2020四川高考數(shù)學(理科)試題及參考答案

13i1413i1423121231232020年國統(tǒng)一高數(shù)學試卷（科）（新課Ⅲ）一、選擇題（共12小）.．已知集合＝{），，≥}＝{（x，y）x+＝8}則∩中元素的個數(shù)為（）A2．復數(shù)

B3的虛部是（）

C．D．A﹣

B﹣

C．

D．．在一組樣本數(shù)據(jù)中，2，，4出的頻率分別為，，，，面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是（）

＝1則下Ap＝p＝，p＝＝0.4C．＝＝0.2，＝＝0.3

B．p＝p＝0.4，p＝＝0.1D．＝＝，＝＝0.2Logistic模是常用數(shù)學模型之一可應用于流行病學領域有者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)

I

（t

）（t

的單位：天）的模型：I

（t

）＝，其中為大確診例數(shù)．當I（*）＝K，標志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（19）A60．．66．69．設為坐標原點，直線＝與拋物線：y2＝2px（p0）交于D，兩，若ODOE則C的點坐標為（）A（，0

B（，0）

C．（1）

D．2，0）．已知向量，滿|＝5＝6，

＝﹣，則＜，+＞（）A﹣

B﹣

C．

D．．在△，cosC＝，AC4，BC，則cos＝（）A

B

C．

D．．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

11151115813A6+4B．4+4C．6+2D4+2．已知2tan﹣tan（A﹣210若直線l與線y＝A＝2+1

）＝7，則tan＝（）B﹣1．1D．和圓x+2都相切，則l的方程為（）B＝2+C．y＝x+1D＝+11設曲線C：﹣＝（a＞0b的右點分別FF離心率P是上點，且FP⊥P若eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F的積為，則＝（）A1B2C4D．12已知584＜．設＝log3，blog，c＝log8，則（）Aab＜cBbacC．＜c＜aD．c＜a二、填空題：本題共小題，每小題5分共20分13若，y滿約束條件

則z＝3+2y的大值為．14（2+）展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）．15已知圓錐的底面半徑為1母線長為，則該圓錐內半徑最的球的體積為．16關于函數(shù)f）＝x+

有如下四個命題：f）的圖象關于y對稱．f）的圖象關于原點對稱．f）的圖象關于直線x＝f）的最小值為．

對稱．

nnn1n2nnn1n23nn其中所有真命題的序號是．三解答題共分解答應寫出文字說明明過程或演算步驟～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第、題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共分。17設數(shù)列{}足a＝，a＝﹣．（1計算，，{}通項公式并加以證明；（2求數(shù){n

}前n項S．18生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次

，

（200400]

（400，空氣質量等級（優(yōu)）（良）（輕度污染）（中度污染）

（1分別估計該市一天的空氣質量等級為1，3概率；（2求天中到該公園鍛煉的平均人次的估計同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3若某天的空氣質量等級為1或，則稱這天“空氣質量好；若某天的空氣質量等級為或，則稱這天“空氣質量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的×2聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤400

人次＞400空氣質量好空氣質量不好附：2P（

≥k）

k

111111111111119如圖，在長方體﹣AD中點EF分在棱DD，上且＝ED，＝．（1證明：點在平面AEF內（2若AB，AD1，AA＝3，求二面角A﹣﹣A的弦值．20已知橢圓

+

＝（0＜）的離心率為分別為C的、右頂點．（1求C方程；（2若點P在C上點在線x＝，＝|，⊥BQ的積．21設函數(shù)f）＝x

++，曲線＝f（x）在點（，f））處的切線與y軸直．（1求；（2若f（）一個絕對值不大于的零點，證明f）所有零點的絕對值都不大于．（二）選考題：共1分。請考生在第2223題任選一題作答。如果多做，則所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系參數(shù)方]22在直角坐標系中曲線C的數(shù)方程為

（

為參數(shù)且t≠）與坐標軸交于A，B點．（1求；（2以坐標原點為極點軸半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的坐標方程．[選修：不等式選講]23設，b，c++＝0＝1．

（1證明++＜0；（2用max{，，c}示，bc的大值，證明max{，b}．

13i1413i142312123123參考答案一、選擇題：本題共2小，每小題5分，共60分在每小題給出的四個項中，只有一項是符合題目要求的。．已知集合＝{），N*，y≥x}B＝{x，y）x+＝8}，則A∩中元素的個數(shù)為（）A2B3C4D．【分析】利用交集定義求出A∩B{7，1，，2），（，），（4，4}由此能求出A∩B中素的個數(shù)．解：∵集合A＝{x，y），yN*，≥}＝{，）+＝8}∴∩＝{（xy|∴∩B中元素的個數(shù)為．故選：C．

