(通用版)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 4 第4講 數(shù)列求和教案 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)教案

n－1n－1n＋1n－1n－1n＋1第

數(shù)列求和1．基本數(shù)列求和方法n（a＋）（－1(1)等差數(shù)列求和公式：S＝＋d22＝1(2)等比數(shù)列求和公式：S（1q）＝，≠1.1－q1－2．一些常見數(shù)列的前項公n（＋1(1)1＋2＋3＋4＋…＋＝；2(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2＝n

；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝＋．3．數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一個數(shù){的前中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的．(2)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和可用此法來求，如等比數(shù)列的前項就是用此法推導(dǎo)的．(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．(4)分組轉(zhuǎn)化法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減．(5)并項求和法一個數(shù)列的前項，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如a＝(－1)()類型，可采用兩項合并求解．判斷正誤(正確的打“√”，錯的打“×”)(1)當≥2時，

n

111＝－.()利倒序相加可求得sin1°＋sin2°＋3°…＋sin88°sin89°＝

＝－，1111＝－，111144.5.()(3)若＝a＋＋n，當≠0且a時求的值可用錯位相減法求n得．()答案：(1)×(2)√(3)√數(shù)列{的前項為S，知S＝1－2＋3－4＋…＋(－1)nnA．9BC．17D．16

·，S＝(解析：選＝1＋3－4＋5－6＋＋15－16＋17＝1＋(－2＋(－4＋5)－6＋…＋(＋15)＋(－16＋17)＋…＋1＝9.12(教材習(xí)題改編數(shù)列}，a＝，若{a}的項為，則項數(shù)為（n＋1）2018()A．2016C．2018

B017D019解析：選B.＝

111n（＋1n＋1111111n2017S－＋－＋…－＝1－＝＝，所以n＝2017.223＋1n＋1＋12018已知數(shù)列：，2，，2482解析：設(shè)所求的前n項為S，則

，…，則其前n項和于n的表式為_______111S＝(1＋2＋…＋)＋＋＋…＋＝242n（＋11答案：＋1－22

n（＋1）－.22已知數(shù)列{a}前項為S且a＝·2則S＝________．nn解析：＝1×2＋2×2＋3×2＋…×2，所以2＝1×2＋2×2＋3×2＋＋×2

，②2×（1－2）①－②得－＝2＋2＋2…＋2－n×2＝－×2，1－2所以S＝(－1)2＋2.答案：n－1)2

＋2分組轉(zhuǎn)化法求和

4×3a＝327×6＝2234×3a＝327×6＝2238（4－1）3[典例引領(lǐng)(2018·合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢)知等差數(shù){}的前n項為，滿足S＝n24，＝63.(1)求數(shù)列}的通項公式；(2)若＝2＋(·求數(shù)列}的前n項Tnn【解】(1)因為}為等差數(shù)列，＋所以a＝2＋1.＋d＝63(2)因為b＝2＋(－1)·＝2＋(－1)·(2＝2×4＋(－1)·(2n＋1)，nn8（4－1）所以T＝2×(4＋4＋…＋4)＋[－3＋5＋9…－1)·(2n＋1)]＝＋.3n當＝2(∈N)時，G＝2×＝，28（4－1）所以T＝＋；3當＝2－1(∈N)時，n－1G＝2×－(2＋1)－－228（4－1）所以T＝－－238（4－1）＋（＝2，∈N）所以T＝.－（＝2－1，∈N）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若＝b±，且，{}等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法{}的n和；nn數(shù)(2)通公式為a＝可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．

的數(shù)列，其中數(shù)列{}}是比數(shù)列或等差數(shù)列，n[通練習(xí)]1．已知數(shù)列{a}的通項公式為a－，前項為S，則S＝________．nn解析：＝2＋2＋＋2＋2＋…n

a2a22－2）（1＋）n＋＋4＝－＝2－12答案：

n＋＋4－22．(2018·福建福州八中第六次)在等比數(shù)列}，公比≠1，等差數(shù){滿足bn＝＝3，b＝，＝a.(1)求數(shù)列}與的通項公式；(2)記＝(＋，數(shù){c}的前2n項S.n解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d.，則有解得或(舍去)，q，所以a＝3，＝2＋1.n(2)由1)知c＝(－1)(2＋3，則S＋3＋3＋…＋3)＋{(－3)＋(－7)＋＋[－(4－1)]n＋1)}n3－3）＝＋[(5－3)＋(9－7)＋…＋(4n＋1－4＋1)]13＝

