高二數(shù)學必修五導學案：3.3.2簡單的線性規(guī)劃（第2課時）

注：這一講例、習題個數(shù)減少一點，是根據(jù)實際情況定點3．3．2簡單的線性規(guī)劃（第3課時）30**學習目標**1.能應用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題特別注意求最優(yōu)解是整數(shù)解的問題2.培養(yǎng)觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結合的數(shù)學思想，提高“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力**要點精講**線性規(guī)劃的兩類重要實際問題：第一種類型是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣安排運用這些資源，能使完成的任務量最大，收到的效益最大；第二種類型是給定一項任務，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項任務的人力、物力資源量最小**范例分析**1．產(chǎn)品安排問題例1某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t，需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t.每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗A種礦石不超過360t、B種礦石不超過200t、煤不超過300t，甲、乙兩種產(chǎn)品應各生產(chǎn)多少（精確到0.1t），能使利潤總額達到最大？2．物資調運問題例2已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬噸和300萬噸，需經(jīng)過東車站和西車站兩個車站運往外地.東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年最多能運360萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為0.8元/噸和1.6元/噸.煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最少?3．下料問題例3要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？規(guī)律總結簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內求目標函數(shù)的最優(yōu)解（4）根據(jù)實際意義將數(shù)學模型的解轉化為實際問題的解，即結合實際情況求得最優(yōu)解**基礎訓練**一、選擇題1．在不等式表示的區(qū)域內,滿足目標函數(shù)取得最小值的整數(shù)點是()A.B.C.D.2．某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為45個、50個，所用原料為A、B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為2m2、3m2，用A種金屬板可造甲產(chǎn)品3個，乙產(chǎn)品5個，用B種金屬板可造甲、乙產(chǎn)品各6個，則A、B兩種金屬板各取多少張時，能完成計劃并能使總用料面積最省？（A．A用3張，B用6張 B．A用4張，B用5張C．A用2張，B用6張 D．A用3張，B用5張3．某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確提財投資后，在兩個項目上共可獲得的最大利潤為（）A.36萬元B.31.2萬元C.30.4萬元D.24萬元二、填空題4．若都是非負整數(shù),則滿足的點共有________個；5．某實驗室需購某種化工原料106千克，現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價格為140元；另一種是每袋24千克，價格為120元.在滿足需要的條件下，最少要花費元.三、解答題6．某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級子棉2噸、二級子棉1噸；生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級子棉1噸、二級子棉2噸，每1噸甲種棉紗的利潤是600元，每1噸乙種棉紗的利潤是900元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過300噸、二級子棉不超過250噸.甲、乙兩種棉紗應各生產(chǎn)多少(精確到噸)，能使利潤總額最大?7．某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？**能力提高**8．（08年山東理12）設二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為，使函數(shù)的圖象過區(qū)域的的取值范圍是（）A． B． C．D．9．A市、B市和C市分別有某種機器10臺、10臺和8臺．現(xiàn)在決定把這些機器支援給D市18臺，E市10臺．已知從A市調運一臺機到D市、E市的運費分別為200元和800元；從B市調運一臺機器到D市、E市的運費分別為300元和700元；從C市調運一臺機器到D市、E市的運費分別為400元和500元．設從A市調x臺到D市，B市調y臺到D市，當28臺機器全部調運完畢后，用x、y表示總運費W（元），并求W的最小值和最大值．3．3．2簡單的線性規(guī)劃（第3課時）30例1．分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表：產(chǎn)品消耗量資源甲產(chǎn)品（1t）乙產(chǎn)品(1t)資源限額（t）A種礦石（t）104300B種礦石(t)54200煤(t)49360利潤（元）6001000解：設生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤總額為z元，那么目標函數(shù)為：z=600x+1000y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.作直線:600x+1000y=0,即直線l:3x+5y=0,把直線向右上方平移至1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z=600x+1000y取最大值.解方程組得M的坐標為x=≈12.4,y=≈34.4.答：應生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4t，乙產(chǎn)品34.4t，能使利潤總額達到最大例2．解：設甲煤礦向東車站運萬噸煤，乙煤礦向東車站運萬噸煤，那么總運費z=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(萬元)即z=780－0.5x－0.8y.x、y應滿足：作出上面的不等式組所表示的平面區(qū)域設直線x+y=280與y軸的交點為M，則M(0，280)把直線l：0.5x+0.8y=0向上平移至經(jīng)過平面區(qū)域上的點M時，z的值最小∵點M的坐標為(0，280)，∴甲煤礦生產(chǎn)的煤全部運往西車站、乙煤礦向東車站運280萬噸向西車站運20萬噸時，總運費最少例3．解：設需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，根據(jù)題意可得：作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域：目標函數(shù)為z=x+y，作出在一組平行直線x+y=t（t為參數(shù)）中經(jīng)過可行域內的點且和原點距離最近的直線，此直線經(jīng)過直線x+3y=37和直線2x+y=15的交點A（），直線方程為x+y=由于都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x，y）中，x、y必須滿足x，y∈Z，所以，可行域內點()不是最優(yōu)解經(jīng)過可行域內的整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點）且與原點距離最近的直線是x+y=12,經(jīng)過的整點是B(3,9)和C(4,8)，它們是最優(yōu)解答：要截得所需規(guī)格的三種鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種，第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張，兩種方法都最少要截得兩種鋼板共12張**參考答案**1．D；2．A；提示：設A、B兩種金屬板各取張，則；3．B；提示：設投資甲、乙兩個項目各萬元，則；4．21;5．500；6．解：將已知數(shù)據(jù)列成下表：資源消耗量資源消耗量甲種棉紗（1噸）乙種棉紗（1噸）資源限額（噸）一級子棉（噸）21300二級子棉（噸）12250利潤（元）600900設生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤總額為z元，那么z=600x+900y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖)，即可行域作直線l：600x+900y=0，即直線l：2x+3y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z=600x+900y取最大值.解方程組,得M的坐標為x=≈117，y=≈67答：應生產(chǎn)甲種棉紗117噸，乙種棉紗67噸，能使利潤總額達到最大7．解：設每天生產(chǎn)A型桌子x張，B型桌子y張則，目標函數(shù)為：z=2x+3y作出可行域：把直線：2x+3y=0向右上方平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z=2x+3y取最大值解方程得M的坐標為（2，3）.答：每天應生產(chǎn)A型桌子2張，B型桌子3張才能獲得最大利潤7．解：區(qū)域是三條直線相交構成的三角形（如圖）顯然，只需研究過、兩種情形，且即9．解：由題意可得，A市、B市、C市調往D市的機器臺數(shù)分別為x、y、（18-x-y），調往E市的機器臺數(shù)分別為（10-x）、（10-y）、[8-（18-x-y）]．于是得W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(18-x-y)+500[8-（18-x-y）]=-500x-300y+17200設Ｗ＝17200－100T，其中Ｔ＝