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文檔簡介
期末復(fù)習(xí)3
《高等數(shù)學(xué)I》
第三章中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用重要內(nèi)容:中值定理
導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(單調(diào)性,凹凸性)根的存在性,所在區(qū)間,唯一性洛比達法則求七種未定式的極限
用中值定理證明某些等式泰勒公式,常用展開式極值問題中值定理,單調(diào)性,凹凸性證明不等式1.證明:在(0,1)上有且僅有一根。,則在[0,1]上連續(xù)且
由零點定理可知,在(0,1)上至少有一個根證:(先證存在性)設(shè)在(0,1)上還有一個根即
在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),(0,1)使得但是,不可能有這樣的點,故方程在(0,1)上有且僅有一根。(再證唯一性)由羅爾定理可知至少存在一點(0,1),矛盾。也可以不用羅爾定理,直接利用單調(diào)性假設(shè)2.證明:在證明:(先證存在性)則在上連續(xù)且
由零點定理可知,在上至少有一個根內(nèi)有且僅有一根。設(shè)(再證唯一性)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增,上有且僅有一根。因為故方程在3.設(shè),證明.證明:設(shè).則, 所以當(dāng)時,
,故單調(diào)減少,時,
.從而當(dāng)(方法一)即當(dāng)時,
單調(diào)增加.時,
即故
因此當(dāng)3.設(shè),證明.證明:設(shè).則由中值定理, 所以當(dāng)時,
,故單調(diào)減少,時,
.從而當(dāng)即(方法二)課堂上講解的方法4.設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且求證存在,使得證明:設(shè),則且即在區(qū)間上滿足羅爾中值定理的條件,,使得又因此有整理后可得.因此存在4.設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),.試證在內(nèi)至少存在一點,使得證明:由羅爾中值定理知,存在,使得對分別在和上用拉格朗日中值定理,和,使得及.且有知分別存在再在閉區(qū)間上對用拉格朗日中值定理,使得知存
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