20 投影與視圖(課程講義例題練習(xí))

投影與視圖知識(shí)講解【習(xí)標(biāo)1.在觀察、操作、想象等活動(dòng)中強(qiáng)對(duì)空間物體的把握和理解能力；2.通過(guò)實(shí)例了解中心投影與平行影；3.會(huì)畫(huà)直棱柱、圓柱、圓錐和球三種視圖；4.能根據(jù)三種視圖描述簡(jiǎn)單的幾.【點(diǎn)理要一投投現(xiàn)物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投現(xiàn).影所在的平面為投影.中投手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影稱為中心投影相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)如圖1所，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)源遠(yuǎn)的物體它的影子.(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還.在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位.要詮：光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩.平行投1.平行投影的定義太陽(yáng)光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱行影相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：①等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣.②等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng).

2.物高影長(zhǎng)的關(guān)系①在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).②在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比.即：.利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度.注：用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻影要詮：1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生.利平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說(shuō)明是平行光.、正影如圖所示，圖(中投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影圖2)中投線斜著射投影面(中投影線垂直照射投影(即投影線正對(duì)著投)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影.圖3)樣，當(dāng)平行光線與投影面垂直時(shí)，這種投影稱投.要詮：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投.要二中投與行影區(qū)與系區(qū)別：（1）太陽(yáng)光線是平行的，故太光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例（2）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下影子方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是究物體投影的一種，只不過(guò)平行投影是在平行光線下所形成的投影通的平行光線有太陽(yáng)光線光等而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影通常狀下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的光.（2）在平行投影中，同一時(shí)刻變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變.在心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變.要詮：在解決有關(guān)投影的問(wèn)題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特進(jìn)一步解決問(wèn)題.

要三視三視圖（1）視圖用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體視圖（2）三視圖在實(shí)際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個(gè)不同方向觀察一個(gè)物體，分別得到這物體的三個(gè)視圖通常們把從正面得到的視圖叫做主視，從面得到的視圖叫做左視，從面得到的視圖叫做俯圖主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視三視圖間關(guān)（1）位置關(guān)系一般地，把俯視圖畫(huà)在主視圖下面，把左視圖畫(huà)在主視圖右面，如(1)所.（2）大小關(guān)系三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，視圖與俯視圖的寬相等的原.如(2)示要詮：三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上，具體地說(shuō)，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬視反映物體的高和寬住些特征能為畫(huà)物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的.畫(huà)幾何的視畫(huà)一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫(huà)法如下：(1)確定主視圖的位置，畫(huà)出主視圖；(2)在主視圖的正下方畫(huà)出俯視圖，注意與主視圖長(zhǎng)對(duì)(3)在主視圖的正右方畫(huà)出左視圖，注意與主視圖高平俯視圖寬相”幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線要畫(huà)成虛.要詮：畫(huà)一個(gè)幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫(huà)出來(lái)，所，首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實(shí)踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，三視圖的位置和大小要求從整體上畫(huà)出幾何體的三視.由三視想幾體形由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上和左側(cè)面，然后綜合起來(lái)考慮整體圖.要詮：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；根實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)和看不見(jiàn)的輪廓線；(3)記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象幫