－3＋2.2錯位相減法求和[典例引領(lǐng)(2017·高考山東卷)已知{}是項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且aaa＝a(1)求數(shù)列}的通項公式；(2){}為各項非零的等差數(shù)列其前n和為已＝，求數(shù)n和nT【解】(1)設(shè){a}的公比為q，由題意知：(1＋)＝6，＝.又a>0解得：＝2，＝2所以a＝2.（2＋1（b）(2)由題意知：S＝＝(2＋1)，

又S＝，≠0n所以b＝2b令c，2＋1則c，23572－12＋1因此T＝＋…＋＝＋＋＋…＋＋，2222213572－12＋1又T＝＋＋＋…＋＋，222222兩式相減得1311T＝＋＋…＋22222＋5所以T＝5－.2

2＋1－，2錯位相減法求和策略(1)如果數(shù)列{a是等差數(shù)列，b}是比數(shù)列，求數(shù)列a·的前項時，可采用錯位nnn相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)的公比，然后作差求解．(2)在寫“”與“qS的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出n“－的表達式．n(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不于1兩情況求解．[通練習(xí)]13571．數(shù)列，，，，，的前10項和為________．2481613519解析：＝＋＋＋…，24821131719所以＝＋＋＋＋.②24822①－②得112219S＝＋＋…＋22822

92a＝2292a＝2211－1＝＋－2121－231193×2－23＝－－＝，22223×2－233049所以S＝＝.210243049答案：10242．(2018·福建漳州八校聯(lián))知遞增的等比數(shù){}滿足a＋＋a＝28，且a＋2是a和的差中項．(1)求數(shù)列}的通項公式；(2)若＝alog1，＝＋＋…，求使＋·22q＝28，解：(1)由題意，得（q＋2），解得或1＝，由于{是遞增數(shù)列，所以＝2，＝2，

>62成的正整數(shù)n的小值．所以數(shù)列a}的通項公式為a＝2·2n

＝2.(2)因為＝1＝2·log2＝－·222所以S＝＋…＋＝－(1×2＋2×2＋＋)，n則2＝－(1×2＋2×2＋…＋·2)，②②－①，得＝(2＋2＋＋2)·2＝2－·2則S＋·2＝2－2，

，解2

－2>62，得n>5，所以n的最小值為6.裂項相消法求和(高頻考點)裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題第二問，難度適中．高考對裂項相消法的考查常有以下三個命題角度：

2＋12＋1（2＋1（2－1）2－1＋12＋12＋1（2＋1（2－1）2－1＋11(1)形如a＝型n（＋）(2)形如a＝

1型；n＋＋ka(3)形如a＝（－1）a－1）

(>0，≠1)．[典引領(lǐng)]1角度一形a＝型n（＋）(2017·高考全國卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{}足a＋3a＋…＋(2－1).(1)求a}通項公式；(2)求數(shù)列n項和【解】(1)因a＋3a＋…－1)＝2n故當n時，a＋3a＋…－3)＝22(n．兩式減(2－1)a＝2，所以a＝≥2)．2又由題設(shè)可得，2從而{的通項公式為a＝.2－1(2)記

a}的前項為S.2＋1a21由1)知＝＝－.1111112則S－＋－＋＋－＝.13352－12n＋1＋11角度二形a＝型n＋＋(2018·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)(x)＝x

α

的圖象過點(4，2)，令＝1，∈N.數(shù)列}的前n項為S，S＝()f（＋1＋（）A.2017－1C.2019－11【解析】由(4)＝2得＝2，解得＝2

B.2018－1D.2019＋1

Saad2Saad21則()2.11所以a＝＝＝n＋1－nf（＋1f（）＋1所以＝＋a＋a＋…＋＝(21)3－2)＋(4－3)＋…＋(2018－2017)2019－2018)＝019－1.【答案】Cka角度三形a＝（－1（a－1）

(>0，≠1)型已知數(shù)列{a}遞增的等比數(shù)列，且a＋，＝8.(1)求數(shù)列}的通項公式；a(2)設(shè)為數(shù){的前n和，＝，數(shù)列前項T.nSnn【解】(1)由題設(shè)知a·＝·＝8，又a＋＝9可解或(舍去．由a＝公比＝2，故＝q＝2.a（1q）(2)S＝＝2－1.1－a－11又b＝＝－，SSSSn11111所以T＝＋…＋＝－－＝1－.2－1n利用裂項相消法求和的注意事項(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項；(2)將通項裂項后，有時需要調(diào)前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相111111等．如：若}等差數(shù)列，則＝＝－nnn[通練習(xí)]1．(2017·高考全國卷Ⅱ等差數(shù)列{}的項為a，，則n

