山東省青島市萊西第一中學(xué)北校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

山東省青島市萊西第一中學(xué)北校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，若方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.已知橢圓的左頂點和上頂點分別為，左、右焦點分別是，在線段上有且只有一個點滿足，則橢圓的離心率的平方為（

）A. B. C. D.參考答案：B3.已知正項等比數(shù)列滿足，若存在兩項使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．2參考答案：C略4.如圖，已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=4，P是雙曲線右支上的一點，F(xiàn)2P與y軸交于點A，△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，若|PQ|=1，則雙曲線的離心率是（）A．3 B．2 C． D．參考答案：B考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由|PQ|=1，△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，根據(jù)切線長定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，結(jié)合|F1F2|=4，即可得出結(jié)論．解答：解：由題意，∵|PQ|=1，△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，∴根據(jù)切線長定理可得AM=AN，F(xiàn)1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+NF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+NF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴雙曲線的離心率是e==2．故選：B．點評：本題考查雙曲線的離心率，考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查切線長定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)x∈R，則“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的

（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略6.已知平面向量，的夾角為，且，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．1參考答案：A略7.函數(shù)的圖像恒過定點A，若點A在直線且m,n>0則3m+n的最小值為（

）

A．13

B．16

C．11+

D．28參考答案：8.已知是函數(shù)圖象上的任意一點，該圖象的兩個端點，點滿足，（其中，為軸上的單位向量），若(為常數(shù))在區(qū)間上恒成立，則稱在區(qū)間上具有“級線性逼近”.現(xiàn)有函數(shù)：①;②；③.則在區(qū)間上具有“級線性逼近”的函數(shù)的個數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：D9.（5分）（2015?萬州區(qū)模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z=（a∈R，i為虛數(shù)單位），若z為純虛數(shù)，則a=（）A．﹣1B．0C．1D．2參考答案：【考點】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】：根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算，即可得到結(jié)論．【解答】：z===，若z為純虛數(shù)，則且，解a=1，故選：C【點評】：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，利用復(fù)數(shù)的基本運算先化簡是解決本題的關(guān)鍵．10.若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知中，弦,為直徑.

過點作的切線，交的延長線于點，.則____.參考答案：略12.已知函數(shù)(為常數(shù),)，且是方程的解．當(dāng)時，函數(shù)值域為

．參考答案：略13.不等式組的解集為

▲

參考答案：14.（原創(chuàng)）小鐘和小薛相約周末去爬尖刀山，他們約定周日早上8點至9點之間（假定他們在這一時間段內(nèi)任一時刻等可能的到達）在華巖寺正大門前集中前往，則他們中先到者等待的時間不超過15分鐘的概率是

（用數(shù)字作答）。特別提醒：（14）、（15）、（16）三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分。參考答案：；15.已知，是非零向量，若，，則與的夾角是_______。參考答案：16.若則＝________________.參考答案：17.設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an=e2an+1（n∈N*），﹣=n，其中符號Π表示連乘，如i=1×2×3×4×5，則f（n）的最小值為．參考答案：﹣【考點】數(shù)列遞推式．【分析】a1=1，an=e2an+1（n∈N*），可得an=e﹣2（n﹣1）.﹣=n，化為：f（n）==．考查函數(shù)f（x）=的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵a1=1，an=e2an+1（n∈N*），∴an=e﹣2（n﹣1）．﹣=n，化為：f（n）==．考查函數(shù)f（x）=，f′（x）=（4x2﹣12x+3）?，令f′（x）=0，解得x1=，x2=，∴0＜x1＜1，2＜x1＜3．當(dāng)x＜x1時，f′（x）＞0；當(dāng)x1＜x＜x2時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞x2時，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，∴h（x）min=h（x2），即f（n）min=min{f（2），f（3）}，f（2）=＞f（3）=﹣．∴f（n）min=f（3）=﹣．故答案為：﹣．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點：絕對值不等式的解法；函數(shù)恒成立問題．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）當(dāng)a=1時，不等式等價于3個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（2）由題意可得，|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2，化簡它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范圍．解答：解：（1）當(dāng)a=1時，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，等價于①，或②，或③．解①求得x無解，解②求得0≤x＜，解③求得≤x≤，綜上，不等式的解集為{x|0≤x≤}．（2）由題意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，轉(zhuǎn)化為|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2=（a＞0），易得h（x）的最小值為﹣1，令﹣1≥0，求得a≥2．點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.如圖，PD⊥平面，，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點.（Ⅰ）求證：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面PMQ所成的角為，求線段QN的長.參考答案：（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）連接，證得，利用用線面判定定理，即可得到；（Ⅱ）以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．（Ⅲ）設(shè)，則，從而，由（Ⅱ）知平面的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，即可求解．【詳解】（Ⅰ）連接，因為，所以，又因為，所以為平行四邊形.由點和分別為和的中點，可得且，因為為的中點，所以且，可得且，即四邊形為平行四邊形，所以，又，，所以.（Ⅱ）因為，，可以建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.依題意可得，.設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得.，于是.所以，二面角的正弦值為.（Ⅲ）設(shè)，即，則.從而.由（Ⅱ）知平面的法向量為，由題意，，即，整理得，解得或，因為所以，所以.【點睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

20.某網(wǎng)站針對2014年中國好聲音歌手A，B，C三人進行網(wǎng)上投票，結(jié)果如下：觀眾年齡支持A支持B支持C20歲以下20040080020歲以上（含20歲）100100400（1）在所有參與該活動的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分層抽樣的方法抽取6人作為一個總體，從這6人中任意選取2人，求恰有1人在20歲以下的概率．參考答案：【考點】分層抽樣方法；古典概型及其概率計算公式．【分析】（1）根據(jù)分層抽樣時，各層的抽樣比相等，結(jié)合已知構(gòu)造關(guān)于n的方程，解方程可得n值．（2）計算出這6人中任意選取2人的情況總數(shù)，及滿足恰有1人在20歲以下的情況數(shù)，代入古典概率概率計算公式，可得答案．【解答】解：（1）∵利用層抽樣的方法抽取n個人時，從“支持A方案”的人中抽取了6人，∴=，解得n=40；（2）從“支持C方案”的人中，用分層抽樣的方法抽取的6人中，年齡在20歲以下的有4人，分別記為1，2，3，4，年齡在20歲以上（含20歲）的有2人，記為a，b，則這6人中任意選取2人，共有=15種不同情況，分別為：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20歲以下的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8種．故恰有1人在20歲以下的概率P=．21.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)時，若方程在上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；

(Ⅲ)證明：當(dāng)m>n>0時，.

參考答案：解析：（Ⅰ）①時，

∴在（—1，+）上是增函數(shù)

……………1分②當(dāng)時，在上遞增，在單調(diào)遞減.…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又

∴∴當(dāng)時，方程有兩解

………………8分（Ⅲ）要證：只需證只需證：設(shè)，

則

………………10分由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減