山東省青島市第十一中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

山東省青島市第十一中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，“”是“函數(shù)在區(qū)間[a,b]上恰有一個零點”的________條件A.充分不必要

B.必要不充分

C.充分必要

D.非充分非必要參考答案：D2.已知集合，集合，若，則的值是（

）

參考答案：D3.設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為,且,則(

)A.0

B.2

C.－4

D.－2參考答案：C因為，所以f′(x)=2x+2f′(1)，所以f′(1)=2+2f′(1)，所以f′(1)=－2，所以f′(x)=2x－4，所以f′(0)=－4，故選C.

4.設(shè)a＞0，b＞0．若是3a與3b的等比中項，則的最小值為(

)A．8 B．4 C．1 D．參考答案：B考點：基本不等式；等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題設(shè)條件中的等比關(guān)系得出a+b=1，代入中，將其變?yōu)?+，利用基本不等式就可得出其最小值解答：解：因為3a?3b=3，所以a+b=1，，當且僅當即時“=”成立，故選擇B．點評：本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力．5.命題“”的否定是()A． B．C． D．參考答案：C6.設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項和為，則（

）A.2

B.4

C.

D.參考答案：C7.已知定義在R上的連續(xù)可導函數(shù)f(x)無極值，且，若在上與函數(shù)f(x)的單調(diào)性相同，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(－∞,－2] B.[－2,+∞)C.(－∞,2] D.[－2,－1]參考答案：A【分析】根據(jù)連續(xù)可導且無極值，結(jié)合，判斷出為單調(diào)遞減函數(shù).對求導后分離常數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求得的取值范圍.【詳解】由于連續(xù)可導且無極值，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù).故可令，使成立，故，故為上的減函數(shù).故在上為減函數(shù).即在上恒成立，即，由于，故，，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查利用導數(shù)求解不等式恒成立問題，屬于中檔題.8.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為前n項和，公差為d，若﹣=100，則d的值為（）A． B． C．10 D．20參考答案：B【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】由等差數(shù)列{an}可得：=d=n+為等差數(shù)列，即可得出．【解答】解：由等差數(shù)列{an}可得：=d=n+為等差數(shù)列，∵﹣=100，∴+﹣=100，∴10d=1，解得d=．故選：B．9.已知為拋物線上不同兩點，且直線傾斜角為銳角，為拋物線焦點，若

則直線傾斜角為

A．

B.

C.

D.

參考答案：D10.已知的展開式中的系數(shù)為，則的值等于（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則

.參考答案：【答案解析】解析：因為，得，所以.【思路點撥】可對已知條件展開整理，并注意所求式子與已知條件整理后的式子之間的整體關(guān)系，即可解答.12.某天，小趙、小張、小李、小劉四人一起到電影院看電影，他們到達電影院之后發(fā)現(xiàn)，當天正在放映A，B，C，D，E五部影片，于是他們商量一起看其中的一部影片：小趙說：只要不是B就行;小張說：B，C，D，E都行;小李說：我喜歡D，但是只要不是C就行;小劉說：除了E之外，其他的都可以．據(jù)此判斷，他們四人可以共同看的影片為______________．參考答案：D小趙可以看的電影的集合為，小張可以看的電影的集合為，小李可以看的電影的集合為小劉可以看的電影的集合為，這四個集合的交集中只有元素D，故填D．13.已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AS=AB=1，，則球O的表面積為

．參考答案：5π．【考點】球的體積和表面積．【分析】四面體S﹣ABC的外接球半徑等于以長寬高分別SA，AB，BC三邊長的長方體的外接球的半徑，由此有求出球O的表面積．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面體S﹣ABC的外接球半徑等于以長寬高分別SA，AB，BC三邊長的長方體的外接球的半徑，∵SA=AB=1，BC=，∴2R==，即R=，∴球O的表面積S=4πR2=5π．故答案為：5π．14.（不等式選做題）如果關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍是

。參考答案：略15.

