ch6點的合成運動

第六章點的合成運動理論力學(xué)

§6–1點的合成運動的概念

§6–2點的速度合成定理

§6–3點的加速度合成定理習(xí)題課第六章點的合成運動前章中我們研究點和剛體的運動，一般都是以地面為參考體的。然而在實際問題中，還常常要在相對于地面運動著的參考系上觀察和研究物體的運動。例如，從行駛的汽車上觀看飛機(jī)的運動等，坐在行駛的火車內(nèi)看雨點的運動等。在不同的坐標(biāo)系或參考體上觀察物體的同一運動會有不同的結(jié)果。引言§6-1點的合成運動的概念一．坐標(biāo)系

1.靜(坐標(biāo))系：把固結(jié)于地面上的坐標(biāo)系。二．動點所研究的點（運動著的點）。

2.動(坐標(biāo))系：把固結(jié)于相對于地面運動物體上的坐標(biāo)系。三．三種運動、三種速度、三種加速度

１．絕對運動：動點相對于靜系的運動。

２．相對運動：動點相對于動系的運動。

３．牽連運動：動系相對于靜系的運動牽連點：在任意瞬時，動系上與動點相重合的點。點的運動

（直線或曲線運動）剛體的運動絕對運動中,動點的速度與加速度稱為絕對速度與絕對加速度相對運動中,動點的速度和加速度稱為相對速度與相對加速度牽連運動中,牽連點的速度和加速度稱為牽連速度與牽連加速度注意：牽連點是動系上不動的點，但它隨動系一起運動；不同瞬時牽連點不同。（平動、轉(zhuǎn)動或其它運動）舉例說明以上各概念：動點：動系：靜系：AB桿上A點固結(jié)于凸輪Ｏ'上固結(jié)在地面上動點、動系選擇的原則：

動點不能選在動系上，動點對動系有相對運動，且相對運動的軌跡要明確。相對運動：牽連運動：曲線（圓弧）直線平動絕對運動：直線絕對速度：相對速度：牽連速度：絕對加速度：相對加速度：牽連加速度：動點：A（在圓盤上)動系：O'A擺桿靜系：機(jī)架絕對運動：曲線（圓周）相對運動：直線牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動動點：A1（在O'A1

擺桿上)動系：圓盤靜系：機(jī)架絕對運動：曲線（圓?。┫鄬\動：曲線牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動（不合適）

若動點A在偏心輪上時動點：A(在AB桿上)

A（在偏心輪上）動系：偏心輪AB桿靜系：地面地面絕對運動：直線圓周（紅色虛線）相對運動：圓周（曲線）曲線（未知）牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動平動[注]要指明動點應(yīng)在哪個物體上，但不能選在動系上。（不合適）§6-２點的速度合成定理速度合成定理將建立動點的絕對速度，相對速度和牽連速度之間的關(guān)系。

當(dāng)t

t+△t

ABA'B'

MM'也可看成MM１

M′絕對軌跡絕對位移相對軌跡相對位移牽連軌跡牽連位移＝＋將上式兩邊同除以后，時的極限，得

va—動點的絕對速度；

vr—動點的相對速度；

ve—動點的牽連速度，是動系上一點(牽連點)的速度

動系作平動時，動系上各點速度都相等。

動系作轉(zhuǎn)動時，ve必須是該瞬時動系上與 動點相重合點的速度。

速度合成定理：任一瞬時動點的絕對速度等于其牽連速度與相對速度的矢量和。速度合成定理是瞬時矢量式，共包括大小、方向六個元素，已知任意四個元素，就能求出其他兩個。例：曲柄滑桿機(jī)構(gòu)，曲柄OA=0.1m，ω=4t(rad/s)，滑桿上有圓心在套桿BC上、半徑R=0.1m的圓弧形滑道。當(dāng)t=1s時，曲柄與水平線夾角=30o。求此時滑桿BC的速度v。m/sm/s解：動點：滑塊A，

動系：滑桿BC，

靜系：大地速度分析如圖。（）例:

曲柄擺桿機(jī)構(gòu)。已知：OA=r,,OO1=l，圖示瞬時OAOO1，求：擺桿O1B角速度1解：動點：OA桿上A點，動系：擺桿01B，

靜系：大地速度分析如圖例：

圓盤凸輪機(jī)構(gòu)。已知：OC＝e,,＝常量，圖示瞬時,OCCA

且

O、A、B三點共線。求：從動桿AB的速度。解：動點：AB桿上A點，動系：偏心輪C，

靜系：大地速度分析如圖。

例：汽車A以40km/h的速度沿直線道路行駛，汽車B以56.6km/h的速度沿另一叉道行駛。試求在汽車B上觀察到的汽車A的速度。解：動點：汽車A

動系：汽車B

靜系：地面。

（km/h）速度分析如圖

分析：相接觸的兩個物體的接觸點隨時間而變化，因此兩物體的接觸點不宜選為動點，需選擇特殊點為動點。例：已知:凸輪半徑r,

桿OA靠在凸輪上。求：圖示瞬時桿OA的角速度。解:

