(壓軸題)高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-2第四章《定積分》測試題

244244一、選題1．給出下列函數(shù)：

f

12

；

f

；③

f

.

使得

f

的函數(shù)是（）A．②

B．③

C．③

．②③2．設(shè)

x3

，

x

，

1

xdx

則a，，的小0

0A．a(chǎn)>b>c

B．Ca>c>b．b>c>a3．若函數(shù)

f

1在x

是增函數(shù)則

的取值范圍()A．

12

B．

．,D4．由

y

2

和

圍成的封閉圖形的面積是（）A．

．

C

32D335．知

f(xx

x

，則函數(shù)f(在f(0))處切線l與標(biāo)軸圍成的三角形的面積為A．

1B．2

．D．6．一物體在力x)＝－x＋力位，移單位m)用力下，沿與力(x相的方向由x＝m直線運(yùn)動(dòng)到x＝m處做的功)．A．925JB850JC825J．J7．由曲線xy直線yy

所圍成的平面圖形的面積為（）A．

2

B．

4ln3

C．

4

．

3298．已知函數(shù)

xxx，120,1

f

（）A．

B．

C．

2

．

4

9．函數(shù)

(x)

x

(

在[上（）A．有最大值0，最小值

B．最大值0最小值

C．小值

323

，無最大值

．無最大值，也無最小值10．

10

(1x2

)dx）

2323A．

2

2

B．

C．

2

12

．

11．列積分值最大的是（）A．

（

x

B．

22

C．

．

e

1

12．曲線

y4

，y

1x

，x2

圍成的封閉圖形的面積為A．

172

2ln2

B．

152

2

C．

152

+2ln

．

172

+2ln二、填題13．積分

21

1x

的值等________.14．積分

1

xdx

的值為．15．知

fx,x

(e為自然對(duì)數(shù)的底)則

e0

f

_________.16．函數(shù)

f

的圖象與直線

x,x

及軸圍成圖形的面積稱為函數(shù)

f

在知數(shù)

f

在

上的面積為

f

在

上的面積為．．定積分

sin

________．18．知平面區(qū)域

4

，直線

lmx

和曲線:y

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，直線

l

與曲線

C

圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)A，A在區(qū)域M內(nèi)概率為

(M，若()

,12

，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍___________.19．線20．線

y

x

與直線所圍成的封閉圖形的面積_．和曲線x圍一個(gè)葉形圖（如圖所示陰影部分），其面積是________．

00三、解題21．知函數(shù)fx)

ln（aR）

F(x)bx

（

）（）論

f(

的單調(diào)性；（）

，

(x)f(x)F)

，若

（

x）gx)12

的兩個(gè)零點(diǎn)，且xx122

，試問曲線

yg()

在點(diǎn)x

處的切線能否與軸行？請(qǐng)說明理由.22．圖，函數(shù)

f(x

（其中

2

）的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為,R

，且

P(Q(,0)3

，M為

QR

3的中點(diǎn)，且的縱坐標(biāo)為.4（）

f(x)

的解析式；（）線段與數(shù)f()

圖象圍成的圖中陰影部分的面.23．形頂B、在以為直徑的圓上，=2米，(1)如1，若電熱絲由AB，，這部分組成，在，上米可輻1單位熱量，在BC上米可輻射2單位熱量，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)BC的長度，使得電熱絲輻射的總熱量最大，并求總熱量的最大值；(2)如圖2，電熱絲由弧AB,CD和BC這部分組成，在弧,CD上米可輻射1單位熱量，在弦上每米可輻射2單熱量，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)的度，使得電熱絲輻射的總熱量最大．

aa24．物體沿直線以速度

v(t)2t（的位為秒v的位為米秒）的速度作變速直線運(yùn)動(dòng)，求該物體從時(shí)刻t=0秒時(shí)刻t=5秒運(yùn)動(dòng)的路?25．知函數(shù)

f()

ax

，其中∈R.(1)當(dāng)＝時(shí)，求f(的值；(2)討并求出x在其定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間．26．知函數(shù)(x

x

．（）函數(shù)

f(x)

