傅里葉變換的幅度是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù)。4、實奇序列的傅里葉變換是虛奇函數(shù)。2、實序列的傅里葉變換的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。2.10離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)的收斂域特征：因果系統(tǒng)H(z)的收斂域包含∞，即穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)的收斂域包含單位圓因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)的收斂域同時包含∞和單位圓，即因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)的全部極點都在單位圓內(nèi)。一、系統(tǒng)函數(shù)的定義及其與抽樣響應(yīng)h(n)的關(guān)系例

：因果系統(tǒng)的收斂域是

例：若某系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，則其系統(tǒng)函數(shù)的收斂域為可能是（）

A.｜z｜>7B.｜z｜<0.3C.0.1<｜z｜<7D.1<｜z｜<7例：已知線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)若該系統(tǒng)因果穩(wěn)定，則（）三、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系1、差分方程的形式：例：y(n)+2y(n-1)+5y(n-2)=2x(n)2、由差分方程求系統(tǒng)函數(shù)H(z)例：一個線性移不變系統(tǒng)由方程y(n)-3.2y(n-1)+2.4y(n-2)=x(n)描述，

(1)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；（2）該方程可以描述幾種不同的系統(tǒng)？

(3)若系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，求其單位抽樣響應(yīng)。四、系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何確定法1、系統(tǒng)頻率響應(yīng)的定義稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。2、頻率響應(yīng)曲線與H（z）零、極點的關(guān)系

靠近單位圓的零點位置對應(yīng)幅頻響曲線的谷值位置，

靠近單位圓的極點位置對應(yīng)幅頻響曲線的峰值位置。

例：某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：畫出H(z)的零、極點分布圖；粗略畫出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。第三章離散傅里葉變換DFT3.2傅里葉變換的幾種可能形式信號時域與頻域特性的對應(yīng)關(guān)系時域：離散連續(xù)周期非周期頻域：周期非周期離散連續(xù)例：判斷對錯：1、x(n)是一個離散周期信號，則它的頻譜一定一個離散周期函數(shù)。2、序列的頻譜一定是周期函數(shù)。3.5離散傅里葉變換一、掌握DFT公式

例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).

求x(n)的DFT解：

二、DFT的物理含義3.6DFT的性質(zhì)一、序列的補零以及補零序列的DFT二、序列的圓周移位表示y(n)是x(n)的圓周移位，掌握圓周移位的過程。例：序列x(n)=2δ(n)+3δ(n-1)-4δ(n-2),若序列y(n)=x（(n-1)）3R3(n),試分別畫圖表示x(n)和y(n)。三、序列的圓周卷積與線性卷積的關(guān)系3.8利用DFT計算模擬信號的傅立葉變換對1、頻譜混疊：是指信號頻譜周期延拓時發(fā)生混疊的現(xiàn)象。產(chǎn)生原因：時域抽樣不滿足抽樣定理。改善方法：減小抽樣間隔。一、利用DFT計算連續(xù)時間信號的傅立葉變換可能出現(xiàn)的三個主要問題：2、頻譜泄露：是指信號頻譜分布加寬，高頻含量增加的現(xiàn)象。產(chǎn)生原因：時域信號截斷。改善方法：增加時域信號長度或采用更平滑的截斷方式。3、柵欄效應(yīng)：是指對連續(xù)時間信號的連續(xù)頻譜進行頻譜分析時，其中部分頻譜未被抽樣、未能觀察到的現(xiàn)象。

產(chǎn)生原因：是由于采用DFT對連續(xù)信號進行離散傅里葉變換，對頻譜進行了抽樣。

改善方法：通過時域補零，可以增加頻域抽樣點，改善“柵欄效應(yīng)”。

二、譜分析主要參數(shù)的計算若譜分析處理器要求最高頻率為fc,頻率分辨率為Fo,請確定以下參數(shù)：（1）最小記錄長度（2）最大抽樣間隔（3）一個記錄中的最少抽樣點數(shù),N通常取2的整數(shù)次冪。

例：已知某FFT譜分析處理器要求最高頻率≤1kHz,頻率分辨率≤2Hz,

請確定以下參數(shù)：（1）最小記錄長度；（2）最大抽樣間隔；（3）一個記錄中的最少抽樣點數(shù)。解：（1）最小記錄長度（2）最大抽樣間隔（3）一個記錄中的最少抽樣點數(shù)N取1024。一、FFT的基本運算單元是碟形運算二、用基2時間抽取FFT計算N點DFT所需的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)與成正比4.3按時間抽取的基2FFT算法第四章快速傅里葉變換FFT4.2直接計算DFT的問題及改善途徑一、FFT是DFT的快速算法二、直接計算N點DFT所需的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)與N2成正比用FFT實現(xiàn)線性卷積的步驟設(shè)序列x(n)和h(n)的長度分別為M和L，則用FFT實現(xiàn)線性卷積的步驟是（令N=L+M-1）：

（1）對x(n)計算N點FFT：X(k)=DFT[x(n)]；（2）對h(n)計算N點FFT：H(k)=DFT[h(n)]；（3）計算Y(k)=X(k)H(k)；（4）對Y(k)計算N點IFFT：y(n)=DFT[Y(k)]。4.10線性卷積的FFT算法例：已知系統(tǒng)的h(n)長度為11，現(xiàn)采用h(n)對一個33點輸入序列x(n)濾波，請寫出用FFT實現(xiàn)該濾波過程的步驟。解：令N=11+33-1=43

（1）對x(n)計算N點FFT：X(k)=DFT[x(n)]；（2）對h(n)計算N點FFT：H(k)=DFT[h(n)]；（3）計算Y(k)=X(k)H(k)；（4）對Y(k)計算N點IFFT：y(n)=DFT[Y(k)]。

