D5-7多元函數(shù)微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用

第七節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用一、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面二、曲面的切平面與法線(xiàn)

作業(yè)習(xí)題5.71，2,4,5(2)(4)，6,8(2)(4),9,12,17,18復(fù)習(xí):平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法線(xiàn)1.已知平面光滑曲線(xiàn)切線(xiàn)方程法線(xiàn)方程2.若平面光滑曲線(xiàn)方程為故在點(diǎn)切線(xiàn)方程法線(xiàn)方程在點(diǎn)有有因2/33一、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面過(guò)點(diǎn)M

與切線(xiàn)垂直的平面稱(chēng)為曲線(xiàn)在該點(diǎn)的法位置.空間光滑曲線(xiàn)在點(diǎn)M

處的切線(xiàn)為此點(diǎn)處割線(xiàn)的極限平面.1.曲線(xiàn)方程為參數(shù)方程的情況切線(xiàn)方程4/33此處要求也是法平面的法向量,切線(xiàn)的方向向量:稱(chēng)為曲線(xiàn)的切向量.如個(gè)別為0,則理解為分子為0.不全為0,因此得法平面方程說(shuō)明:

若引進(jìn)向量值函數(shù),則

r(t)為的向量方程（或參數(shù)方程）,處的導(dǎo)向量就是該點(diǎn)的切向量.例1.求圓柱螺旋線(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程和法平面方程.切線(xiàn)方程法平面方程即即解:

由于對(duì)應(yīng)的切向量為在,故6/332.曲線(xiàn)為一般式的情況光滑曲線(xiàn)當(dāng)曲線(xiàn)上一點(diǎn),且有時(shí),可表示為處的切向量為則在點(diǎn)切線(xiàn)方程法平面方程有或8/33也可表為法平面方程例2.

求曲線(xiàn)在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線(xiàn)方程與法平面方程.切線(xiàn)方程解法1

令則即切向量10/33法平面方程即解法2.

方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得曲線(xiàn)在點(diǎn)M(1,–2,1)處有:切向量解得切線(xiàn)方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向量12/333.幾個(gè)基本概念如果向量值函數(shù)，則稱(chēng)為設(shè)空間曲線(xiàn)的方程為:（1）簡(jiǎn)單曲線(xiàn)連續(xù)曲線(xiàn)。如果為連續(xù)曲線(xiàn)，且則稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線(xiàn)。易知：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)就是自身不相交的連續(xù)曲線(xiàn)。如果為連續(xù)曲線(xiàn)，且則稱(chēng)為簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)。（2）有向曲線(xiàn)：我們規(guī)定參數(shù)t增大的方向?yàn)榈恼?，相反的方向?yàn)樨?fù)向。（3）光滑曲線(xiàn)稱(chēng)規(guī)定了正向的曲線(xiàn)為有向曲線(xiàn)。上連續(xù)，且，則切線(xiàn)方向連續(xù)變化。稱(chēng)切線(xiàn)連續(xù)變化的曲線(xiàn)為光滑曲線(xiàn)。如果曲線(xiàn)不是光滑曲線(xiàn)，但將其分成若干段后，每段都是光滑曲線(xiàn)，則稱(chēng)為分段光滑曲線(xiàn)。14/33二、曲面的切平面與法線(xiàn)

1.設(shè)有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,切線(xiàn)方程為不全為0.則在且點(diǎn)M的切向量為任意引一條光滑曲線(xiàn)下面證明:此平面稱(chēng)為在該點(diǎn)的切平面.上過(guò)點(diǎn)

M

的任何曲線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)都在同一平面上.證:在上,得令由于曲線(xiàn)的任意性,表明這些切線(xiàn)都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.16/33曲面

在點(diǎn)M的法向量法線(xiàn)方程切平面方程曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線(xiàn)方程令2.光滑曲面

的方程為顯式

在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程18/33法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,例3.

求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線(xiàn)方程.解:所以球面在點(diǎn)(1,2,3)處有:切平面方程即法線(xiàn)方程法向量令20/33例4.確定正數(shù)

使曲面在點(diǎn)解:二曲面在

M

點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M

相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面,因此有3.曲面的參數(shù)方程曲面的方程可以用含有兩個(gè)參數(shù)的參數(shù)方程表示；例如，試建立半徑為R的球面的參數(shù)方程。于是，球面的參數(shù)方程為：P22/33一般地，曲面的參數(shù)方程或向量方程：對(duì)于曲面的方程，若固定曲面上曲線(xiàn)的表示：，讓u變化，則向量r對(duì)應(yīng)的是曲面上的一條曲線(xiàn)，稱(chēng)為曲面上的u曲線(xiàn)；若固定，讓u變化，則向量r對(duì)應(yīng)的是曲面上的一條曲線(xiàn)，稱(chēng)為曲面上的v曲線(xiàn).

u曲線(xiàn)族與v曲線(xiàn)族構(gòu)成曲面上的參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)；若曲面的向量方程在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，而（此時(shí)點(diǎn)稱(chēng)為正則點(diǎn).）分別是u曲線(xiàn)與v曲線(xiàn)在點(diǎn)24/33是曲面上過(guò)點(diǎn)

的切平面的法向量.則有處的切向量,因而都在切平面上.又若從而有曲面過(guò)點(diǎn)

的切平面方程為:25/33法線(xiàn)方程為:1.空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面

切線(xiàn)方程法平面方程1)參數(shù)式情況.空間光滑曲線(xiàn)切向量?jī)?nèi)容小結(jié)切線(xiàn)方程法平面方程空間光滑曲線(xiàn)切向量2)一般式情況.27/33空間光滑曲面曲面

在點(diǎn)法線(xiàn)方程1)隱式情況.的法向量切平面方程2.曲面的切平面與法線(xiàn)28/33空間光滑曲面切平面方程法線(xiàn)方程2)顯式情況.法線(xiàn)的方向余弦法向量思考與練習(xí)1.如果平面與橢球面相切,提示:

設(shè)切點(diǎn)為則(二法向量平行)(切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上)證明曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn).提示:

在曲面上任意取一點(diǎn)則通過(guò)此2.設(shè)

f(u)可微,證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足上述方程.點(diǎn)的切平面為

1.

證明曲面與定直線(xiàn)平行,證:

曲面上任