的圖象在f(1))處切線經(jīng)過點(diǎn)(0,，求的；（）否存在整數(shù)，使函數(shù)值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

f(

的極大值為正值？若存在，求出所有負(fù)整數(shù)a的（）

a

，求證：函數(shù)

f(x)

既有極大值，又有極小值【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要除一選題1．解析：【分析】利用定義判①②的函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)和定積分的性質(zhì)，判①②；利用反證法，結(jié)合定積分的性質(zhì)，判③.【詳解】對(duì)，

的定義域?yàn)镽f(1)ln(12)2)()即函數(shù)

為奇函數(shù)，則

使得

f的定義域?yàn)镽對(duì)，f)cosx(x)

，即函數(shù)

為奇函數(shù)，則

使得

f對(duì)，

，使得

f

成立則

2

，解得a，0矛，則不足故選：【點(diǎn)睛】

10331033本題主要考查了定積分的性質(zhì)以運(yùn)用，屬于中檔.2．A解析：【解析】借助定積分的計(jì)算公式可算得

a

33x22

，1b

2x213

，

c410

，所以，應(yīng)選答案A。3．D解析：【解析】由題意得

f

1x

在

上恒成立，即x

，因?yàn)?/p>

1yx2

在

上單調(diào)遞減，所以y

x

x

134a4

，選D.點(diǎn)睛：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或取值范圍的一般方法：）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合參數(shù)討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間取法，根據(jù)單調(diào)區(qū)間與定義區(qū)間包含關(guān)系，確定參數(shù)值或取值范圍；）利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)非正或非負(fù)恒成立問題，結(jié)合變量分離轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)最值得參數(shù)值或取值范.4．C解析：【解析】試題分析：畫出函數(shù)圖象如下圖所示，所以圍成的面積為

1

2

x2

1

323

.

111考點(diǎn)：定積.5．A解析：【解析】試題分析：由

f(xx

x

知

f(x

x

，則

f

x

，而f(0)

，即切點(diǎn)坐標(biāo)為

，切線斜率

，則切線l:y

x

，切線l與標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,0和

，則切線

l

與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積

12考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)處的切線6．C解析：【解析】＝x)dx＝

(322x＋＝x－＋x)

＝000－＋－－＋＝825(J)．7．C解析：【詳解】由，解得，解得yx

13

，

yyx

解得，圍成的平面圖形x的面積為

，則

113xx12x

，

Sln

，故選C.8．D解析：【解析】

f

sin，xdx|0

的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，半徑為

的圓的面積的

，故

1

4

f4

，故選9．B

解析：【分析】根據(jù)定積分的運(yùn)算，可得

f)

13

x

x

，再利用導(dǎo)數(shù)求得

f(

的單調(diào)性和極值，檢驗(yàn)端點(diǎn)值，即可得答案【詳解】由題意，函數(shù)

f()

x

t(tdt

x

13

x

，則f)xx4)

，當(dāng)

x[時(shí)f

0

，

f(x)

單調(diào)遞增；當(dāng)

x4)時(shí)f

，

f(

單調(diào)遞減；當(dāng)(4,5]時(shí)f

，

f(

單調(diào)遞增；又由

f

32，f(0)0，(4)，f(5)3

，所以函數(shù)

f(

的最大值為0，小值為

.故選：【點(diǎn)睛】本題考查定積分的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查分析理解，求值化簡的能力，屬中檔題10．解析：【分析】函數(shù)

x2

的圖象是以

(1,0)

為圓心，以1為徑的上半圓，作出直線

，則圖中陰影部分的面積為題目所要求的定積.【詳解】由題意，

x

x2dx()dx

，如圖：

(1,0)()dxx)1x(1,0)()dxx)1xdx1dx()x()dx（2xsinx

x2

的大小相當(dāng)于是以為圓心以為半徑的圓的面積的

14

，故其值為所以，

4

1，，2210

4

12所以本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查求定積分，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)定積分的運(yùn)算性質(zhì)將其值分為兩部分來求，其中一部分要借用其幾何意義求值，在求定積分時(shí)要注意靈活選用方法，求定積分的方法主要有兩種，一種是幾何法，借助相關(guān)的幾何圖形，一種是定義法，求出其原函數(shù)，本題兩種方法都涉及到了，由定積分的形式分析，求解它的值得分為兩部分來求，和.

