(北師大版)哈爾濱市高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章《推理與證明》檢測(cè)(有答案解析)

一、選題1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明

11nn

1(nn

*)

，過(guò)程中由

n

到n

時(shí)，左邊增加的代數(shù)式為（）A．

12k

B．

12

C．

11+D．2k2．甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽其中只有一位獲有人分別采訪了四位歌手，甲說(shuō)：乙丙獲獎(jiǎng)；說(shuō)：“甲丙都未獲獎(jiǎng)；說(shuō)：丁獲獎(jiǎng)”丁說(shuō)“丙說(shuō)的不對(duì)”若位歌手中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，則獲獎(jiǎng)的歌手是（）A．甲．乙C．丙．3．已知為正整數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明()n

2

時(shí)，假設(shè)(

*命題為真，即fk)

成立，則當(dāng)

n

時(shí)，需要用到的

fk

與fk)

之間的關(guān)系式是)A．C．

f(k()kf(kfkk

B．．

f(f(k)f(f()4．下列類比推理正確的()A．把

a

與

類比，則有a

B．

a

C．)

n

類比，則xy)

n

x

n

y

n

n．

類比，則有

5．（河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)2018屆高三第十四次考試）某校有，B，，四作品參加航模類作品比.已這件作品中恰有兩件獲.在果揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四件參賽作品的獲獎(jiǎng)情況預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：、同獲”；乙說(shuō)：

D不可能同時(shí)獲”；丙說(shuō)：

C

獲獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：

、

C

至少一件獲獎(jiǎng).如果以上四位同學(xué)中有且只有二位同學(xué)的預(yù)測(cè)是正確的，則獲獎(jiǎng)的作品是A．作品A與品B

B．品與作品

CC．品與作品D6．袋子里有編號(hào)為

2,3,4,5,6

．品A作品D的五個(gè)球，某位教師從袋中任取兩個(gè)不同的.教把所取兩球編號(hào)的和只告訴甲，其乘積只告訴乙，讓甲、乙分別推斷這兩個(gè)球的編甲說(shuō)：我法確定”乙說(shuō)：我無(wú)法確定.”甲聽(tīng)完乙的回答以后，甲又說(shuō)“我以確定.”

ee根據(jù)以上信,可以推斷出抽取的兩球中A．一定有3號(hào)

B．定沒(méi)有3號(hào)球

C．可能有號(hào)

．能有6號(hào)7．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：是或丙獲獎(jiǎng)．乙說(shuō)：甲丙都未獎(jiǎng)．丙說(shuō)“我獲獎(jiǎng)了”丁說(shuō)：是獲獎(jiǎng)．四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是（）A．甲

B．

C．丙

．8．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)12345611111112345111111…

（）A．

1111110

B．

1111111

C．

．

11111139．因

e2.71828

是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以

e

是無(wú)理數(shù)，上推理的大前提是（）A．實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)C．限不循環(huán)小數(shù)都是無(wú)理數(shù)

B．不有數(shù)．理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)10．果把一個(gè)多邊形的所便中的任意一條邊向兩方無(wú)限延長(zhǎng)稱為一直線其個(gè)邊都在此直線的同旁那這個(gè)多邊形就叫凸多邊平行內(nèi)凸四邊形由條對(duì)角線凸五邊形有條對(duì)角線以類推凸變的角線條)A．65B．C104．11211．知，等式

2，x，xx2x

，，推廣為xx

，則的值為)A．n

2

B．

n

C．

2n

．2

2n12．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明

111(N)nn24

”時(shí)由

n

到

n時(shí)，不等試左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是)A．C．

2(1112kkk

B．．

12kk1112k2kk二、填題13．面由火柴棒拼出的一圖形中，第個(gè)形由n個(gè)正方形組成通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)第個(gè)形火柴棒的

