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山西省臨汾市華星中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有是一個符合題目要求的1.設(shè)⊿ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=4,b=4,A=30°,則C等于()A.90°B.90°或150°C.90°或30°D.60°或120°參考答案:C2.如圖,正方體AC1中,,點(diǎn)P為平面EFGH內(nèi)的一動點(diǎn),且滿足,則點(diǎn)P的軌跡是A、拋物線B、圓C、橢圓D、雙曲線參考答案:C3.若對任意的實(shí)數(shù)t,函數(shù)在R上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
)A. B. C. D.參考答案:C4.函數(shù)f(x)=的圖象大致為()A. B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象.【分析】分析四個圖象的不同,從而判斷函數(shù)的性質(zhì),利用排除法求解.【解答】解:∵f(﹣x)==﹣f(x),∴f(x)是奇函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故排除D;易知f()>0,故排除B;f(π)=0,故排除C;故選A.5.設(shè)集合,,則(A);(B);
(C);(D)或.
參考答案:C略6.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)(A在第一象限),過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線,垂足為E,若∠AFE=60°,則△AFE的面積為()A. B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì),利用夾角公式,求出A的坐標(biāo),即可計(jì)算三角形的面積.【解答】解:拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=﹣1.設(shè)E(﹣1,2a),則A(a2,2a),∴kAF=,kEF=﹣a,∴tan60°=,∴a=,∴A(3,2),∴△AFE的面積為=4故選:A.7.已知四棱錐的三視圖如圖1所示,則四棱錐的四個側(cè)面中面積最大的是(
)
A.3
B.
C.
D.參考答案:C略8.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點(diǎn)x1,x2,若f(x1)=x1<x2,則關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個數(shù)為()A.3 B.4
C.5 D.6參考答案:A略9.已知集合A={x|0<x<2},B={x|x﹣1>0},則A∩B=(
) A.(1,2) B.(0,1) C.(0,+∞) D.?參考答案:A考點(diǎn):交集及其運(yùn)算.專題:集合.分析:求出B中不等式的解集確定出B,找出A與B的交集即可.解答: 解:由B中不等式解得:x>1,即B=(1,+∞),∵A=(0,2),∴A∩B=(1,2),故選:A.點(diǎn)評:此題考查了交集及其運(yùn)算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的值為A.2
B.3
C.4
D.5參考答案:【知識點(diǎn)】程序框圖.L1【答案解析】C
解析:k=0時,;k=1時,;k=2時,;k=3時,;k=4時,;故選C.【思路點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖中的當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)是先判斷再執(zhí)行,滿足條件進(jìn)入循環(huán)體,不滿足條件算法結(jié)束.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如右上圖,如果執(zhí)行它的程序框圖,輸入正整數(shù),那么輸出的等于
.參考答案:168012.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,若,則等于
.參考答案:略13.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且滿足.當(dāng)時,.若在區(qū)間上方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
.參考答案:14.對于函數(shù),“是奇函數(shù)”是“的圖象關(guān)于軸對稱”的__________條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)參考答案:【知識點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷A2【答案解析】充分不必要解析:解:若y=f(x)是奇函數(shù),則設(shè)g(x)=|f(x)|,則g(﹣x)=|f(﹣x)|=|﹣f(x)|=|f(x)|=g(x),則g(x)是偶函數(shù),則y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱,即充分性成立,若f(x)=x2,滿足y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱,但f(x)不是奇函數(shù),即必要性不成立,故“y=f(x)是奇函數(shù)”是“y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”的充分不必要條件,故答案為:充分不必要【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)奇偶性的圖象特點(diǎn)以及充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論15.已知數(shù)列中,,則數(shù)列的前2018項(xiàng)的和為
.參考答案:16.已知函數(shù),為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則的值等于______.參考答案:1【分析】根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式計(jì)算可得f′(x),將x=1代入可得f′(1)的值,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=,則f′(x)==,則f′(1)==1;故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,關(guān)鍵是正確計(jì)算函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù).17.有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題:p1:?x∈R,;p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny;p3:?x∈[0,π],=sinx;p4:sinx=cosy?x+y=.其中假命題的是________.