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期末復習3

《高等數(shù)學I》

第三章中值定理和導數(shù)應用重要內容:中值定理

導數(shù)應用(單調性,凹凸性)根的存在性,所在區(qū)間,唯一性洛比達法則求七種未定式的極限

用中值定理證明某些等式泰勒公式,常用展開式極值問題中值定理,單調性,凹凸性證明不等式1．證明：在（0，1）上有且僅有一根。，則在[0，1]上連續(xù)且

由零點定理可知，在(0，1)上至少有一個根證：（先證存在性）設在(0,1)上還有一個根即

在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內可導，（0，1）使得但是，不可能有這樣的點,故方程在（0，1）上有且僅有一根。（再證唯一性）由羅爾定理可知至少存在一點（0，1），矛盾。也可以不用羅爾定理,直接利用單調性假設2．證明：在證明：（先證存在性）則在上連續(xù)且

由零點定理可知，在上至少有一個根內有且僅有一根。設（再證唯一性）在上嚴格單調遞增，上有且僅有一根。因為故方程在3.設,證明.證明:設.則, 所以當時,

,故單調減少,時,

.從而當(方法一)即當時,

單調增加.時,

即故

因此當3.設,證明.證明:設.則由中值定理, 所以當時,

,故單調減少,時,

.從而當即(方法二)課堂上講解的方法4.設在上連續(xù),在內可導,且求證存在,使得證明:設,則且即在區(qū)間上滿足羅爾中值定理的條件,,使得又因此有整理后可得.因此存在4.設在上連續(xù),在內有二階導數(shù),.試證在內至少存在一點,使得證明:由羅爾中值定理知,存在,使得對分別在和上用拉格朗日中值定理,和,使得及.且有知分別存在再在閉區(qū)間上對用拉格朗日中值定理,使得知存

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