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n-1n-1n+1n-1n-1n+1第
數(shù)列求和1.基本數(shù)列求和方法n(a+)(-1(1)等差數(shù)列求和公式:S=+d22=1(2)等比數(shù)列求和公式:S(1q)=,≠1.1-q1-2.一些常見數(shù)列的前項公n(+1(1)1+2+3+4+…+=;2(2)1+3+5+7+…+(2=n
;(3)2+4+6+8+…+2n=+.3.數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一個數(shù){的前中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的.(2)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的,那么這個數(shù)列的前n項和可用此法來求,如等比數(shù)列的前項就是用此法推導(dǎo)的.(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和.(4)分組轉(zhuǎn)化法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法,分別求和后再相加減.(5)并項求和法一個數(shù)列的前項,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如a=(-1)()類型,可采用兩項合并求解.判斷正誤(正確的打“√”,錯的打“×”)(1)當≥2時,
n
111=-.()利倒序相加可求得sin1°+sin2°+3°…+sin88°sin89°=
=-,1111=-,111144.5.()(3)若=a++n,當≠0且a時求的值可用錯位相減法求n得.()答案:(1)×(2)√(3)√數(shù)列{的前項為S,知S=1-2+3-4+…+(-1)nnA.9BC.17D.16
·,S=(解析:選=1+3-4+5-6++15-16+17=1+(-2+(-4+5)-6+…+(+15)+(-16+17)+…+1=9.12(教材習(xí)題改編數(shù)列},a=,若{a}的項為,則項數(shù)為(n+1)2018()A.2016C.2018
B017D019解析:選B.=
111n(+1n+1111111n2017S-+-+…-=1-==,所以n=2017.223+1n+1+12018已知數(shù)列:,2,,2482解析:設(shè)所求的前n項為S,則
,…,則其前n項和于n的表式為_______111S=(1+2+…+)+++…+=242n(+11答案:+1-22
n(+1)-.22已知數(shù)列{a}前項為S且a=·2則S=________.nn解析:=1×2+2×2+3×2+…×2,所以2=1×2+2×2+3×2++×2
,②2×(1-2)①-②得-=2+2+2…+2-n×2=-×2,1-2所以S=(-1)2+2.答案:n-1)2
+2分組轉(zhuǎn)化法求和
4×3a=327×6=2234×3a=327×6=2238(4-1)3[典例引領(lǐng)(2018·合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢)知等差數(shù){}的前n項為,滿足S=n24,=63.(1)求數(shù)列}的通項公式;(2)若=2+(·求數(shù)列}的前n項Tnn【解】(1)因為}為等差數(shù)列,+所以a=2+1.+d=63(2)因為b=2+(-1)·=2+(-1)·(2=2×4+(-1)·(2n+1),nn8(4-1)所以T=2×(4+4+…+4)+[-3+5+9…-1)·(2n+1)]=+.3n當=2(∈N)時,G=2×=,28(4-1)所以T=+;3當=2-1(∈N)時,n-1G=2×-(2+1)--228(4-1)所以T=--238(4-1)+(=2,∈N)所以T=.-(=2-1,∈N)分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若=b±,且,{}等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法{}的n和;nn數(shù)(2)通公式為a=可采用分組轉(zhuǎn)化法求和.
