(北師大版)哈爾濱市高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章《推理與證明》檢測(cè)(有答案解析)

一、選題1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明

11nn

1(nn

*)

，過程中由

n

到n

時(shí)，左邊增加的代數(shù)式為（）A．

12k

B．

12

C．

11+D．2k2．甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽其中只有一位獲有人分別采訪了四位歌手，甲說：乙丙獲獎(jiǎng)；說：“甲丙都未獲獎(jiǎng)；說：丁獲獎(jiǎng)”丁說“丙說的不對(duì)”若位歌手中只有一個(gè)人說的是真話，則獲獎(jiǎng)的歌手是（）A．甲．乙C．丙．3．已知為正整數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明()n

2

時(shí)，假設(shè)(

*命題為真，即fk)

成立，則當(dāng)

n

時(shí)，需要用到的

fk

與fk)

之間的關(guān)系式是)A．C．

f(k()kf(kfkk

B．．

f(f(k)f(f()4．下列類比推理正確的()A．把

a

與

類比，則有a

B．

a

C．)

n

類比，則xy)

n

x

n

y

n

n．

類比，則有

5．（河南省南陽市第一中學(xué)2018屆高三第十四次考試）某校有，B，，四作品參加航模類作品比.已這件作品中恰有兩件獲.在果揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四件參賽作品的獲獎(jiǎng)情況預(yù)測(cè)如下：甲說：、同獲”；乙說：

D不可能同時(shí)獲”；丙說：

C

獲獎(jiǎng)”；丁說：

、

C

至少一件獲獎(jiǎng).如果以上四位同學(xué)中有且只有二位同學(xué)的預(yù)測(cè)是正確的，則獲獎(jiǎng)的作品是A．作品A與品B

B．品與作品

CC．品與作品D6．袋子里有編號(hào)為

2,3,4,5,6

．品A作品D的五個(gè)球，某位教師從袋中任取兩個(gè)不同的.教把所取兩球編號(hào)的和只告訴甲，其乘積只告訴乙，讓甲、乙分別推斷這兩個(gè)球的編甲說：我法確定”乙說：我無法確定.”甲聽完乙的回答以后，甲又說“我以確定.”

ee根據(jù)以上信,可以推斷出抽取的兩球中A．一定有3號(hào)

B．定沒有3號(hào)球

C．可能有號(hào)

．能有6號(hào)7．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說：是或丙獲獎(jiǎng)．乙說：甲丙都未獎(jiǎng)．丙說“我獲獎(jiǎng)了”丁說：是獲獎(jiǎng)．四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是（）A．甲

B．

C．丙

．8．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)12345611111112345111111…

（）A．

1111110

B．

1111111

C．

．

11111139．因

e2.71828

是無限不循環(huán)小數(shù)，所以

e

是無理數(shù)，上推理的大前提是（）A．實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)C．限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)

B．不有數(shù)．理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)10．果把一個(gè)多邊形的所便中的任意一條邊向兩方無限延長(zhǎng)稱為一直線其個(gè)邊都在此直線的同旁那這個(gè)多邊形就叫凸多邊平行內(nèi)凸四邊形由條對(duì)角線凸五邊形有條對(duì)角線以類推凸變的角線條)A．65B．C104．11211．知，等式

2，x，xx2x

，，推廣為xx

，則的值為)A．n

2

B．

n

C．

2n

．2

2n12．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明

111(N)nn24

”時(shí)由

n

到

n時(shí)，不等試左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是)A．C．

2(1112kkk

B．．

12kk1112k2kk二、填題13．面由火柴棒拼出的一圖形中，第個(gè)形由n個(gè)正方形組成通過觀察可以發(fā)現(xiàn)第個(gè)形火柴棒的

根數(shù)是________．14．校建議孩子們周末去福廣場(chǎng)看銀杏葉，舒緩高三學(xué)習(xí)壓力，返校后甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被問及情.甲：我去；乙說“去了；丙說“乙去”；丁說：我去班任了解到這四位同學(xué)中只一位同學(xué)去了幸福廣場(chǎng)，但只有一位說了假話，則去了幸福廣場(chǎng)的這位同學(xué)是______.15．知函數(shù)