助；利由三視圖畫(huà)幾何體與由幾何體畫(huà)三視圖為互逆過(guò)程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方.【型題類(lèi)一投的圖計(jì)1．如何才能使如圖所示的兩棵在同一時(shí)刻的影長(zhǎng)分別與它們的原長(zhǎng)相等，試畫(huà)圖說(shuō)明．【答案與解析】(1)如圖所示．可在同一方向上出與原長(zhǎng)相等的影長(zhǎng)，此時(shí)為平行投影．(2)如所示，可在兩樹(shù)外側(cè)不同方向上畫(huà)出與原長(zhǎng)相等的影子，連結(jié)影子的頂點(diǎn)與樹(shù)的頂點(diǎn)．交于點(diǎn)．此時(shí)為中心投影，點(diǎn)即光源位置．【總結(jié)升華連結(jié)物體頂點(diǎn)與其影長(zhǎng)的頂點(diǎn)如果得到的是平行線即平行投影如得到相交直線，則為中心投影，這是判斷平行投影與中心投影的方法，也是確定中心投影光源位置的基本做法但若中心投影光源在兩樹(shù)同側(cè)時(shí)，圖中的兩棵樹(shù)的影長(zhǎng)不可能同時(shí)與原長(zhǎng)相等，所以點(diǎn)光源可以選在樹(shù)之間．特別提醒：易錯(cuò)認(rèn)為只有平行投影才能使兩棵樹(shù)在同一時(shí)刻的影長(zhǎng)分別與它們的原長(zhǎng)相等從而漏掉上圖這一情形．舉反：【變】一盞路燈相對(duì)，有一玻璃幕墻，幕墻前面的地面上有一盆花一棵樹(shù)AB．晚上，幕墻反射路燈，燈光形成那盆花的影子DF樹(shù)影BE是路燈燈光直接形成的，如圖所示，你能確定此時(shí)燈光源的位置嗎【答案作法如下：①連結(jié)FC并延長(zhǎng)交玻璃幕墻于點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)作線OG垂直玻璃幕墻面；

③在另一作POG＝∠FOG交EA延長(zhǎng)于點(diǎn)．P點(diǎn)即此時(shí)路燈光源位置，如圖示．2.（·鹽城校級(jí)模擬）如圖，小與同學(xué)合作利用太陽(yáng)光線測(cè)量旗桿的高度，身高的小明落在地面上的影長(zhǎng)為BC=2.4m（1）請(qǐng)你在圖中畫(huà)出旗桿在同一時(shí)刻光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明測(cè)得此刻旗桿落在地面的長(zhǎng)EG=16m，請(qǐng)求出旗桿DE的度．【思路點(diǎn)撥】（1）連結(jié)AC過(guò)D點(diǎn)作DGAC交于G點(diǎn)則GE為求；（2）先證明eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABC△，后利用相似比計(jì)算DE的長(zhǎng)．【答案與解析】解）子EG如所示；（2DGAC，G=，eq\o\ac(△,)ABC△RtDGE，

=

，即

=

，解得

，旗的高度為

．【總結(jié)升華】本題考查了平行投，也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．舉反：

【變】圖，小亮利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量某旗桿AB的高．（1請(qǐng)你根據(jù)小亮在陽(yáng)光下的影，畫(huà)出旗桿AB在光下的投影．（2已知小亮的身高為1.72m在同一時(shí)刻測(cè)得小亮和旗桿AB的影長(zhǎng)分別為0.86m和6m，求桿AB的高．【答案解）如圖所示：（2如圖，因?yàn)?，AB都直地面，且光線DF∥AC，所以eq\o\ac(△,Rt)DEF∽R(shí)teq\o\ac(△,，)ABC所以

DE

，即

1.720.866

，所以AB=12（m答：旗桿AB的高12m．類(lèi)二三圖3．如圖，分別從正面、左面、面觀察該立體圖形，能得到什么平面圖形．【答案與解析】從正面看該幾何是三角形，從左面看該幾何體是長(zhǎng)方形，從上面看該幾何體是一長(zhǎng)方形中帶一條豎線．如圖：

【總結(jié)升華】本題考查了幾何體三視圖的判斷．舉反：【變】圖，畫(huà)出這些立體圖形的三視圖．【答案）如圖：（2）如圖：（3）如圖：

（4）如圖：4州校級(jí)月考圖是由個(gè)小立方體所搭幾何體的俯視圖小正方形中的數(shù)字表示該位小立方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)幾何體的主視圖和左視圖．【思路點(diǎn)撥】由已知條件可知，視圖有，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為，2，左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為，3．據(jù)此可畫(huà)出圖形．【答案與解析】解：如圖所示：【總結(jié)升華本考查幾何體的三視圖畫(huà)法．由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視的列數(shù)與俯視圖的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．左圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．類(lèi)三三圖有計(jì)5．某工廠要對(duì)一機(jī)器零件表面行噴漆，設(shè)計(jì)者給出了該零件的三視(如圖所示，你根據(jù)視圖確定其噴漆的面積．