的數(shù)列,其中數(shù)列{}}是比數(shù)列或等差數(shù)列,n[通練習(xí)]1.已知數(shù)列{a}的通項公式為a-,前項為S,則S=________.nn解析:=2+2++2+2+…n
a2a22-2)(1+)n++4=-=2-12答案:
n++4-22.(2018·福建福州八中第六次)在等比數(shù)列},公比≠1,等差數(shù){滿足bn==3,b=,=a.(1)求數(shù)列}與的通項公式;(2)記=(+,數(shù){c}的前2n項S.n解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d.,則有解得或(舍去),q,所以a=3,=2+1.n(2)由1)知c=(-1)(2+3,則S+3+3+…+3)+{(-3)+(-7)++[-(4-1)]n+1)}n3-3)=+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4+1)]13=
-3+2.2錯位相減法求和[典例引領(lǐng)(2017·高考山東卷)已知{}是項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且aaa=a(1)求數(shù)列}的通項公式;(2){}為各項非零的等差數(shù)列其前n和為已=,求數(shù)n和nT【解】(1)設(shè){a}的公比為q,由題意知:(1+)=6,=.又a>0解得:=2,=2所以a=2.(2+1(b)(2)由題意知:S==(2+1),
又S=,≠0n所以b=2b令c,2+1則c,23572-12+1因此T=+…+=+++…++,2222213572-12+1又T=+++…++,222222兩式相減得1311T=++…+22222+5所以T=5-.2
2+1-,2錯位相減法求和策略(1)如果數(shù)列{a是等差數(shù)列,b}是比數(shù)列,求數(shù)列a·的前項時,可采用錯位nnn相減法,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)的公比,然后作差求解.(2)在寫“”與“qS的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出n“-的表達式.n(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不于1兩情況求解.[通練習(xí)]13571.數(shù)列,,,,,的前10項和為________.2481613519解析:=+++…,24821131719所以=++++.②24822①-②得112219S=++…+22822
92a=2292a=2211-1=+-2121-231193×2-23=--=,22223×2-233049所以S==.210243049答案:10242.(2018·福建漳州八校聯(lián))知遞增的等比數(shù){}滿足a++a=28,且a+2是a和的差中項.(1)求數(shù)列}的通項公式;(2)若=alog1,=++…,求使+·22q=28,解:(1)由題意,得(q+2),解得或1=,由于{是遞增數(shù)列,所以=2,=2,
>62成的正整數(shù)n的小值.所以數(shù)列a}的通項公式為a=2·2n
=2.(2)因為=1=2·log2=-·222所以S=+…+=-(1×2+2×2++),n則2=-(1×2+2×2+…+·2),②②-①,得=(2+2++2)·2=2-·2則S+·2=2-2,
,解2
-2>62,得n>5,所以n的最小值為6.裂項相消法求和(高頻考點)裂項相消法求和是每年高考的熱點,題型多為解答題第二問,難度適中.高考對裂項相消法的考查常有以下三個命題角度:
2+12+1(2+1(2-1)2-1+12+12+1(2+1(2-1)2-1+11(1)形如a=型n(+)(2)形如a=
1型;n++ka(3)形如a=(-1)a-1)
(>0,≠1).[典引領(lǐng)]1角度一形a=型n(+)(2017·高考全國卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{}足a+3a+…+(2-1).(1)求a}通項公式;(2)求數(shù)列n項和【解】(1)因a+3a+…-1)=2n故當n時,a+3a+…-3)=22(n.兩式減(2-1)a=2,所以a=≥2).2又由題設(shè)可得,2從而{的通項公式為a=.2-1(2)記
a}的前項為S.2+1a21由1)知==-.1111112則S-+-++-=.13352-12n+1+11角度二形a=型n++(2018·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)(x)=x
α
的圖象過點(4,2),令=1,∈N.數(shù)列}的前n項為S,S=()f(+1+()A.2017-1C.2019-11【解析】由(4)=2得=2,解得=2
B.2018-1D.2019+1
Saad2Saad21則()2.11所以a===n+1-nf(+1f()+1所以=+a+a+…+=(21)3-2)+(4-3)+…+(2018-2017)2019-2018)=019-1.【答案】Cka角度三形a=(-1(a-1)
(>0,≠1)型已知數(shù)列{a}遞增的等比數(shù)列,且a+,=8.(1)求數(shù)列}的通項公式;a(2)設(shè)為數(shù){的前n和,=,數(shù)列前項T.nSnn【解】(1)由題設(shè)知a·=·=8,又a+=9可解或(舍去.由a=公比=2,故=q=2.a(1q)(2)S==2-1.1-a-11又b==-,SSSSn11111所以T=+…+=--=1-.2-1n利用裂項相消法求和的注意事項(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項;或者前面剩幾項,后面也剩幾項;(2)將通項裂項后,有時需要調(diào)前面的系數(shù),使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相111111等.如:若}等差數(shù)列,則==-nnn[通練習(xí)]1.(2017·高考全國卷Ⅱ等差數(shù)列{}的項為a,,則n
1S
=
=2(1-+-++-)=.n+1a(+232435(-1)16(+1(+2)n=2(1-+-++-)=.n+1a(+232435(-1)16(+1(+2)n2(n+1)__________.,,解析:設(shè)等差數(shù){的項為a,差為d,題意解,,n(+1)得所S,此2
1111112S223n+1+12答案:2.(2018·銀川質(zhì))正項數(shù)列{a的前項S滿足S-(n+-1)-(+n)nn(1)求數(shù)列}的項公式a;n+15(2)令=,列}的前n項為T,證:對于任意的n,有T<(+2a64
.解:(1)由-(+-1)-(+)=0,n得-(+)](+1)=0.由于數(shù)列a}是正項數(shù)列,所以>0,=+.n于是a==2當≥2,a=S-=+-(-1)n
-(-1)=2.綜上可知,數(shù)列{a}的通項公式a=2.n(2)證明:由于=2,=n
+1(+2
,n+111則b=-4(+2)16
.1111111T+-+-++
-111111+--16
-1(+2
11162
5=.64幾類可以使用公式求和的數(shù)列(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構(gòu)成的數(shù)列,它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解.(2)奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的,可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時,分別使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式.