f

111，fxxxx

是奇函數(shù)，可得函數(shù)

f

的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱，類比這一結(jié)論，可得函數(shù)

xxx

xx

的圖象關(guān)于___________對(duì).16．開辭”中這樣一個(gè)問題：給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的第幾個(gè)數(shù)．現(xiàn)115給出一組數(shù)：,,24

，，則第8個(gè)數(shù)可以是．．某次高三英語聽力考試中有道擇題，每題1分每道題在三個(gè)選項(xiàng)中只有個(gè)是正確的下是甲、乙、丙三名同學(xué)每道題填涂的答案和這5道的得分：1235

得分甲乙丙則甲同學(xué)答錯(cuò)的題目的題號(hào)是__________．

43218．希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，，第

個(gè)三角形數(shù)為

，記第n個(gè)

k

邊形數(shù)為

(nk)(3)

，以下列出了部分

k

邊形數(shù)中第n個(gè)的表達(dá)式：三角形數(shù)：

N(n

1n222

；正方形數(shù)：

N

2

；五邊形數(shù)：N(n

31n222

；六邊形數(shù)：

Nn

2

，，此推測(cè)N

__________19．察下列等式：

*n1*n1……據(jù)此規(guī)律，第個(gè)式可為．20．白兩種顏色的正六邊地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：則第個(gè)案中有白色地面__________________塊三、解題21．1）

x

時(shí)，求(

2

的最小.（）數(shù)學(xué)歸法證明：

1n

12

(nN

*

)

.22．?dāng)?shù)列

n

a1n

an2an

，其中

n

.（）算

,,a234

的值；（）想數(shù)列

n

的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證.23．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明

nn24

(N).24．?dāng)?shù)列

{}{}中，a，b，且a，，ann1n

n

成等差數(shù)列，，n

n

，

n

成等比數(shù)列（nN

*

）（）

，a，3

4

及

2

，

3

，

4

；（）據(jù)計(jì)算果，猜想

{}{}n

的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證.25．知數(shù)列

a

n2

.（）a，a，a的；24（）納猜想數(shù)列，并用數(shù)學(xué)歸納法證.26．出下面的數(shù)表序列：表

表2

表111

4412其中表

n

有行，第行個(gè)是1，，，2n

，從第行，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．（）出表4，證表4各中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表

n

（不要求證明）（）個(gè)數(shù)表最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列14，12，，此數(shù)列為和nn【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要除一選題1D解析：【分析】求出當(dāng)

n

時(shí)，左邊的代數(shù)式，當(dāng)

n

時(shí)，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．【詳解】當(dāng)n，左邊的代數(shù)式為

11kk

，當(dāng)

n

時(shí)，左邊的代數(shù)式為

11kk2k2k

，故用

n

時(shí)左邊的代數(shù)式減去

n

時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：111112k2kkk2k【點(diǎn)睛】

，故選．本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從n到n變化，屬于中檔.2．A解析：

項(xiàng)的

【解析】分析：因?yàn)樗奈桓枋种兄挥幸粋€(gè)人說的是真話，假設(shè)某一個(gè)人說的是真話，如果與條件不符，說明假設(shè)不成立，如果與條件相符，說明假設(shè)成.詳解：若乙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丁都說的真話，不符合題意；若丙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、丁都說的真話，不符合題意；若丁是獲獎(jiǎng)的歌手，則乙、丙都說的真話，不符合題意；若甲是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丙都說的假話，丁說的真話，符合題意；故選點(diǎn)睛：本題考查合情推理，屬基礎(chǔ).3．C解析：【解析】分析：先根據(jù)條件確定

f

式子，再與

f詳解：因?yàn)?/p>

ff

,選C.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)列遞推關(guān).4．B解析：【解析】分析：由題意逐一考查所給命題的真假即.詳解：逐一考查所給命題的真假：.指數(shù)的運(yùn)算法則可得axx，命題錯(cuò)誤；.向量的運(yùn)算法則可知：

a

，原命題正確；.多項(xiàng)式的運(yùn)算法則可y)

n

x

n

y

n

n

，原命題錯(cuò)誤；D.由面向量數(shù)量的性質(zhì)可知

本題選擇B選項(xiàng)點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能.5．D解析：【解析】根據(jù)題意，