11．解析：【分析】對(duì)各個(gè)選項(xiàng)計(jì)算出被積函數(shù)的原函數(shù)，再將上下限代入即可得到結(jié)果，進(jìn)行比較即可得到結(jié)果.【詳解】A：

2

xxdx

，函數(shù)x

sin奇函數(shù)，故

x

sin

，

dx|

2

，B:

(x

2

，C:

表示以原點(diǎn)為圓心，以2為徑的圓的面積的，

211115211115

4

14

，D:

1x

dxlnx

ln

，通過比較可知選項(xiàng)的分值最，故選【點(diǎn)睛】計(jì)算定積分的步驟：先被積函數(shù)變形為基本初等函數(shù)的和、差等形式②根據(jù)定積分的基本性質(zhì)，變形③別利用求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算，找到相應(yīng)的的原函數(shù)④利用積分基本定理分別求出各個(gè)定積分的值，然后求代數(shù)差．12．解析：【解析】【分析】聯(lián)立方程組，確定被積區(qū)間和被積函數(shù)，得出曲邊形的面積x)，可求x2解，得到答案．【詳解】由題意，聯(lián)立方程組1，得x

12

，所以曲線

y4x

，

，x2圍的閉圖形的面積為S(4x)dx(2xlnx|(22))]2x222

，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用定積分求解曲邊形的面積，其中解答中根據(jù)題意求解交點(diǎn)的坐標(biāo)，確定被積分區(qū)間和被積函數(shù)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填題13．【分析】直接根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算關(guān)鍵是求出原函數(shù)屬于基礎(chǔ)題解析：【分析】直接根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可．【詳解】

1313

1x

lnx|

，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】根據(jù)定積分的定義知故填解析：

23【解析】根據(jù)定積分的定義知，

1

112133

，故填.15．【解析】因?yàn)樗越馕觯?/p>

43【解析】因?yàn)?/p>

fx,x

，所以

fx0

1131x|e316．【解析】解：令則問題等價(jià)于求解在區(qū)間上的面積由題中所給的結(jié)論可知：函數(shù)的周期為結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：將函數(shù)的圖象向上平移兩個(gè)單位得到函數(shù)的圖象增加的面積為：綜上可得：函數(shù)在上的面積為解析【解析】

解：令t

3

，則問題等價(jià)于求解

g在區(qū)

上的面積，由題中所給的結(jié)論可知：

sin3

13

，函數(shù)gt的期為

2

，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：

sin3tdt

23

，將函數(shù)

yt

的圖象向上平移兩個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，增加的面積為：

，綜上可得：函數(shù)

f

在

上的面積為

23

.

17．【解析】試題分析：因?yàn)樗钥键c(diǎn)：定積分的計(jì)算【方法點(diǎn)睛】本題主要考察利用換元法求定積分計(jì)算定積分首先要熟悉常見函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)因題中恰好為的導(dǎo)函數(shù)所以可以考慮用換元法來求定積分；本題也可利用三角恒等變換解析：【解析】試題分析：因?yàn)?ttdt0

，所以

.考點(diǎn)：定積分的計(jì)算【方法點(diǎn)睛】本題主要考察利用換元法求定積分，計(jì)算定積分，首先要熟悉常見函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因題中