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(20分)如圖,在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂場,游樂場的前一部分邊界為曲線段FGBC,該曲線段是函數(shù)y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,?∈(0,π)),x∈[﹣4,0]的圖象,圖象的最高點(diǎn)為B(﹣1,2).邊界的中間部分為長1千米的直線段CD,且CD∥EF.游樂場的后一部分邊界是以O(shè)為圓心的一段圓弧.(1)求曲線段FGBC的函數(shù)表達(dá)式;(2)曲線段FGBC上的入口G距海岸線EF最近距離為1千米,現(xiàn)準(zhǔn)備從入口G修一條筆直的景觀路到O,求景觀路GO長;(3)如圖,在扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)OMPQ,平行四邊形的一邊在海岸線EF上,一邊在半徑OD上,另外一個頂點(diǎn)P在圓弧上,且∠POE=θ,求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時θ的值.參考答案:考點(diǎn): 在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型.專題: 計(jì)算題;應(yīng)用題;作圖題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: (1)由題意可得A=2,T=12,代入點(diǎn)求?,從而求解析式;(2)令求解x,從而求景觀路GO的長;(3)作圖求平行四邊形的面積SOMPQ=OM?PP1=(2cosθ﹣sinθ)2sinθ=sin(2θ+)﹣,θ∈(0,);從而求最值.解答: 解:(1)由已知條件,得A=2,又∵,又∵當(dāng)x=﹣1時,有,∴曲線段FBC的解析式為.(2)由得,x=6k+(﹣1)k﹣4(k∈Z),又∵x∈[﹣4,0],∴k=0,x=﹣3,∴G(﹣3,1),;∴景觀路GO長為千米.(3)如圖,,作PP1⊥x軸于P1點(diǎn),在Rt△OPP1中,PP1=OPsinθ=2sinθ,在△OMP中,=,∴OM==2cosθ﹣sinθ,SOMPQ=OM?PP1=(2cosθ﹣sinθ)2sinθ=sin(2θ+)﹣,θ∈(0,);當(dāng)2θ+=時,即θ=時,平行四邊形面積有最大值為(平方千米).點(diǎn)評: 本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,同時考查了學(xué)生的作圖能力,屬于中檔題.19.如圖1-5,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F(xiàn)分別是A1C1,BC的中點(diǎn).(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求證:C1F∥平面ABE;(3)求三棱錐E-ABC的體積.
參考答案:【知識點(diǎn)】平面與平面垂直的判定;棱柱、棱錐、棱臺的體積;直線與平面平行的判定.
G4
G5
G1【答案解析】(1)證明:略;(2)證明:略;(3).解析:(1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又因?yàn)锳B⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)證明:取AB的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G.因?yàn)镋,F(xiàn),G分別是A1C1,BC,AB的中點(diǎn),所以FG∥AC,且FG=AC,EC1=A1C1.因?yàn)锳C∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四邊形FGEC1為平行四邊形,所以C1F∥EG.又因?yàn)镋G?平面ABE,C1F?平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)因?yàn)锳A1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)證明AB⊥B1BCC1,可得平面ABE⊥B1BCC1;(Ⅱ)證明C1F∥平面ABE,只需證明四邊形FGEC1為平行四邊形,可得C1F∥EG;(Ⅲ)利用VE﹣ABC=,可求三棱錐E﹣ABC的體積.20.(本小題滿分12分)
已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,為等比數(shù)列,且,。(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案:【知識點(diǎn)】等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列求和D2D3D4(1)an=2n+1,,.;(2)Tn=,解析:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由題意可得:
………………3分解得q=2或q=(舍),d=2.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n+1,……6分?jǐn)?shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是.……7分(2)Tn=
∴2Tn=……9分∴-Tn=∴Tn=,…………12分.【思路點(diǎn)撥】在解答等差數(shù)列與等比數(shù)列時,可利用其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式得到首項(xiàng)與公差和公比的方程組,通過解方程組求解,遇到數(shù)列求和問題,可先確定其通項(xiàng)公式,再結(jié)合通項(xiàng)公式特征確定求和思路.21.已知函數(shù)fn(x)=xn(1﹣x)2在(,1)上的最大值為an(n=1,2,3,…).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求證:對任何正整數(shù)n(n≥2),都有an≤成立;(3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:對任意正整數(shù)n,都有Sn<成立.參考答案:【考點(diǎn)】8E:數(shù)列的求和;8H:數(shù)列遞推式.【分析】(1)由已知得=(n+2)xn﹣1(x﹣1)(x﹣),由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)當(dāng)n≥2時,欲證≤,只需證明(1+)n≥4,由此能證明當(dāng)n≥2時,都有成立.(3)Sn<<,由此能證明任意正整數(shù)n,都有成立.【解答】解:(1)∵fn(x)=xn(1﹣x)2,∴=xn﹣1(1﹣x)[n(1﹣x)﹣2x]=(n+2)xn﹣1(x﹣1)(x﹣),…當(dāng)x∈(,1)時,由,知:x=,…∵n≥1,∴,…∵x∈(,)時,;x∈()時,(x)<0;∴f(x)在()上單調(diào)遞增,在()上單調(diào)遞減∴在x=處取得最大值,即=.…(2)當(dāng)n≥2時,欲證≤,只需證明(1+)n≥4,…∵(1+)n=≥1+2+≥1+2+1=4,…∴當(dāng)n≥2時,都有成立.…(3)Sn=a1+a2+…+an<<=<.∴對任意正整數(shù)n,都有成立.…22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中,曲線,有且僅有一個公共點(diǎn).(1)求;(2)為極點(diǎn),為曲線上的兩點(diǎn),且,求
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