11(3)等差數(shù)列各項加上絕對值,等差數(shù)列(.用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律(1)裂項原則:一般是前邊裂幾項,后邊就裂幾項直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律:消項后前邊剩幾項,后邊就剩幾項,前邊剩第幾項,后邊就剩倒數(shù)第幾項.易錯防范(1)直接應(yīng)用公式求和時,要注意公式的應(yīng)用范圍,如當?shù)缺葦?shù)列公比為參(字母時,應(yīng)對其公比是否為1進討論.(2)在應(yīng)用錯位相減法時,要注意觀察未合并項的正負號.(3)在應(yīng)用裂項相消法時,要注意消項的規(guī)律具有對稱性,即前剩多少項則后剩多少項.1.已知數(shù)列{a}的通項公式是a-331A.380-5531C.420-45
n,則其前20項為)21B.400-541D.440-5解析:選C.令列{}的前項為,=++=2(1+2…+20)-n3
111++55
1120×(20+1)5531=2×-3×=420-21451-5
.2.數(shù)列}的通項公式是a=nAC.11
1,若前n項和為10,則項數(shù)n為)n+nB.99D.121解析:選=
1+1-==+1n所以a+n+n(n+1+n)(+1-n+…+23-2)…+(+1)=+1-1=10.即n,以+1=121,n=120.3.(2018·江西師大附中調(diào)研)定義
np++
為個正,p,,p的“均倒n1a111數(shù)”,若已知數(shù)列a}的前n項“均倒數(shù)”為,b=,++…+=5n5bbbb()
b2b2A.
817
B.
91910C.21
D.
1123解析:選C.由定義可知++…+=5n
,+a+…+=5(n+1),求得a=10+5,所以a=10-5,n又n
11111=-+++bb2n11111111=(-+--+-)=-bb2bbb2
10=.21nπ4.已知數(shù)列{a}的通項公式為a=(-1)(2n-1)·cos+1(∈N),其前項為S,2則S=()A.-30C.90
B.-60D.120解析:選D.由題意可得,當n-3(∈N)時=a=1當=4-2(∈N)時,n==6;當n=4-1()時a==1當=4(∈N時,=k所n以a+++=8所以S=8×15=120.k5.(2018·湖南湘潭模)已知T數(shù)m的最值為()A.1026C.1024
+1為數(shù)列n項和若>+1013恒立,則整B025D0232+1解析:選C.因=1+2
n,1所以T=n+1-,211所以T+1013-+1013024-,22又>013,所以整數(shù)m最小值為1024.故C.6.在等差數(shù)列a}中,a>0,·<0,若此數(shù)列的前10項S=36前18項S=12,數(shù){a|}的18項T的值是________解析:由a>0·可知d<0,>0,a,所以T=a+…---
=+log++lognnn=+log++lognnn3=-(S-S)=60.答案:17.設(shè)函數(shù)x)=+log,義=21-
,其中∈N
,且n,則S=________.解析:因為f(x)(1)1x11-x21-x=1+log1=1,所以2=
+=-1.n-1所以S=.2n-1答案:28.某企業(yè)在第1年購買一臺價值為120元的設(shè)備M,價值在使用過程中逐年減少,從第2年第6年每年初的值比上年初減少10萬元;從第7年始,每年初M的價值為上年初的75%,則第年M的價值a=________.解析:當n時,數(shù)列{}是首項為120,公差為10的差數(shù)列,所以=120-10(-1)=130-10(n且n*);3當≥7時,數(shù){是以a為項,為公比的比數(shù)列,43又因為a,以=70×
n(≥7∈N.n,≤6且∈N,答案:n-6,≥7n∈N
+9.已知數(shù)列{a}的前項S=,∈N2(1)求數(shù)列}的通項公式;(2)設(shè)=2a,求列b}的前2項.n