。參考答案：16.設(shè)公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a1a2a3=﹣，且a2，a4，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的前4項和為．參考答案：

【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)a2，a4，a3成等差數(shù)列，可得=a2+a2q，q≠1，解得q．再利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a2，a4，a3成等差數(shù)列，∴2a4=a2+a3，∴=a2+a2q，化為：2q2﹣q﹣1=0，q≠1，解得q=﹣．∵，∴=﹣，解得a1=1．則數(shù)列{an}的前4項和==．故答案為：．【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則點的坐標為________________；

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列中，，當時，.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)設(shè),數(shù)列前項的和為,求證:.參考答案：數(shù)列19.（本題共13分）已知曲線，是曲線C上的點，且滿足，一列點在x軸上，且是坐標原點）是以為直角頂點的等腰直角三角形．（Ⅰ）求、的坐標；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）令，是否存在正整數(shù)N，當n≥N時，都有，若存在，求出N的最小值并證明；若不存在，說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）?B0A1B1是以A1為直角頂點的等腰直角三角形，

直線B0A1的方程為y=x．

由

得，即點A1的坐標為（2，2），進而得．…..3分（Ⅱ）根據(jù)和分別是以和為直角頂點的等腰直角三角形可

得

，即

．（*）…………..5分

和均在曲線上，，

，代入（*）式得，

，

………..7分

數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，

其通項公式為()．……………....8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，

，

……………………9分

，．

=

=．….……………..…………10分．……….11分（方法一）-=．當n=1時不符合題意，

當n=2時，符合題意，

猜想對于一切大于或等于2的自然數(shù)，都有．（）

觀察知，欲證（）式，只需證明當n≥2時，n+1<2n

以下用數(shù)學歸納法證明如下：(1)當n=2時，左邊=3，右邊=4，左邊<右邊；(2)假設(shè)n=k（k≥2）時，(k+1)<2k,當n=k+1時，左邊=（k+1）+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右邊,對于一切大于或等于2的正整數(shù)，都有n+1<2n，即<成立．

綜上，滿足題意的n的最小值為2.

……………..13分

（方法二）欲證成立，只需證明當n≥2時，n+1<2n．

，

并且，

當時，.20.（本題14分，第(1)小題6分，第(2)小題8分）

已知數(shù)列，記,,,，并且對于任意，恒有成立．（1）若，且對任意，三個數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列．參考答案：解：（1），所以為等差數(shù)列。

（2）（必要性）若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，則，，所以A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。（充分性）：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則，于是得即

由有即，從而.因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。

綜上，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列的充要條件是對任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。略21.等邊三角形ABC的邊長為3，點D、E分別是邊AB、AC上的點，且滿足（如圖1）．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，連結(jié)A1B、A1C（如圖2）．（Ⅰ）求證：A1D⊥平面BCED；（Ⅱ）在線段BC上是否存在點P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°?若存在，求出PB的長，若不存在，請說明理由．參考答案：證明：（1）因為等邊△的邊長為3，且，所以，．在△中，，由余弦定理得．因為，所以．折疊后有．因為二面角是直二面角，所以平面平面．又平面平面，平面，，所以平面．（2）解法1：假設(shè)在線段上存在點，使直線與平面所成的角為．如圖，作于點，連結(jié)、．由（1）有平面，而平面，所以．又，所以平面．所以是直線與平面所成的角．設(shè)，則，．在△中，，所以．在△中，，．由，得．解得，滿足，符合題意．所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時．解法2：由（1）的證明，可知，平面．以為坐標原點，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系如圖．設(shè)，則，，．所以，，．所以．因為平面，所以平面的一個法向量為．因為直線與平面所成的角為，所以，解得．即，滿足，符合題意．所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時．22.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，點D在線段BB1上，且BD=，A1C∩AC1=E．（Ⅰ）求證：直線DE與平面ABC不平行；（Ⅱ）設(shè)平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角為θ，若cosθ=，求AA1的長；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)平面ADC1∩平面ABC=l，求直線l與DE所成的角的余弦值．參考答案：【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（Ⅰ）建立坐標系，求出=（﹣2，3，），平面ABC的法向量為，可得，即可證明直線DE與平面ABC不平行；（Ⅱ）求出平面ADC1的法向量，利用平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角為θ，cosθ=，建立方程，即可求得結(jié)論．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求出直線l與DE的方向向量，代入向量夾角公式，可得