根數(shù)是________．14．校建議孩子們周末去福廣場(chǎng)看銀杏葉，舒緩高三學(xué)習(xí)壓力，返校后甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被問(wèn)及情.甲：我去；乙說(shuō)“去了；丙說(shuō)“乙去”；丁說(shuō)：我去班任了解到這四位同學(xué)中只一位同學(xué)去了幸福廣場(chǎng)，但只有一位說(shuō)了假話，則去了幸福廣場(chǎng)的這位同學(xué)是______.15．知函數(shù)

f

111，fxxxx

是奇函數(shù)，可得函數(shù)

f

的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱，類比這一結(jié)論，可得函數(shù)

xxx

xx

的圖象關(guān)于___________對(duì).16．開辭”中這樣一個(gè)問(wèn)題：給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的第幾個(gè)數(shù)．現(xiàn)115給出一組數(shù)：,,24

，，則第8個(gè)數(shù)可以是．．某次高三英語(yǔ)聽(tīng)力考試中有道擇題，每題1分每道題在三個(gè)選項(xiàng)中只有個(gè)是正確的下是甲、乙、丙三名同學(xué)每道題填涂的答案和這5道的得分：1235

得分甲乙丙則甲同學(xué)答錯(cuò)的題目的題號(hào)是__________．

43218．希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，，第

個(gè)三角形數(shù)為

，記第n個(gè)

k

邊形數(shù)為

(nk)(3)

，以下列出了部分

k

邊形數(shù)中第n個(gè)的表達(dá)式：三角形數(shù)：

N(n

1n222

；正方形數(shù)：

N

2

；五邊形數(shù)：N(n

31n222

；六邊形數(shù)：

Nn

2

，，此推測(cè)N

__________19．察下列等式：

*n1*n1……據(jù)此規(guī)律，第個(gè)式可為．20．白兩種顏色的正六邊地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：則第個(gè)案中有白色地面__________________塊三、解題21．1）

x

時(shí)，求(

2

的最小.（）數(shù)學(xué)歸法證明：

1n

12

(nN

*

)

.22．?dāng)?shù)列

n

a1n

an2an

，其中

n

.（）算

,,a234

的值；（）想數(shù)列

n

的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證.23．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明

nn24

(N).24．?dāng)?shù)列

{}{}中，a，b，且a，，ann1n

n

成等差數(shù)列，，n

n

，

n

成等比數(shù)列（nN

*

）（）

，a，3

4

及

2

，

3

，

4

；（）據(jù)計(jì)算果，猜想

{}{}n

的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證.25．知數(shù)列

a

n2

.（）a，a，a的；24（）納猜想數(shù)列，并用數(shù)學(xué)歸納法證.26．出下面的數(shù)表序列：表

表2

表111

4412其中表

n

有行，第行個(gè)是1，，，2n

，從第行，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．（）出表4，證表4各中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表

n

（不要求證明）（）個(gè)數(shù)表最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列14，12，，此數(shù)列為和nn【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要除一選題1D解析：【分析】求出當(dāng)

n

時(shí)，左邊的代數(shù)式，當(dāng)

n

時(shí)，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．【詳解】當(dāng)n，左邊的代數(shù)式為

11kk

，當(dāng)

n

時(shí)，左邊的代數(shù)式為

11kk2k2k

，故用

n

時(shí)左邊的代數(shù)式減去

n

時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：111112k2kkk2k【點(diǎn)睛】

，故選．本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從n到n變化，屬于中檔.2．A解析：

項(xiàng)的

【解析】分析：因?yàn)樗奈桓枋种兄挥幸粋€(gè)人說(shuō)的是真話，假設(shè)某一個(gè)人說(shuō)的是真話，如果與條件不符，說(shuō)明假設(shè)不成立，如果與條件相符，說(shuō)明假設(shè)成.詳解：若乙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丁都說(shuō)的真話，不符合題意；若丙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、丁都說(shuō)的真話，不符合題意；若丁是獲獎(jiǎng)的歌手，則乙、丙都說(shuō)的真話，不符合題意；若甲是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丙都說(shuō)的假話，丁說(shuō)的真話，符合題意；故選點(diǎn)睛：本題考查合情推理，屬基礎(chǔ).3．C解析：【解析】分析：先根據(jù)條件確定

f

式子，再與

f詳解：因?yàn)?/p>

ff

,選C.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)列遞推關(guān).4．B解析：【解析】分析：由題意逐一考查所給命題的真假即.詳解：逐一考查所給命題的真假：.指數(shù)的運(yùn)算法則可得axx，命題錯(cuò)誤；.向量的運(yùn)算法則可知：

a

，原命題正確；.多項(xiàng)式的運(yùn)算法則可y)

n

x

n

y

n

n

，原命題錯(cuò)誤；D.由面向量數(shù)量的性質(zhì)可知

本題選擇B選項(xiàng)點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能.5．D解析：【解析】根據(jù)題意，