A,CD

作品中進(jìn)行評(píng)獎(jiǎng)，由兩件獲獎(jiǎng)，且有且只有二位同學(xué)的預(yù)測(cè)是正確的，若作品A與作品B獲，則甲、乙，丁是正確的丙是錯(cuò)誤的，不符合題意；若作品B與作品

C

獲獎(jiǎng)，則乙、并、丁是正確的，甲是錯(cuò)誤的，不符合題意；若作品

C

與作品獲，則甲、乙，丙是正確的，丁是錯(cuò)誤的，不符合題意；只有作品A

與作品D獲，則乙，丁是正確的甲、丙是錯(cuò)誤的，符合題意，

綜上所述，獲獎(jiǎng)作品為作品A

與作品，選6．D解析：【解析】甲說：我法確定說明兩球編號(hào)的可能為包含（，）3，4），可能為8包（，），3，）可能為9包含，）（，）乙說：我法確定說明兩球編號(hào)的積為12包含（，）或2，）根據(jù)以上信可推斷出抽取的兩球中可能有號(hào)故選D點(diǎn)睛：本題是一道通俗易懂的合情推理題目，主要考查同學(xué)們的邏輯思維能力和推理能力，問題難度不大，認(rèn)真審題是關(guān).7．C解析：【詳解】若甲是獲獎(jiǎng)的歌手，則四句全是假話，不合題意；若乙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丁都說真話，丙說假話，與題意不符；若丁是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、丁、丙都說假話，丙說真話，與題意不符；當(dāng)丙是獲獎(jiǎng)的歌手，甲、丙說了真話，乙、丁說了假話，與題意相.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查的是簡(jiǎn)單的合情推理題，解決本題的關(guān)鍵是假設(shè)甲、乙、丙、丁分別是獲獎(jiǎng)歌手時(shí)的，甲乙丙丁說法的正確性即.8．B解析：【解析】由1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1111；1234×9+5=11111；…歸納可得：等式右邊各數(shù)位上的數(shù)字均為，位數(shù)跟等式左邊的第二個(gè)加數(shù)相同，∴本題選擇B選項(xiàng)9．C解析：【解析】由題意:大提是無限不循環(huán)小數(shù)都是無理,選10．解析：

00000000【解析】可以通過列表歸納分析得到；多邊形對(duì)角線

42

52+3

62+3+4

72+3+4+5

82+3+4+5+616邊形有2+3+4+…+14=

162

=104條對(duì)角線．故選．11．解析：【分析】由題意歸納推理得到的即可【詳解】由題意，當(dāng)分母的指數(shù)為1時(shí)分子為當(dāng)分母的指數(shù)為2時(shí)分子為24；當(dāng)分母的指數(shù)為3時(shí)分子為

；據(jù)此歸納可得：

x

ax

中，的為

.本題選擇B選項(xiàng)【點(diǎn)睛】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．12．解析：【分析】分別代入【詳解】

n,k

，兩式作差可得左邊應(yīng)添加項(xiàng)．由時(shí)，左邊為

1k

k

，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊為

1k

1k(k所以增加項(xiàng)為兩式作差得：

1112kkk

，選【點(diǎn)睛】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠或遞推基證當(dāng)取第一個(gè)值n*