【思路點(diǎn)撥】首先要根據(jù)立體圖的三視圖，想象出物體的實(shí)際形狀，然后再計(jì)算表面.【答案與解析】解：長(zhǎng)方體的表面積(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm，圓柱體的側(cè)面積為3.14×20×32＝2010(cm)其噴漆的面積為5900+2010＝7910(cm)．【總結(jié)升華由機(jī)械零件的三視圖，可想象它是一個(gè)組合體，是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱體組．其表面積是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面與圓柱體的側(cè)面構(gòu)成．圓柱的上表面補(bǔ)在長(zhǎng)方體的上表面被圓柱體遮擋的部)該組合體是由一長(zhǎng)方與一圓柱體組合而成，但不能認(rèn)為組合體的表面積就是兩幾何體的表面積之和．舉反：【變】某體的三視圖如圖：（1）此物體是什么體；（2）求此物體的全面積．【答案】解）根據(jù)三視圖的知識(shí)，主圖以及左視圖都為矩形，俯視圖是一個(gè)圓，故可判斷出該幾何體為圓柱．（2根據(jù)圓柱的全面積公式可20π×40+2×π×10=1000．

投影與視—鞏固練習(xí)【固習(xí)一選題1.如所示，身高為1.6米某學(xué)生想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)他站在C處時(shí)他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，并測(cè)得AC＝2.0米BC＝8.0米，則旗桿的高度是)A．6.4米B米C．8.0米．9.02淄模擬）下列圖形中，示兩棵小樹(shù)在同一時(shí)刻陽(yáng)光下的影子的圖形可能是（）A

B

C．

D．3．有一正方體，六個(gè)面上分別有數(shù)字、2、4、5、6有三個(gè)人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示．如果記6的面的數(shù)字為a，2對(duì)面的數(shù)字為，那么a+b的值為)ABC4．如圖所示是一個(gè)幾何體的實(shí)圖，則其主視圖是(5．如圖所示，王華晚上由路燈A下的B處走到C時(shí)，測(cè)得影子CD的為米，續(xù)往前走3米達(dá)E處，測(cè)得影子EF的為2米已知王華的身高是1.5，那么路燈A的度AB等于)A．4.5米B．6米C．7.2米．8第5題

第6題6．由n個(gè)同小正方體堆成的幾何體，其視圖如圖所示，則n的大值是)A．1813C．21

二、填空題7．如圖所示上體育課，甲、乙名同學(xué)分別站在C、D位置時(shí)，乙的影子恰好在甲的影子里邊，已知甲、乙同學(xué)相距1米甲身高1.8，乙身高米，則甲的影長(zhǎng)是________米第7題

第8題8．如圖所示，小明在時(shí)得樹(shù)的影長(zhǎng)為2m，B又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為8m，若兩次日照的光互相垂直，則樹(shù)的高度為_(kāi)_______m9．圖，四個(gè)幾何體中，它們自的三個(gè)視圖（主視圖、左視圖和俯視圖）有兩個(gè)相同，而另外一個(gè)不同的幾何體是_____________寫(xiě)序號(hào)）10牡江）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，如圖所示，則搭該幾何體的小正方體最多是個(gè)11.下是由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的一個(gè)立體圖形的三視圖，根據(jù)圖中所標(biāo)尺寸(位：mm)，算出這個(gè)立體圖形的表面積________mm12．如圖是一個(gè)由若干個(gè)正方體建而成的幾何體的主視圖與左視圖，那么下列圖形中可以作為該幾何體的俯視圖的序號(hào)是____________多填或錯(cuò)填得分少填酌情給分