動點：凸輪上C點為,

動系：固結(jié)于OA桿上,

靜系：固結(jié)于大地。（）速度分析如圖：§4-3加速度合成定理

設(shè)有一動點M按一定規(guī)律沿著固連于動系O'x'y'z'的曲線AB運動,而曲線AB同時又隨同動系O'x'y'z'相對靜系Oxyz平動。一、牽連運動為平動時其中：動系作平動，其上各點的速度、加速度都相同 為動系坐標(biāo)軸方向的單位矢量，因動系為平動，故它們的方向不變，是常矢量，—牽連運動為平動時點的加速度合成定理當(dāng)牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。解：動點：桿上的A點，動系：凸輪（平動）靜系：大地例：已知：凸輪半徑求：j=60o時,頂桿AB的加速度。1）速度分析如圖n2）加速度分析如圖將上式投影到法線上，得整理得設(shè)一圓盤以勻角速度繞定軸Ｏ順時針轉(zhuǎn)動，盤上圓槽內(nèi)有一點M以大小不變的速度vr

沿槽作圓周運動，那么M點相對于靜系的絕對加速度應(yīng)是多少呢？二、牽連運動為轉(zhuǎn)動時選點M為動點，動系固結(jié)與圓盤上，則M點的牽連運動為勻速轉(zhuǎn)動相對運動為勻速圓周運動，（方向如圖）由速度合成定理可得出（方向如圖）即絕對運動也為勻速圓周運動，所以方向指向圓心Ｏ點

可見，當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度并不只等于牽連加速度和相對加速度的矢量和，而是多出了一項aC＝2vr

。aC稱為科氏加速度，是由于牽連運動和相對運動相互影響而產(chǎn)生的。vr=i′+j′k′ve=ωe×r

ar=i′+j′k′

公式推導(dǎo)分析相對導(dǎo)數(shù)設(shè)有一動點M沿空間曲線運動，動系O’x’y’z’繞靜系Oxyz的z軸轉(zhuǎn)動，角速度、角加速度分別為。根據(jù)點的速度合成定理：va

=ve+vr兩邊同對時間求導(dǎo)，得：動系以角速度矢ωe繞定軸轉(zhuǎn)動,定軸為定系的z軸，定點O到動系原點及單位矢量k’的矢端A的矢徑分別為rO’和rA

。k＇=rA–rO＇vA–vO＇vA=ωe×rA，vO＇=ωe×rO＇

ωe×rA

－ωe×rO＇=ωe×(rA

－rO＇)=×k＇下面先來分析動系坐標(biāo)軸方向單位矢量對時間的一階導(dǎo)數(shù)。ωe×i′ωe×j′ωe×k′i′+j′

i′+j′k′=ar

（ωe×i′）（ωe×j′）（ωe×k′）

=ar

i′j′k′）=ar+ωe×vr

aa

=ae+ar+2ωe×vr

ac=2ωe×vr

ac稱為科氏加速度，它等于動系角速度矢與動點相對速度矢的矢積的兩倍，是由于牽連運動與相對運動相互影響而產(chǎn)生的。

aa

=ae+ar+ac當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度，相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。方向：按右手法則確定。關(guān)于科氏加速度ac=2ωe×vr將vr的方向順的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過即為的方向。在自然界中可以觀察到科氏加速度所表現(xiàn)出的現(xiàn)象。由于地球繞地軸轉(zhuǎn)動，因此只要地球上物體相對地球運動的方向不與地軸平行，該物體就有科氏加速度。在北半球，河水向北流動時，有向左的加速度，河水必然受右岸對水的向左作用力。根據(jù)作用與反作用定律，河水必對右岸有反作用力。北半球向北流動的江河，其右岸均受到較明顯的沖刷，這也是地理學(xué)中的一項規(guī)律。由于地球自轉(zhuǎn)角速度很小，所以一般工程問題都忽略其自轉(zhuǎn)的影響，只有在某些特殊情形下才加以考慮。DABC解：點M1的科氏加速度

垂直板面向里。例：矩形板ABCD以勻角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動，點M1和點M2分別沿板的對角線BD和邊線CD運動，在圖示位置時相對于板的速度分別為v1和v2

，計算點M1、

M2的科氏加速度大小,并圖示方向。點M2的科氏加速度解：方向：與相同。例:曲柄擺桿機(jī)構(gòu)。已知：O1A＝r,,,1;取O1A桿上A點為動點，動系固結(jié)O2A上，試計算動點A的科氏加速度。速度分析如圖解：動點：小環(huán)M