1S

＝

＝2(1－＋－＋＋－)＝.n＋1a（＋232435（－1）16（＋1（＋2）n＝2(1－＋－＋＋－)＝.n＋1a（＋232435（－1）16（＋1（＋2）n2（n＋1）__________．，，解析：設(shè)等差數(shù){的項為a，差為d，題意解，，n（＋1）得所S，此2

1111112S223n＋1＋12答案：2．(2018·銀川質(zhì))正項數(shù)列{a的前項S滿足S－(n＋－1)－(＋n)nn(1)求數(shù)列}的項公式a；n＋15(2)令＝，列}的前n項為T，證：對于任意的n，有T<（＋2a64

.解：(1)由－(＋－1)－(＋)＝0，n得－(＋)](＋1)＝0.由于數(shù)列a}是正項數(shù)列，所以>0，＝＋.n于是a＝＝2當≥2，a＝S－＝＋－(－1)n

－(－1)＝2.綜上可知，數(shù)列{a}的通項公式a＝2.n(2)證明：由于＝2，＝n

＋1（＋2

，n＋111則b＝－4（＋2）16

.1111111T＋－＋－＋＋

－111111＋－－16

－1（＋2

11162

5＝.64幾類可以使用公式求和的數(shù)列(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解．(2)奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的，可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時，分別使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式．

11(3)等差數(shù)列各項加上絕對值，等差數(shù)列(.用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．易錯防范(1)直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當?shù)缺葦?shù)列公比為參(字母時，應(yīng)對其公比是否為1進討論．(2)在應(yīng)用錯位相減法時，要注意觀察未合并項的正負號．(3)在應(yīng)用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項則后剩多少項．1．已知數(shù)列{a}的通項公式是a－331A．380－5531C．420－45

n，則其前20項為)21B．400－541D．440－5解析：選C.令列{}的前項為，＝＋＋＝2(1＋2…＋20)－n3

111＋＋55

1120×（20＋1）5531＝2×－3×＝420－21451－5

.2．數(shù)列}的通項公式是a＝nAC．11

1，若前n項和為10，則項數(shù)n為)n＋nB．99D．121解析：選＝

1＋1－＝＝＋1n所以a＋n＋n（n＋1＋n）（＋1－n＋…＋23－2)…＋(＋1)＝＋1－1＝10.即n，以＋1＝121，n＝120.3．(2018·江西師大附中調(diào)研)定義

np＋＋

為個正，p，，p的“均倒n1a111數(shù)”，若已知數(shù)列a}的前n項“均倒數(shù)”為，b＝，＋＋…＋＝5n5bbbb()

b2b2A.

817

B.

91910C.21

D.

1123解析：選C.由定義可知＋＋…＋＝5n

，＋a＋…＋＝5(n＋1)，求得a＝10＋5，所以a＝10－5，n又n

11111＝－＋＋＋bb2n11111111＝(－＋－－＋－)＝－bb2bbb2

10＝.21nπ4．已知數(shù)列{a}的通項公式為a＝(－1)(2n－1)·cos＋1(∈N)，其前項為S，2則S＝()A．－30C．90

B．－60D．120解析：選D.由題意可得，當n－3(∈N)時＝a＝1當＝4－2(∈N)時，n＝＝6；當n＝4－1()時a＝＝1當＝4(∈N時，＝k所n以a＋＋＋＝8所以S＝8×15＝120.k5．(2018·湖南湘潭模)已知T數(shù)m的最值為()A．1026C．1024

＋1為數(shù)列n項和若>＋1013恒立，則整B025D0232＋1解析：選C.因＝1＋2

n，1所以T＝n＋1－，211所以T＋1013－＋1013024－，22又>013，所以整數(shù)m最小值為1024.故C.6．在等差數(shù)列a}中，a>0，·<0，若此數(shù)列的前10項S＝36前18項S＝12，數(shù){a|}的18項T的值是________解析：由a>0·可知d<0，>0，a，所以T＝a＋…－－－

＝＋log＋＋lognnn＝＋log＋＋lognnn3＝－(S－S)＝60.答案：17．設(shè)函數(shù)x)＝＋log，義＝21－

，其中∈N

，且n，則S＝________．解析：因為f(x)(1)1x11－x21－x＝1＋log1＝1，所以2＝

＋＝－1.n－1所以S＝.2n－1答案：28．某企業(yè)在第1年購買一臺價值為120元的設(shè)備M，價值在使用過程中逐年減少，從第2年第6年每年初的值比上年初減少10萬元；從第7年始，每年初M的價值為上年初的75%，則第年M的價值a＝________．解析：當n時，數(shù)列{}是首項為120，公差為10的差數(shù)列，所以＝120－10(－1)＝130－10(n且n*)；3當≥7時，數(shù){是以a為項，為公比的比數(shù)列，43又因為a，以＝70×