三解題13.明小麗在操場(chǎng)上玩耍，小麗突然高興地對(duì)小明說(shuō)到的‘腦袋’了圖表示此時(shí)小明和小麗的位置．（1請(qǐng)畫(huà)出此時(shí)小麗在陽(yáng)光下影子；（2已小明身高為1.60m小明和小麗之間的距離為而小麗的影子長(zhǎng)為1.75m求小麗的高．14石子校級(jí)月考畫(huà)出圖中的塊立方塊搭成幾何體的視圖、左視圖和俯視圖．（2）一個(gè)由幾個(gè)相同的小立方體搭成幾何體的俯視圖如右圖所示，方格里的數(shù)字表示該位置的小立方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)你畫(huà)出這個(gè)幾何體的主視圖和左視圖．15．學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利燈光下自己的影子長(zhǎng)度來(lái)測(cè)量一路燈的高度，并探究影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律．如圖所示，在同一時(shí)間，身高為1.6m的小(AB)影子BC長(zhǎng)3m，而小穎EH)剛好在燈燈泡的正下方H點(diǎn)并測(cè)得HB＝6m(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出形成影子的光，并確定路燈燈泡所在的位置G；求燈燈泡的垂直高度GH；如小明沿線段BH向穎點(diǎn)H)去，當(dāng)小明走到中點(diǎn)B處，求其影子BC的；當(dāng)小1繼續(xù)走剩下的路程的到B處影子的長(zhǎng)明續(xù)走剩下路程的到B處3

按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走剩下路程的

1n

到處，其影子n

nn

的長(zhǎng)為_(kāi)______m(直接用含的數(shù)式表)．【案解】一選題1.【答案】C；【解析】由題意得，

該學(xué)生的身高AC1.6，即旗桿的高度旗桿高8.0

，∴旗的高度為8.0米．2.【答案】A；【解析A影子平行，且較高的樹(shù)的影子長(zhǎng)度大于較低的樹(shù)的影子故本選項(xiàng)正確；B影子的方向不相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、子的方向不相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、同高與影子是成正比的，較高的樹(shù)的影子長(zhǎng)度小于較低的樹(shù)的影子，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A3.【答案】B；【解析】可在一小正方體各個(gè)面上按圖示要求標(biāo)上數(shù)字，也可發(fā)揮空間分析與想象力作出判斷a，b，．4.【答案】C；【解析】觀察一個(gè)物體，主視圖是從正面看到的圖形，本題中物體由上下兩個(gè)部分組成，上面物體從正面看到的是一個(gè)等腰梯形，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，從正面看到的是一個(gè)長(zhǎng)方形，再由上面的物體放置的位置特征可知選C5.【答案】B；【解析】如圖所示，⊥BC，AB，∴GC∥AB．∴eq\o\ac(△,∽)eq\o\ac(△,，)ABD∴

DBAB

．設(shè)BC＝x，

1．同理，得xx

．∴x．∴∴AB＝6．6.【答案】A；

11.53

．【解析】這道題在俯視圖上操作，參照主視圖從左到右，最左邊一列3層，每個(gè)方格上最大標(biāo)3，中間一列有2層每個(gè)方格上最大標(biāo)上2最右邊一列有3，每個(gè)方格上最大標(biāo)上3，共計(jì)18，即n的大值是18(如圖．

二填題7案6；【解析】eq\o\ac(△,∽)AEDeq\o\ac(△,，)∴8案4；

BC，即．∴AD＝5．∴＝CD+AD＝6.ACADAD【解析】首先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何模型，如圖所示，已知EDF＝90°⊥EF于G，EG＝2，GF＝8，求DG．證△DEG∽eq\o\ac(△,，)∴

DGEGDG

．即DG＝2×8＝16∴DG＝4(m)．9案③④【解析】正方體的主視圖、