A,CD

作品中進(jìn)行評(píng)獎(jiǎng)，由兩件獲獎(jiǎng)，且有且只有二位同學(xué)的預(yù)測(cè)是正確的，若作品A與作品B獲，則甲、乙，丁是正確的丙是錯(cuò)誤的，不符合題意；若作品B與作品

C

獲獎(jiǎng)，則乙、并、丁是正確的，甲是錯(cuò)誤的，不符合題意；若作品

C

與作品獲，則甲、乙，丙是正確的，丁是錯(cuò)誤的，不符合題意；只有作品A

與作品D獲，則乙，丁是正確的甲、丙是錯(cuò)誤的，符合題意，

綜上所述，獲獎(jiǎng)作品為作品A

與作品，選6．D解析：【解析】甲說(shuō)：我法確定說(shuō)明兩球編號(hào)的可能為包含（，）3，4），可能為8包（，），3，）可能為9包含，）（，）乙說(shuō)：我法確定說(shuō)明兩球編號(hào)的積為12包含（，）或2，）根據(jù)以上信可推斷出抽取的兩球中可能有號(hào)故選D點(diǎn)睛：本題是一道通俗易懂的合情推理題目，主要考查同學(xué)們的邏輯思維能力和推理能力，問(wèn)題難度不大，認(rèn)真審題是關(guān).7．C解析：【詳解】若甲是獲獎(jiǎng)的歌手，則四句全是假話，不合題意；若乙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丁都說(shuō)真話，丙說(shuō)假話，與題意不符；若丁是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、丁、丙都說(shuō)假話，丙說(shuō)真話，與題意不符；當(dāng)丙是獲獎(jiǎng)的歌手，甲、丙說(shuō)了真話，乙、丁說(shuō)了假話，與題意相.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查的是簡(jiǎn)單的合情推理題，解決本題的關(guān)鍵是假設(shè)甲、乙、丙、丁分別是獲獎(jiǎng)歌手時(shí)的，甲乙丙丁說(shuō)法的正確性即.8．B解析：【解析】由1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1111；1234×9+5=11111；…歸納可得：等式右邊各數(shù)位上的數(shù)字均為，位數(shù)跟等式左邊的第二個(gè)加數(shù)相同，∴本題選擇B選項(xiàng)9．C解析：【解析】由題意:大提是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)都是無(wú)理,選10．解析：

00000000【解析】可以通過(guò)列表歸納分析得到；多邊形對(duì)角線

42

52+3

62+3+4

72+3+4+5

82+3+4+5+616邊形有2+3+4+…+14=

162

=104條對(duì)角線．故選．11．解析：【分析】由題意歸納推理得到的即可【詳解】由題意，當(dāng)分母的指數(shù)為1時(shí)分子為當(dāng)分母的指數(shù)為2時(shí)分子為24；當(dāng)分母的指數(shù)為3時(shí)分子為

；據(jù)此歸納可得：

x

ax

中，的為

.本題選擇B選項(xiàng)【點(diǎn)睛】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．12．解析：【分析】分別代入【詳解】

n,k

，兩式作差可得左邊應(yīng)添加項(xiàng)．由時(shí)，左邊為

1k

k

，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊為

1k

1k(k所以增加項(xiàng)為兩式作差得：

1112kkk

，選【點(diǎn)睛】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠或遞推基證當(dāng)取第一個(gè)值n*