恰好為

的導(dǎo)函數(shù)，所以可以考慮用換元法來求定積分；本題也可利用三角恒等變換來求，因?yàn)?/p>

，所以有

sint

2tdt240

14

udu11u402

.18．【分析】試題分析：平面區(qū)Ω=的面積為當(dāng)時(shí)結(jié)合圖形可知直線斜率當(dāng)時(shí)由可知令一交點(diǎn)為由定積分可知面積所以考點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合法定積分幾何概型概率等點(diǎn)評(píng)：本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多題目有一定的難度在求解過程中多次解析：【分析】試題分析：平面區(qū)域Ω=y)|{積為，4

([2SM

，當(dāng)

S

時(shí)，結(jié)合圖形可知直線斜率當(dāng)

時(shí)由

ymx

，

可知令一交點(diǎn)為

m2mm

，由定積分可知面積

，所以

m

考點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合法，定積分，幾何概型概率等點(diǎn)評(píng)：本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，題目有一定的難度，在求解過程中多次用到了數(shù)形結(jié)合法，這種方法在求解函數(shù)題，幾何題時(shí)應(yīng)用廣泛，需加以重視【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?9．【解析】【分析】確定被積函數(shù)與被積區(qū)間利用用定積分表示面積即可求得結(jié)論【詳解】曲線y=sinx與直線x=0x=π4y=0所圍成的封閉圖形的面積為0π4sinxdx=-cosx|0故答案解析：【解析】【分析】確定被積函數(shù)與被積區(qū)間利用用定積分表示面即求得結(jié).【詳解】曲線

與直線

所圍成的封閉圖形的面積為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用定積分求面積，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ).20．【分析】先求出兩個(gè)曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)得所求陰影部分應(yīng)該是曲線從到1的一段投影到x軸的面積減去曲線從0到1的一段投影到x軸的面積最后根據(jù)定積分的幾何意義用積分計(jì)算公式可以算出陰影部分面積【詳解】設(shè)陰影部1解析：3【分析】先求出兩個(gè)曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)

C(1,1)，得所陰影部分應(yīng)該是曲線

x從到1的段投影到x軸面積減曲線

y

x

從0到1的一段投影到軸面積，最后根據(jù)積分的幾何意義，用積分計(jì)算公式可以算出陰影部分面.【詳解】設(shè)陰影部分面積為S，題意得兩個(gè)圖象的交點(diǎn)為，S

x

313x3

32

3

.故答案:

13

.【點(diǎn)睛】本題著重考查了定積分的幾何意義和積分的計(jì)算公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔.

2x222x222xx,x三、解題21．1）時(shí)

f

，

f(x)

在

單調(diào)遞增，af(x調(diào)減是調(diào)增區(qū)間

；（）yf(x)

在x

處的切線不能平行于軸?！窘馕觥吭囶}分析：1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再依據(jù)到函數(shù)值與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系分類探求單調(diào)區(qū)間；（）假曲線

y的切線能否與x軸平，然后依據(jù)假設(shè)建立方程0組，最后再構(gòu)造函數(shù)

tt

導(dǎo)的知識(shí)斷定假設(shè)不成。解：（）f

2x2xxxx(1)當(dāng)時(shí)

f

單調(diào)遞增，（）時(shí)，fa

有

,f

-0+f

↘

極小值

↗aa所以時(shí)fx的單調(diào)減區(qū)間是增區(qū)間是(

2

x假設(shè)

y的切線能平行于x軸0

x由假設(shè)及題意得：x1111

.................2ln2222

................

200b201222633200b201222633xx2

.................g.............x0由-得，21212x即x.................⑤x1由⑤得，x令x2

12ln21x01

1212.則式可化為

t

2tt

，設(shè)函數(shù)

h

2tt

，則

14tt

,所以函數(shù)

2tt

在于是，當(dāng)

0

時(shí)，有

h

tt

與矛.所以

y切線不能平行于x軸0點(diǎn)睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，精心設(shè)置了兩個(gè)問題，旨在考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）等方面的綜合運(yùn)用。求解第一問時(shí)，先函數(shù)的解析式進(jìn)行求導(dǎo)，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論研究導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求解第二問時(shí)，先假設(shè)存在處的切線平行于軸然后在假設(shè)的前提下進(jìn)行分析推證，從而得0出與已知和假設(shè)矛盾的結(jié)論，使得問題獲解。22．1）

fx

3；（）【解析】分析：1）

P

,0周期

,又ym

3，則y，，而可得結(jié)果；2將陰4影部分的面積分成兩部分，分別利用定積分的幾何意義求的曲邊形的面積，求和即.

