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3.3導數(shù)的應用(二)典例精析題型一利用導數(shù)證明不等式1【例1】已知函數(shù)f(x)=2x2+lnx.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的值域;求證:x>1時,f(x)<23x3.【解析】(1)由已知f′(x)=x+1x,x∈[1,e]時,f′(x)>0,因此f(x)在[1,e]上為增函數(shù).f(x)max=f(e)=e2+1,f(x)min=f(1)=1,22因而f(x)在區(qū)間[1,e]上的值域為[1,e2+1].222x3=-211=(1-x)(1+x+2x2),(2)證明:令F(x)=f(x)-3x3+x2+lnx,則F′(x)=x+-2x2x32x因為x>1,所以F′(x)<0,故F(x)在(1,+∞)上為減函數(shù).又F(1)=-16<0,故x>1時,F(xiàn)(x)<0恒成立,2即f(x)<3x3.【點撥】有關“超越性不等式”的證明,構造函數(shù),應用導數(shù)確定所構造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.【變式訓練1】已知對任意實數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時,f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時()A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′>(x)0,g′(x)<0C.f′<(x)0,g′(x)>0D.f′<(x)0,g′(x)<0【解析】選B.題型二優(yōu)化問題【例2】(2019湖南模擬)某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩個橋墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算,一個橋墩的工程費用為256萬元;距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+x)x萬元.假設橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素.記余下工程的費用為y萬元.試寫出y關于x的函數(shù)關系式;(2)當m=640米時,需新建多少個橋墩才能使y最???【解析】(1)設需新建n個橋墩,則(n+1)x=m,n=mx-1.所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x1/3=256(m-1)+m(2+x)xxx256m+mx+2m-256.x256m11m3(2)由(1)知f′(x)=-2=(x2-512).x2+mx2x223令f′(x)=0,得x2=512.所以x=64.當0<x<64時,f′(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù);當64<x<640時,f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).所以f(x)在x=64處取得最小值.此時n=m-1=640-1=9.64需新建9個橋墩才能使y最小.【變式訓練2】(2019上海質檢)如圖所示,為了制作一個圓柱形燈籠,先要制作4個全等的矩形骨架,總計耗用9.6米鐵絲,骨架把圓柱底面8等份,再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(不安裝上底面).當圓柱底面半徑r取何值時,S取得最大值?并求出該最大值(結果精確到0.01平方米).【解析】設圓柱底面半徑為r,高為h,則由已知可得4(4r+2h)=9.6,所以2r+h=1.2.S=2.4πr-3πr2,h=1.2-2r>0,所以r<0.6.所以S=2.4πr-3πr2(0<r<0.6).f(r)=2.4πr-3πr2,則f′(r)=2.4π-6πr.f′(r)=0得r=0.4.所以當0<r<0.4,f′(r)>0;當0.4<r<0.6,f′(r)<0.所以r=0.4時S最大,Smax=1.51.題型三導數(shù)與函數(shù)零點問題【例3】設函數(shù)f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x,x∈R.當m=3時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;(2)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0,α,β,且α<β若.對任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.1-3x2+5x,f′(x)=x2-6x+5.【解析】(1)當m=3時,f(x)=x33223,因為f(2)=,f′(2)=-3,所以切點坐標為(2,),切線的斜率為-33則所求的切線方程為y-23=-3(x-2),即9x+3y-20=0.(2)f′=(x)x2-2mx+(m2-4).f′(x)=0,得x=m-2或x=m+2.x∈(-∞,m-2)時,f′(x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函數(shù);x∈(m-2,m+2)時,f′(x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是減函數(shù);x∈(m+2,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函數(shù).2/31因為函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0,α,β,且f(x)=3x[x2-3mx+3(m2-4)],(3m)212(m24)0,2所以3(m4)0.解得m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4).m∈(-4,-2)時,m-2<m+2<0,所以α<m-2<β<m+2<0.此時f(α)=0,f(1)>f(0)=0,與題意不合,故舍去.m∈(-2,2)時,m-2<0<m+2,所以α<m-2<0<m+2<β.因為對任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α,β]上的最小值.因為當x=m+2時,函數(shù)f(x)在[α,β]上取最小值,所以m+2=1,即m=-1.m∈(2,4)時,0<m-2<m+2,所以0<m-2<α<m+2<β.因為對任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α,β]上的最小值.因為當x=m+2時,函數(shù)f(x)在[α,β]上取最小值,所以m+2=1,即m=-1(舍去).綜上可知,m的取值范圍是{-1}.【變式訓練3】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.(1)討論函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性;(2)若方程f(x)=g(x)在區(qū)間[2,e]上有兩個不等解,求a的取值范圍.【解析】(1)當a>0時,F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為
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