)時(shí)題成立，第二步是歸納遞或納設(shè)假n＝(k，N*

時(shí)題成立，證明當(dāng)n＝＋時(shí)題成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對(duì)從開的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可．

xxxxxxxxxx2二、填題13．31【析】分析：由圖形的特點(diǎn)只需看第10個(gè)圖形中火柴的根數(shù)是在的基礎(chǔ)上增加幾個(gè)即可詳解：第1個(gè)圖形中有根火柴棒；第2個(gè)圖形中有根火柴棒；第3個(gè)圖形中有根火柴棒；第10個(gè)圖形中有根火柴棒點(diǎn)睛：本題主解析：【解析】根火柴棒；分析：由圖形的特點(diǎn)，只需看第10個(gè)形中火柴的根數(shù)是在4詳解：第1個(gè)圖形中有

的基礎(chǔ)上增加幾個(gè)

3

即可．第個(gè)形有根火柴棒；第個(gè)形有

4

根火柴棒；第10個(gè)形中有

31

根火柴棒．點(diǎn)睛：本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，齊總解答中根據(jù)圖形的變化規(guī)律，得到火柴棒的根數(shù)是在4

的基礎(chǔ)上增加幾個(gè)3的系解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．14．乙【解析】假設(shè)甲去過(guò)則甲說(shuō)了假話乙說(shuō)了假話丙說(shuō)了假話丁說(shuō)了真話與只有一位說(shuō)了假話矛盾假設(shè)乙去過(guò)則甲說(shuō)了真話乙說(shuō)了假話丙說(shuō)了真話丁說(shuō)了真話與只有一位說(shuō)了假話一致故填乙解析：【解析】假設(shè)甲去過(guò)，則甲說(shuō)了假話，乙說(shuō)了假話，丙說(shuō)了假話，丁說(shuō)了真話，與只有一位說(shuō)了假話矛盾假設(shè)乙去過(guò)，則甲說(shuō)了真話，乙說(shuō)了假話，丙說(shuō)了真話，丁說(shuō)了真話，與只有一位說(shuō)了假話一致故乙15．【解析】由題得所以是奇函數(shù)所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱故填解析：

7【解析】由題得

gx

xxxxxxxx

11xxx711g()277222271g(x)x

1f()53113xx2

,624,624

1

52

1

32

1

12

1

12

1

32

1

52

(x)所以

f(

是奇函數(shù)，所以函數(shù)

xxx

xx

的圖象關(guān)于點(diǎn)

7

對(duì)稱故填

7,62

.16．【詳解】這幾個(gè)數(shù)是這樣規(guī)律比較明顯了即所以故填：解析：

132【詳解】這幾個(gè)數(shù)是

145,，樣規(guī)律比較明顯了，即a232

，所以

132

1，故填：.3217．5【解析】根據(jù)表格得到甲同學(xué)答錯(cuò)的是第五題乙同學(xué)答錯(cuò)的是第三個(gè)和第五個(gè)丙同學(xué)答錯(cuò)的是第一個(gè)三個(gè)五個(gè)故第五題的正確的答案為：故答案為(1)5(2)A解析：【解析】根據(jù)表格得到甲同學(xué)答錯(cuò)的是第五題，乙同學(xué)答錯(cuò)的是第三個(gè)和第五個(gè)，丙同學(xué)答錯(cuò)的是第一個(gè)三個(gè)，五個(gè)．故第五題的正確的答案為A．故答案為5(2).A.18．176【解析】原已知式子可化為：正方形數(shù)五邊形數(shù)六邊形數(shù)……此推測(cè)由歸納推理可得故解析：【解析】原已知式子可化為：

122正方形:

2n五邊形數(shù)六邊形數(shù)

2

22

n由推測(cè)由歸納推理可得

k4nn22故

42219．【解析】試題分析：根據(jù)歸納推理觀察所得等號(hào)左邊第行有個(gè)數(shù)字加減等號(hào)有邊第行有個(gè)數(shù)字相加并且是后個(gè)所以猜想第個(gè)等式是考點(diǎn)：歸納推理解析：【解析】試題分析：根據(jù)歸納推理，觀察所得，等號(hào)左邊，第行有

