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文檔簡介
《應(yīng)用近世代數(shù)》
多媒體課件孔蔭瑩廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)可以把靈活引導(dǎo)到真理。―蘇格拉底(Socrate,前469年—前399年)數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙。-R.培根(RogerBacon,1214-1294)Historiesmakemenwise;poets,witty;themathermatics,subtile;naturalphilosophy,deep;moral,grave;logicandrhetoric,abletocontend…----F.培根(FrancisBacon1561~1626)第三章二、環(huán)內(nèi)一些特殊元素和性質(zhì)四、小結(jié)與思考一、環(huán)的定義第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束環(huán)的定義和基本性質(zhì)三、環(huán)的分類一、環(huán)的定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
1、定義1設(shè)是一個(gè)非空集合,在
中定義
兩種二元運(yùn)算,一種是加法,記為+
,另一種
稱為乘法,記為.且滿足:是一個(gè)可換群;(1)
(2)
是一個(gè)半群;(3)
左、右分配律成立,即對(duì)任何
有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
則稱代數(shù)系是一個(gè)環(huán)(ring).即環(huán)是有兩種運(yùn)算,對(duì)加法是可換群,
對(duì)乘法
是半群,并適合分配律的代數(shù)系統(tǒng).2、定義2如果環(huán)對(duì)乘法也是可交換的,
則稱是可換環(huán)(Commutativering).例1都是環(huán),
而且是可換環(huán).
例2設(shè)對(duì)復(fù)數(shù)
加法和復(fù)數(shù)乘法構(gòu)成環(huán),稱為Guass整數(shù)環(huán).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
例3設(shè)是整數(shù)模
的同余類
集合,定義模的加法和乘法:則是環(huán),稱為整數(shù)模的同余類環(huán).
例4設(shè)則對(duì)矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán),稱為數(shù)環(huán)
上的全矩陣環(huán).
例5
都是相應(yīng)數(shù)環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán).二、環(huán)內(nèi)的一些特殊元素和性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
1、設(shè)是一個(gè)環(huán),加群
中的單位元,
記為,稱為零元.
加群中的元素的逆元,
記為,稱為的負(fù)元.
而環(huán)中的單位元是指乘法
半群中的單位元,記為環(huán)中元素的逆元
是指乘法半群中的逆元,記為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
2、環(huán)中可定義減法:環(huán)中的零元和負(fù)元有如下性質(zhì):此外,元素的倍數(shù)和冪可定義為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
3、定義3設(shè)是一個(gè)環(huán),若
且則稱為左零因子(leftzerodivisor),為右零因子(rightzerodivisor).
若一個(gè)元素既是左零因子又是右零因子,則稱其為零因子(zerodivisor).例6在中,由于所以是左零因子,而是右零因子.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
又如在中,因?yàn)樗院投际橇阋蜃?4、定理1環(huán)中無(右)左零因子的充分必要條件
是乘法消去律成立.三、環(huán)的分類機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
1、定義4設(shè)是一個(gè)環(huán).若可交換,且無零因子,則稱
是整環(huán)(domain).若滿足:(1)中至少有兩個(gè)元
(2)構(gòu)成乘法群,則稱
是一個(gè)除環(huán)(divisionring).若是一個(gè)可換的除環(huán),則稱是域(field).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
2、定理2是域的充要條件是為素?cái)?shù).3、具有有限個(gè)元素的域,稱為有限域(finite
field),是最簡單的有限域.顯然,在一個(gè)除環(huán)中,由于非零元成群,乘法消去律
成立,因而除環(huán)中無零因子.域中也無零因子,且域
必須是整環(huán).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
例7設(shè)則是一個(gè)除環(huán),此環(huán)稱為實(shí)四元數(shù)除環(huán)
(divisionringofrealquaternions).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
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