-,35-,352n+12+1017解:(1)當=1時,==1;n+(n-1)+-1當≥2時,a=-=-=.22a也足a=,故數(shù){}通項公式為a=.nn(2)由1)知a=,故b+(n.n記數(shù)列}的前2項為T,T=(2+2+…+(-1+2-+2.n記=2+2++2,=-1+2-3+4-…+2,2-2)則==2-21B=(-1+2)+(+…+[-(2-1)+2].故數(shù)列}的前2項=+=2n
+-2.10.(2018·長市統(tǒng)一模擬考)知數(shù){為等差數(shù)列,其中a+=8,=3a.(1)求數(shù)列}的通項公式;22016(2)記=,{}的n和為.求最小的正整數(shù),使得S>.aa017解:(1)設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d,依題意,+3d解得a=1,d=2,從而{的通項公式為a=2n-1,∈Nn211(2)因為b==2-12+1
.1111所以S=-,2+112016令1->,解得n>1008,故取=11.已知等差數(shù){的前n項為S,a=28,=310.函數(shù)fn)=(∈N),(,nnf()),n+1,(+1)),Cn+2,f(n+2))是數(shù)f(n上的點,eq\o\ac(△,則)eq\o\ac(△,)ABC的積為()A.1C.3解析:選C.因a=28,=310.
BD
=28所以10×9解a=4,d=6.10+d=310,2所以a=4+(-1)×6=6-2.n(-1所以S=4+×6=3+2所以,,C的標分別為(,3+),(+1+1)+(+1)),(n+2,3(+(n+2)).11所以△的積S=[(3n+)+3(+2)n+2)]×2-[(3+)+1)n+2211)]×1-[3(+1)+(+1)+3(+2)n+2)]×12=(6+14+14)-(3+4+2)-(3+10n+9)=3,即△ABC的積為3.2.(2017·高考全國卷Ⅰ)幾位學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,4,1,4,8,16,,其中第一項是,下的兩項是2,2,再接下來的三項是2,2,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:>100且數(shù)列的前N項為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼()AC
B.330D.110解析:選A.設(shè)第一項為第1組接下來的兩項為第組再接下來的三項為第3組依此類推,則第組的項數(shù)為n前組的項數(shù)和為
(n+1)2
.由意可知,>100,令n(+1>100,所以≥14,n,N出在第13組后.易得第n組所有項的和為21-22(1)=2-1,前n組所有項的和為-=2--2.滿足條件的N在第+1-21-21(k∈N,≥13)組,且第N項第+1的第t(t∈N)個數(shù),第+1組的項的2
-1應(yīng)-2-k為相反數(shù),即2-1=+2,所=+3所以t=log(,所以當13×(13+1)t=4,=13時,=+4=95<100,不滿足題意,當t=5,時N=2
nn21nn2129×+1)+5=440,當>5,N>440,選A.2113.知數(shù)列{a滿a=+a,=,則該數(shù)列的前2018項和等于22.11解析:因為=,a=+-,221所以a=1,從而a=,=12,=2-1()即得a==2(∈N),故數(shù)列的前2018項的和S=1009×
=
3027.23027答案:24.某人打算制定一個長期儲蓄劃,每年年初存款元,連續(xù)儲蓄12年由于資金原因,從第7年初開始,變更為年年初存款1萬.若存款利率為每年2%,且上一年年末的本息和共同作為下一年年初的本金,則第13年年時的本息和約________萬元結(jié)果精確到0.1).(參考數(shù)據(jù):1.02≈1.13,1.02≈1.27)解析:由題意可知,第1年年初入的2元,到第13年年時本息和為2×1.02,2年年初存入的2萬元到第13年初時本息和為2×1.02,,第6年初存入的2萬元,到第13年初時本息和為2×1.02,第7年初存入的萬元,到第1
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