)時(shí)題成立，第二步是歸納遞或納設(shè)假n＝(k，N*

時(shí)題成立，證明當(dāng)n＝＋時(shí)題成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對(duì)從開的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可．

xxxxxxxxxx2二、填題13．31【析】分析：由圖形的特點(diǎn)只需看第10個(gè)圖形中火柴的根數(shù)是在的基礎(chǔ)上增加幾個(gè)即可詳解：第1個(gè)圖形中有根火柴棒；第2個(gè)圖形中有根火柴棒；第3個(gè)圖形中有根火柴棒；第10個(gè)圖形中有根火柴棒點(diǎn)睛：本題主解析：【解析】根火柴棒；分析：由圖形的特點(diǎn)，只需看第10個(gè)形中火柴的根數(shù)是在4詳解：第1個(gè)圖形中有

的基礎(chǔ)上增加幾個(gè)

3

即可．第個(gè)形有根火柴棒；第個(gè)形有

4

根火柴棒；第10個(gè)形中有

31

根火柴棒．點(diǎn)睛：本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，齊總解答中根據(jù)圖形的變化規(guī)律，得到火柴棒的根數(shù)是在4

的基礎(chǔ)上增加幾個(gè)3的系解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．14．乙【解析】假設(shè)甲去過則甲說了假話乙說了假話丙說了假話丁說了真話與只有一位說了假話矛盾假設(shè)乙去過則甲說了真話乙說了假話丙說了真話丁說了真話與只有一位說了假話一致故填乙解析：【解析】假設(shè)甲去過，則甲說了假話，乙說了假話，丙說了假話，丁說了真話，與只有一位說了假話矛盾假設(shè)乙去過，則甲說了真話，乙說了假話，丙說了真話，丁說了真話，與只有一位說了假話一致故乙15．【解析】由題得所以是奇函數(shù)所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱故填解析：

7【解析】由題得

gx

xxxxxxxx

11xxx711g()277222271g(x)x

1f()53113xx2

,624,624

1

52

1

32

1

12

1

12

1

32

1

52

(x)所以

f(

是奇函數(shù)，所以函數(shù)

xxx

xx

的圖象關(guān)于點(diǎn)

7

對(duì)稱故填

7,62

.16．【詳解】這幾個(gè)數(shù)是這樣規(guī)律比較明顯了即所以故填：解析：

132【詳解】這幾個(gè)數(shù)是

145,，樣規(guī)律比較明顯了，即a232

，所以

132

1，故填：.3217．5【解析】根據(jù)表格得到甲同學(xué)答錯(cuò)的是第五題乙同學(xué)答錯(cuò)的是第三個(gè)和第五個(gè)丙同學(xué)答錯(cuò)的是第一個(gè)三個(gè)五個(gè)故第五題的正確的答案為：故答案為(1)5(2)A解析：【解析】根據(jù)表格得到甲同學(xué)答錯(cuò)的是第五題，乙同學(xué)答錯(cuò)的是第三個(gè)和第五個(gè)，丙同學(xué)答錯(cuò)的是第一個(gè)三個(gè)，五個(gè)．故第五題的正確的答案為A．故答案為5(2).A.18．176【解析】原已知式子可化為：正方形數(shù)五邊形數(shù)六邊形數(shù)……此推測(cè)由歸納推理可得故解析：【解析】原已知式子可化為：

122正方形:

2n五邊形數(shù)六邊形數(shù)

2

22

n由推測(cè)由歸納推理可得

k4nn22故

42219．【解析】試題分析：根據(jù)歸納推理觀察所得等號(hào)左邊第行有個(gè)數(shù)字加減等號(hào)有邊第行有個(gè)數(shù)字相加并且是后個(gè)所以猜想第個(gè)等式是考點(diǎn)：歸納推理解析：【解析】試題分析：根據(jù)歸納推理，觀察所得，等號(hào)左邊，第行有