n(≥7∈N．n，≤6且∈N，答案：n－6，≥7n∈N

＋9．已知數(shù)列{a}的前項S＝，∈N2(1)求數(shù)列}的通項公式；(2)設(shè)＝2a，求列b}的前2項．n

－，35－，352n＋12＋1017解：(1)當＝1時，＝＝1；n＋（n－1）＋－1當≥2時，a＝－＝－＝.22a也足a＝，故數(shù){}通項公式為a＝.nn(2)由1)知a＝，故b＋(n.n記數(shù)列}的前2項為T，T＝(2＋2＋…＋(－1＋2－＋2．n記＝2＋2＋＋2，＝－1＋2－3＋4－…＋2，2－2）則＝＝2－21B＝(－1＋2)＋(＋…＋[－(2－1)＋2].故數(shù)列}的前2項＝＋＝2n

＋－2.10．(2018·長市統(tǒng)一模擬考)知數(shù){為等差數(shù)列，其中a＋＝8，＝3a.(1)求數(shù)列}的通項公式；22016(2)記＝，{}的n和為.求最小的正整數(shù)，使得S>.aa017解：(1)設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，依題意，＋3d解得a＝1，d＝2，從而{的通項公式為a＝2n－1，∈Nn211(2)因為b＝＝2－12＋1

.1111所以S＝－，2＋112016令1－>，解得n>1008，故取＝11．已知等差數(shù){的前n項為S，a＝28，＝310.函數(shù)fn)＝(∈N)，(，nnf())，n＋1，(＋1))，Cn＋2，f(n＋2))是數(shù)f(n上的點，eq\o\ac(△,則)eq\o\ac(△,)ABC的積為()A．1C．3解析：選C.因a＝28，＝310.

BD

＝28所以10×9解a＝4，d＝6.10＋d＝310，2所以a＝4＋(－1)×6＝6－2.n（－1所以S＝4＋×6＝3＋2所以，，C的標分別為(，3＋)，(＋1＋1)＋(＋1))，(n＋2，3(＋(n＋2))．11所以△的積S＝[(3n＋)＋3(＋2)n＋2)]×2－[(3＋)＋1)n＋2211)]×1－[3(＋1)＋(＋1)＋3(＋2)n＋2)]×12＝(6＋14＋14)－(3＋4＋2)－(3＋10n＋9)＝3，即△ABC的積為3.2．(2017·高考全國卷Ⅰ)幾位學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，4，1，4，8，16，，其中第一項是，下的兩項是2，2，再接下來的三項是2，2，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：>100且數(shù)列的前N項為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼()AC

B．330D．110解析：選A.設(shè)第一項為第1組接下來的兩項為第組再接下來的三項為第3組依此類推，則第組的項數(shù)為n前組的項數(shù)和為

（n＋1）2

.由意可知，>100，令n（＋1>100，所以≥14，n，N出在第13組后．易得第n組所有項的和為21－22（1）＝2－1，前n組所有項的和為－＝2－－2.滿足條件的N在第＋1－21－21(k∈N，≥13)組，且第N項第＋1的第t(t∈N)個數(shù)，第＋1組的項的2

－1應(yīng)－2－k為相反數(shù)，即2－1＝＋2，所＝＋3所以t＝log(，所以當13×（13＋1）t＝4，＝13時，＝＋4＝95<100，不滿足題意，當t＝5，時N＝2

nn21nn2129×＋1）＋5＝440，當>5，N>440，選A.2113．知數(shù)列{a滿a＝＋a，＝，則該數(shù)列的前2018項和等于22．11解析：因為＝，a＝＋－，221所以a＝1，從而a＝，＝12，＝2－1（）即得a＝＝2（∈N），故數(shù)列的前2018項的和S＝1009×

＝

3027.23027答案：24．某人打算制定一個長期儲蓄劃，每年年初存款元，連續(xù)儲蓄12年由于資金原因，從第7年初開始，變更為年年初存款1萬．若存款利率為每年2%，且上一年年末的本息和共同作為下一年年初的本金，則第13年年時的本息和約________萬元結(jié)果精確到0.1)．(參考數(shù)據(jù)：1.02≈1.13，1.02≈1.27)解析：由題意可知，第1年年初入的2元，到第13年年時本息和為2×1.02，2年年初存入的2萬元到第13年初時本息和為2×1.02，，第6年初存入的2萬元，到第13年初時本息和為2×1.02，第7年初存入的萬元，到第1