個(gè)數(shù)字加減，等號(hào)有邊，第行有個(gè)字相加，并且是后個(gè)，所以，猜想第個(gè)等式是．考點(diǎn)：歸納推理20．4n+2【解析】解：觀察分析圖案得到規(guī)律第個(gè)第2個(gè)第3個(gè)…個(gè)圖案有白色地板磚分別是61014…個(gè)組成一個(gè)公差是首項(xiàng)為6的等差數(shù)列因此第n個(gè)圖案中有白色地面磚有6+（）×4=6+4n-4=4解析：【解析】解：觀察、分析圖案，得到規(guī)律，第個(gè)第2個(gè)，第3個(gè)個(gè)圖案有白色地板磚分別是6，，…個(gè)組成一個(gè)公差是4，首項(xiàng)為的差數(shù)列．因此第個(gè)圖案中有白色地面磚有（）．故答案為4n+2．三、解題21．1）（）見(jiàn)證明【解析】【分析】x（）題意，簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f()xx求解其最小值；（）用數(shù)學(xué)納證明方法，即可作出證.【詳解】

，利用基本不等式，即（）x時(shí)

，xx2x1(xxxxx

11當(dāng)且僅當(dāng)

2

時(shí)等號(hào)成立，故f(

的最小值為4.證明①當(dāng)n時(shí)左邊所以當(dāng)時(shí)，命題成立；②假當(dāng)n時(shí)，命題成立

1122

，則有

1k

2k2

，則當(dāng)k時(shí)左

11k

12k11k

1111112k2k2kk22kk2

，所以當(dāng)nk時(shí)命題也成立，綜上②知原命題成.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值，以及數(shù)學(xué)歸納證明不等式，其中解答中合理化簡(jiǎn)、構(gòu)造“一正、定、三相，合理利用基本不等式求解，以及熟記數(shù)學(xué)歸納法的證明方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ).22．）【解析】

1,37

；（）明見(jiàn)解.分析：（）別將

n1,2入推公式，即可求得a，a，的；24（）想

a

12

，檢驗(yàn)時(shí)式成立，假設(shè)當(dāng)

k*證明當(dāng)

n

時(shí)等式也成立.詳解：解：）題意，

2

1231

，

2

，

a

（）

,a,a猜a14n

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任何的n*

a

12

證明：當(dāng)n時(shí)由已知，得左邊

1

，右邊

12

所以n時(shí)成等.

②假當(dāng)

k

12

成立，則

n

時(shí)，

k

kk

kk

kk

，所以，當(dāng)時(shí)，等式也成立根據(jù)和，知對(duì)于任何N*

a

12

成立.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推公式，合情推理，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的一般方法和步.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為：①歸奠基：證明當(dāng)取第一個(gè)自然數(shù)時(shí)命題成立；0②歸遞推：假設(shè)n，k

k0

)時(shí)命題成立，證明當(dāng)

時(shí)，命題成立；23．解析【解析】分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式，1）證

n

時(shí)不等式成立；2）假設(shè)當(dāng)

放法證明

時(shí)，不等式也成立．詳解：證明：當(dāng)時(shí)，左邊

111224

，不等式成立.②假當(dāng)

k立，即

11111kkk24

，則當(dāng)

n

時(shí)，

111kk22

11111kkk2k2k

12k11k

，

，

111111k2k2kk

2222222222222222

111111242k24

，∴當(dāng)

n

時(shí)，不等式成立由知于任意正整數(shù)，等式成.點(diǎn)睛：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．24．

，a，a20b，b16，b(2)猜a(n23n

，n【解析】

，證明見(jiàn)解析分析：1）據(jù)條件中，，ann

n

成等差數(shù)列，b，n

n

，

n

成等比數(shù)列及所給數(shù)據(jù)求解即可．（）用數(shù)學(xué)歸納法證明．詳解：1）已知條件得

bnn

，

2

n

，由此算出

2

，

123

，

4

，，，25234

.（）（）的計(jì)算可以猜想

an

，

n

，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)

時(shí)，由已知

，11

可得結(jié)論成立.②假當(dāng)

（

k

且

*

）時(shí)猜想成立