詳解：1），周期又（）圖可知設(shè)軸上方的陰影部分面積為則

，軸方的陰影部分面積為，則點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及定積分的幾何意義，屬于中檔.一情況下，定積分

f

的幾何意義是介于軸曲線

y

f

以及直線

x

之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和，其在軸方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反所以在用定積分求曲邊形面積時(shí)，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來求23．1）設(shè)計(jì)BC長為

74

9米，電熱絲輻射的總熱量最大，最大值為單位．2）應(yīng)設(shè)2計(jì)BC長3米電熱絲輻射的總熱量最大．【解析】試題分析：1）角為自變量設(shè)＝，別表示，，根據(jù)題意得函數(shù)θ+4sin

,利二倍角余弦公式得關(guān)于sin二次函數(shù),據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間2位置關(guān)系求最值2）角為自:設(shè)＝，用長公式表示,,得函數(shù)2θ＋利導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)并定最值試題解：設(shè)AOB＝，(0，)則＝，＝θ，總熱量單位f(θ＝θ+4sin＝8(sin4sin＋，sin＝，此時(shí)＝θ＝)，總熱量最大(單位．答：應(yīng)設(shè)計(jì)長為米，熱絲輻射的總熱量最大，最大值為單．

(2)總熱量單位g(θ＝θ＋θ，(0，)令g'θ)0，2－θ＝，＝，增區(qū)間（，），減區(qū)間（，）當(dāng)θ＝，(θ)最，時(shí)＝θ＝

米答：應(yīng)設(shè)計(jì)長為

米，電熱絲輻射的總熱量最大．24．

米【解析】當(dāng)

3時(shí)()t當(dāng)時(shí)()t2

.物從時(shí)刻t=0秒時(shí)刻秒運(yùn)動(dòng)的路程

=

929)42

(米25．1）＝－f(x的大點(diǎn)＝＋為(x的小值點(diǎn)；（）見解析【解析】【分析】(1)利導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值點(diǎn)；）先求出

f

1x(2

2

2－＋，a分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū).【詳解】解：fx)的義域?yàn)椋?時(shí)，x＝x＋

6x

，f

x2xx(x2x

.令fx)0x＝2±3.列表f′(x

(02－3)＋

2－30

(2，＋－

230

(2＋，＋f(x

極大值

極小值所以，＝－為(x的大值點(diǎn)x＝＋3為x)的小值點(diǎn)．(2)

1a1x2(x

，設(shè)gx)＝2－＋1，x＞，①＜0時(shí)gx)0，x0在x(0＋上恒成立，此時(shí)函數(shù)f(x)在間，∞)單調(diào)遞增；

2212111212221222121112122212②當(dāng)＞時(shí)g(x)x.24當(dāng)1－

2

≥0，0＜≤2時(shí)，x＞，′(x)＞在x(0，上成立，時(shí)函數(shù)(x)在區(qū)間，＋上調(diào)增；當(dāng)a＞時(shí)，方程g(x＝的根分別為x

aa2,x2

，且＜＜，當(dāng)(0，)時(shí)，g()＞，′()＞，函x在，上調(diào)遞增；當(dāng)(x，)時(shí)，(x＜，′(x＜，故函數(shù)x在，x單調(diào)遞減；當(dāng)(x，＋時(shí)，x0，′(x＞，故函數(shù)fxx，＋上調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)x的調(diào)增區(qū)間為

(