高考數(shù)學一輪復習總教案33導數(shù)的應用(二)

3.3導數(shù)的應用(二)典例精析題型一利用導數(shù)證明不等式1【例1】已知函數(shù)f(x)＝2x2＋lnx.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域；求證：x＞1時，f(x)＜23x3.【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，x∈[1，e]時，f′(x)＞0，因此f(x)在[1，e]上為增函數(shù).f(x)max＝f(e)＝e2＋1，f(x)min＝f(1)＝1，22因而f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域為[1，e2＋1].222x3＝－211＝(1－x)(1＋x＋2x2)，(2)證明：令F(x)＝f(x)－3x3＋x2＋lnx，則F′(x)＝x＋－2x2x32x因為x＞1，所以F′(x)＜0，故F(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù).又F(1)＝－16＜0，故x＞1時，F(xiàn)(x)＜0恒成立，2即f(x)＜3x3.【點撥】有關“超越性不等式”的證明，構造函數(shù)，應用導數(shù)確定所構造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.【變式訓練1】已知對任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時()A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′＞(x)0，g′(x)＜0C.f′＜(x)0，g′(x)＞0D.f′＜(x)0，g′(x)＜0【解析】選B.題型二優(yōu)化問題【例2】(2019湖南模擬)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個橋墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋x)x萬元.假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素.記余下工程的費用為y萬元.試寫出y關于x的函數(shù)關系式；(2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？【解析】(1)設需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m，n＝mx－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x1/3＝256(m－1)＋m(2＋x)xxx256m＋mx＋2m－256.x256m11m3(2)由(1)知f′(x)＝－2＝(x2－512).x2＋mx2x223令f′(x)＝0，得x2＝512.所以x＝64.當0＜x＜64時，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當64＜x＜640時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).所以f(x)在x＝64處取得最小值.此時n＝m－1＝640－1＝9.64需新建9個橋墩才能使y最小.【變式訓練2】(2019上海質檢)如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(不安裝上底面).當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結果精確到0.01平方米).【解析】設圓柱底面半徑為r，高為h，則由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).f(r)＝2.4πr－3πr2，則f′(r)＝2.4π－6πr.f′(r)＝0得r＝0.4.所以當0＜r＜0.4，f′(r)＞0；當0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.所以r＝0.4時S最大，Smax＝1.51.題型三導數(shù)與函數(shù)零點問題【例3】設函數(shù)f(x)＝13x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.當m＝3時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，α，β，且α＜β若.對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.1－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.【解析】(1)當m＝3時，f(x)＝x33223，因為f(2)＝，f′(2)＝－3，所以切點坐標為(2，)，切線的斜率為－33則所求的切線方程為y－23＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.(2)f′＝(x)x2－2mx＋(m2－4).f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.x∈(－∞，m－2)時，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函數(shù)；x∈(m－2，m＋2)時，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是減函數(shù)；x∈(m＋2，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函數(shù).2/31因為函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，α，β，且f(x)＝3x[x2－3mx＋3(m2－4)]，(3m)212(m24)0,2所以3(m4)0.解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).m∈(－4，－2)時，m－2＜m＋2＜0，所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.此時f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，與題意不合，故舍去.m∈(－2,2)時，m－2＜0＜m＋2，所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.因為對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β.所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值.因為當x＝m＋2時，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1.m∈(2,4)時，0＜m－2＜m＋2，所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.因為對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β.所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值.因為當x＝m＋2時，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).綜上可知，m的取值范圍是{－1}.【變式訓練3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)討論函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[2，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍.【解析】(1)當a＞0時，F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為