動系：直角形桿OBC（轉(zhuǎn)動）

靜系；直桿OA（大地）。

1．速度分析如圖（m/s）

（m/s）

（m/s）

例:直角形曲柄OBC繞垂直于圖面的軸O在一定范圍內(nèi)以勻角速度轉(zhuǎn)動，帶動套在固定直桿OA上的小環(huán)M沿直桿滑動。已知：OB=0.1m，

rad/s。試求當(dāng)時，小環(huán)M的速度和加速度。將各加速度矢量投影到x’軸上（m/s2）

（m/s2）

（m/s2）

2．加速度分析如圖解:

動點:頂桿上A點動系:凸輪(轉(zhuǎn)動）

靜系:地面例:

已知：凸輪機(jī)構(gòu)以勻

繞O軸轉(zhuǎn)動，圖示瞬時OA=r

，A點曲率半徑,已知。求：該瞬時頂桿AB的速度和加速度。1．速度分析如圖2．加速度分析如圖向n軸投影：解：動點:凸輪的中心C點動系：連于頂桿AB（平動）

靜系：連于地面。

例:平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)。偏心凸輪以等角速度轉(zhuǎn)動，O軸位于頂桿的軸線上，工作時頂桿的平底始終接觸凸輪表面。設(shè)凸輪半徑為R，偏心距OC=e，OC與水平線的夾角為，試求當(dāng)時，頂桿AB的速度和加速度。1．速度分析如圖2．加速度分析如圖習(xí)題課一．概念及公式

1.一點、二系、三運動點的絕對運動為點的相對運動與牽連運動的合成．

2.

速度合成定理

3.加速度合成定理牽連運動為平動時牽連運動為轉(zhuǎn)動時二．解題步驟

1.選擇動點、動系、靜系。

2.分析三種運動：絕對運動、相對運動和牽連運動。

3.作速度分析,畫出速度平行四邊形,求出有關(guān)未知量(速度,角速度）。

4.作加速度分析，畫出加速度矢量圖，求出有關(guān)未知量(加速度、角加速度）。

三．解題技巧

1.恰當(dāng)?shù)剡x擇動點、動系和靜系,應(yīng)滿足選擇原則。具體地有：

a.

兩個不相關(guān)的動點，求二者的相對速度。根據(jù)題意,選擇其中之一為動點,動系為固結(jié)于另一點的平動坐標(biāo)系。

b.

運動剛體上有一動點，點作復(fù)雜運動。該點取為動點，動系固結(jié)于運動剛體上。

c.

機(jī)構(gòu)傳動,傳動特點是在一個剛體上存在一個不變的接觸點,相對于另一個剛體運動。導(dǎo)桿滑塊機(jī)構(gòu)：典型方法是動系固結(jié)于導(dǎo)桿，取滑塊為動點。凸輪挺桿機(jī)構(gòu)：典型方法是動系固結(jié)與凸輪，取挺桿上與凸輪接觸點為動點。

d.

特殊問題,特點是相接觸兩個物體的接觸點位置都隨時間而變化.此時,這兩個物體的接觸點都不宜選為動點，應(yīng)選擇滿足前述的選擇原則的非接觸點為動點。2.速度問題,

一般采用幾何法求解簡便,即作出速度平行四邊形；加速度問題,

往往超過三個矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影軸的選取依解題簡便的要求而定。

四．注意問題

1.牽連速度及牽連加速度是牽連點相對于靜系的速度及加速度。

2.牽連運動為轉(zhuǎn)動時作加速度分析不要漏掉，正確分析和計算。

3.加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜力平衡方程的投影式不同。

4.圓周運動時，非圓周運動時，(為曲率半徑)r已知:OA＝l,=45o

時，w,;

求：圖示瞬時小車的速度與加速度．解：動點：OA桿上A點;動系：固結(jié)在滑桿上（平動);靜系：固結(jié)在機(jī)架上。一、曲柄滑桿機(jī)構(gòu)1．速度分析如圖小車的速度：方向：水平向右。，方向如圖示小車的加速度：2．加速度分析如圖投影至x軸：，方向如圖示方向：水平向右。二、搖桿滑道機(jī)構(gòu)解：動點:銷子D(BC上)

動系:固結(jié)于OA(轉(zhuǎn)動）

靜系:固結(jié)于機(jī)架。

（）已知

求:該瞬時OA桿的

,。1．速度分析如圖投至軸：（）2．加速度分析如圖三、曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動點：O1A上A點動系：固結(jié)于BCD（平動）靜系：固結(jié)于機(jī)架上

已知：

h;

圖示瞬時;

求:該瞬時桿的w2。解：速度分析如圖動點：BCD上F點動系：固結(jié)于O2E上（轉(zhuǎn)動）靜系：固結(jié)于機(jī)架上）（速度分析如圖（注意：兩次選擇動點、動系）解:動點：凸輪上C點動系：固結(jié)于OA桿上（轉(zhuǎn)動）靜系：固結(jié)于地面上

已知：凸輪半徑為R，圖示瞬時O、C在一條鉛直線上;