個(gè)數(shù)字加減，等號(hào)有邊，第行有個(gè)字相加，并且是后個(gè)，所以，猜想第個(gè)等式是．考點(diǎn)：歸納推理20．4n+2【解析】解：觀察分析圖案得到規(guī)律第個(gè)第2個(gè)第3個(gè)…個(gè)圖案有白色地板磚分別是61014…個(gè)組成一個(gè)公差是首項(xiàng)為6的等差數(shù)列因此第n個(gè)圖案中有白色地面磚有6+（）×4=6+4n-4=4解析：【解析】解：觀察、分析圖案，得到規(guī)律，第個(gè)第2個(gè)，第3個(gè)個(gè)圖案有白色地板磚分別是6，，…個(gè)組成一個(gè)公差是4，首項(xiàng)為的差數(shù)列．因此第個(gè)圖案中有白色地面磚有（）．故答案為4n+2．三、解題21．1）（）見證明【解析】【分析】x（）題意，簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f()xx求解其最小值；（）用數(shù)學(xué)納證明方法，即可作出證.【詳解】

，利用基本不等式，即（）x時(shí)

，xx2x1(xxxxx

11當(dāng)且僅當(dāng)

2

時(shí)等號(hào)成立，故f(

的最小值為4.證明①當(dāng)n時(shí)左邊所以當(dāng)時(shí)，命題成立；②假當(dāng)n時(shí)，命題成立

1122

，則有

1k

2k2

，則當(dāng)k時(shí)左

11k

12k11k

1111112k2k2kk22kk2

，所以當(dāng)nk時(shí)命題也成立，綜上②知原命題成.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值，以及數(shù)學(xué)歸納證明不等式，其中解答中合理化簡(jiǎn)、構(gòu)造“一正、定、三相，合理利用基本不等式求解，以及熟記數(shù)學(xué)歸納法的證明方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ).22．）【解析】

1,37

；（）明見解.分析：（）別將

n1,2入推公式，即可求得a，a，的；24（）想

a

12

，檢驗(yàn)時(shí)式成立，假設(shè)當(dāng)

k*證明當(dāng)

n

時(shí)等式也成立.詳解：解：）題意，

2

1231

，

2

，

a

（）

,a,a猜a14n

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任何的n*

a

12

證明：當(dāng)n時(shí)由已知，得左邊

1

，右邊

12

所以n時(shí)成等.

②假當(dāng)

k

12

成立，則

n

時(shí)，

k

kk

kk

kk

，所以，當(dāng)時(shí)，等式也成立根據(jù)和，知對(duì)于任何N*

a

12

成立.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推公式，合情推理，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的一般方法和步.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為：①歸奠基：證明當(dāng)取第一個(gè)自然數(shù)時(shí)命題成立；0②歸遞推：假設(shè)n，k

k0

)時(shí)命題成立，證明當(dāng)

時(shí)，命題成立；23．解析【解析】分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式，1）證

n

時(shí)不等式成立；2）假設(shè)當(dāng)

放法證明

時(shí)，不等式也成立．詳解：證明：當(dāng)時(shí)，左邊

111224

，不等式成立.②假當(dāng)

k立，即

11111kkk24

，則當(dāng)

n

時(shí)，

111kk22

11111kkk2k2k

12k11k

，

，

111111k2k2kk

2222222222222222

111111242k24

，∴當(dāng)

n

時(shí)，不等式成立由知于任意正整數(shù)，等式成.點(diǎn)睛：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．24．

，a，a20b，b16，b(2)猜a(n23n

，n【解析】

，證明見解析分析：1）據(jù)條件中，，ann

n

成等差數(shù)列，b，n

n

，

n

成等比數(shù)列及所給數(shù)據(jù)求解即可．（）用數(shù)學(xué)歸納法證明．詳解：1）已知條件得

bnn

，

2

n

，由此算出

2

，

123

，

4

，，，25234

.（）（）的計(jì)算可以猜想

an

，

n

，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)

時(shí)，由已知

，11

可得結(jié)論成立.②假當(dāng)

（

k

且

*

）時(shí)猜想成立