第五章數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)一、掌握IIR濾波器的幾個特點二、掌握IIR濾波器的典范性、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。

5.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)例：已知系統(tǒng)函數(shù)（1）該系統(tǒng)函數(shù)可以描述幾種不同的系統(tǒng)？（2）求出因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng);（3）

畫出H（z）的典范型結(jié)構(gòu)。5.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)一、掌握FIR濾波器的幾個特點二、掌握FIR濾波器的快速卷積結(jié)構(gòu)第六章IIR濾波器設(shè)計方法6.2最小與最大相位延遲系統(tǒng)掌握最小相位延遲系統(tǒng)的零、極點特點6.3全通系統(tǒng)一、掌握全通系統(tǒng)的零、極點特點二、掌握全通系統(tǒng)的應(yīng)用利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器時，由S平面到Z平面的映射變換應(yīng)遵循的兩個基本原則：

1、s左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)；

2、s平面的虛軸映射到z平面單位圓上。6.4利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器6.5沖激響應(yīng)不變法一、沖激響應(yīng)不變法主要的優(yōu)缺點優(yōu)點：（1）數(shù)字時域特性可以很好地模仿模擬時域特性；（2）數(shù)字角頻率與模擬角頻率是線性關(guān)系，因此不會產(chǎn)生頻率幅度及相位特性的畸變。缺點：s與z平面不是一一對應(yīng)關(guān)系，存在頻譜混疊。二、沖激不變法設(shè)計中模擬濾波器與數(shù)字濾波器的對應(yīng)關(guān)系：

（1）h(n)與ha(t)的關(guān)系：

（2）z與s的關(guān)系：（3）模擬角頻率Ω與數(shù)字角頻率ω的關(guān)系：

（4）H(z)與Ha(s)的關(guān)系：若則例：已知模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為采用沖激響應(yīng)不變法將其變換為數(shù)字濾波器，寫出數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的表達式（抽樣間隔T=1）。解：6.7雙線性變換法一、雙線性變換法主要的優(yōu)缺點優(yōu)點：s與z平面一一對應(yīng)，不存在頻譜混疊。缺點：數(shù)字角頻率與模擬角頻率是非線性關(guān)系，因此會產(chǎn)生頻率幅度及相位特性的畸變。應(yīng)用：雙線性變換只能用來設(shè)計頻率特性為分段常數(shù)的IIR濾波器二、雙線性法中模擬濾波器與數(shù)字濾波器的對應(yīng)關(guān)系：

（3）H(z)與Ha(s)的關(guān)系（數(shù)字化方法）：（2）模擬角頻率Ω與數(shù)字角頻率ω的關(guān)系：三、掌握雙線性法中的指標(biāo)預(yù)畸

（1）z與s的關(guān)系：（在設(shè)計低通濾波器時，c=2/T）例：沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法都是將一個模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)變換成一個數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的映射方法，請回答下列問題：（1）最小相位模擬系統(tǒng)的特點是：所有極點和零點均在左半s平面上。如果要把一個最小相位模擬濾波器變換成一個最小相位數(shù)字濾波器，請問上述兩種映射方法能否滿足要求？給出理由。（2）全通模擬系統(tǒng)的特點是：所有極點均在左半s平面sk處，而全部零點都在右半s平面-sk處。如果要把一個全通模擬濾波器變換成一個全通數(shù)字濾波器，請問上述兩種映射方法能否滿足要求？給出理由。6.8常用模擬低通濾波器特性掌握巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法6.10IIR數(shù)字濾波器設(shè)計掌握巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟和具體過程指標(biāo)變換——模擬濾波器設(shè)計——變換為數(shù)字濾波器第七章FIR濾波器設(shè)計方法FIR濾波器與IIR濾波器的比較（單位抽樣響應(yīng)h(n)、H(z)極點分布以及運算結(jié)構(gòu)三個方面）：

1、IIR濾波器的h(n)長度無限，因此不可能是線性相位，而

FIR濾波器h(n)長度有限，可以做到線性相位。2、IIR濾波器H(z)在有限z平面內(nèi)（即z≠0且z≠∞）一定有極點存在，所以可能不是因果穩(wěn)定；而FIR濾波器的全部極點都分布在z=0處，所以一定因果穩(wěn)定。3、IIR濾波器一定要采用遞歸結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，而FIR濾波器可以采用非遞歸運算結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。7.1引言例：下列特征不屬于FIR濾波器的是A.h(n)有限長B.可能不穩(wěn)定C.非遞歸結(jié)構(gòu)D.可能線性相位一、線性相位FIR系統(tǒng)(0≤n≤N-1)的單位抽樣響應(yīng)應(yīng)滿足的條件是h(n)=±h(N-1-n)7.2線性相位FIR濾波器特點二、線性相位FIR濾波器的相位特點三、線性相位FIR濾波器的幅度特點：四種類型線性相位FIR濾波器四、線性相位FIR濾波器的零點特點例3：某濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)=Sa[100π(n-5)]R11(n)（1）它是何種數(shù)字濾波器？（2）它是因果穩(wěn)定系統(tǒng)嗎？為什么？（3）它是線性相位的嗎？為什么？7.3窗函數(shù)設(shè)計法一、窗函數(shù)的特點：（1）窗函數(shù)的長度只與濾波器的過渡帶寬度有關(guān)，與濾波器阻帶最小衰減無關(guān)；（2）窗函數(shù)的形狀與濾波器的過渡帶寬度和濾波器阻帶最小衰減都有關(guān)系；（，N為窗函數(shù)長度）

二、用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的步驟（一）根據(jù)指標(biāo)寫出理想低通濾波器hd（n）表達式：首先根據(jù)指標(biāo)計算濾波器通帶截止頻率

理想低通濾波器hd（n）表