}{7（6244}．復數(shù)A﹣

的虛部是（）B﹣

C．

D．【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．解：∵∴復數(shù)故選：D

＝的虛部是．

，．在一組樣本數(shù)據(jù)中，2，，4出的頻率分別為，，，，面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是（）

＝1則下Ap＝p＝，p＝＝0.4C．＝＝0.2，＝＝0.3

B．p＝p＝0.4，p＝＝0.1D．＝＝，＝＝0.2【分析】根據(jù)題意，求出各組數(shù)據(jù)的方差，方差大的對應的標準差也大．解：選項A：E（x）＝1×0.1+2×0.4+3××0.1＝2.5，以（）＝（﹣）

×

0.1+2）

×0.4+（3）2

×0.4+（﹣）×＝0.65；同理選項：（x）＝2.5，Dx）＝2.05選項C：（x）＝2.5，Dx）＝；選項：E（x）＝D（x）＝；故選：B．Logistic模是常用數(shù)學模型之一可應用于流行病學領域有者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)

I

（t

）（t

的單位：天）的模型：I

（t

）＝，其中為大確診例數(shù)．當I（*）＝K，標志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（19）A60．．66．69【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程

＝0.95，出t

即可．解：由已知可得＝0.95，解得0.23t53

＝

，兩邊取對數(shù)有﹣（t）＝﹣ln，解得t≈66故選：C．．設為坐標原點，直線＝與拋物線：y2＝2px（p0）交于D，兩，若ODOE則C的點坐標為（）A（，0

B（，0）

C．（1）

D．2，0）【分析】利用已知條件轉化求解E、坐，通過kODk＝1求解拋物線方程，即可得到拋物線的焦點坐標．解：將x＝2代拋線2px，可得y＝±2即，得＝1

，OD，可得ODOE﹣，所以拋物線方程為：y故選：B．

＝x，它的焦點坐標（，）．．已知向量，滿|＝5＝6，

＝﹣，則＜，+＞（）A﹣

B﹣

C．

D．【分析】利用已知條件求，后利用向量的數(shù)量積求解可．

解：向量，滿＝，＝，可得＝＝

＝﹣，＝，＜，+＞＝故選：D

＝＝＝．．在△，cosC＝，AC4，BC，則cos＝（）A

B

C．

D．【分析】先根據(jù)余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出結論．解：在ABC中cos＝，AC，BC，由余弦定理可得2

＝+

﹣2ACBCC42

+3

﹣24×3＝9；故＝3；∴B＝故選：A．

＝＝，．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A6+4B．4+4C．6+2D4+2【分析】先由三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表面積公式計算即可．解：由三視圖可知幾何體的直觀圖如圖：幾何體是正方體的一個角，＝AB＝＝2，PA、AB、兩垂直，故＝＝＝

，幾何體的表面積為：×

＝

故選：C．．已知2tan﹣tan（A﹣2

）＝7，則tan＝（）B﹣1．1D．【分析】利用兩角和差的正切公式進行展開化簡，結合一元二次方程的解法進行求解即可．解：由﹣tan（+

）＝7得2tan﹣＝，即﹣2﹣﹣＝﹣，得28tan＝0，即tan﹣+4＝，即（﹣）2，則tan，故選：D10若直線l

與曲線y＝

和圓x+2都相切，則l

的方程為（）A＝2+1【分析】根據(jù)直線l

B＝2+C．y＝x+1D＝+與圓x2＝相，利用選項到圓心的距離等于半徑，在將直線與曲線y＝

求一解可得答案；解：直線l與x2+＝相，那么直線到圓心0）的距離等于半徑四個選項中，只有A，D滿題意；

，對于選項：y＝2+1與y＝對于選：y＝x與＝

聯(lián)立可得：2x﹣聯(lián)立可得：x﹣

+1＝，此時：無解；+＝，時解得x＝1；∴直線l

與曲線y＝

和圓x+＝都相切，方程為＝+，故選：D

111215813813555511121581381355558131311設曲線C：﹣＝（a＞0b的右點分別FF離心率P是上點，且FP⊥P若eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F的積為，則＝（）A1B2C4D．【分析】利用雙曲線的定義，三角形的面積以及雙曲線的離心率，轉化求解a即．解：由題意，設PFm＝n，可得mn2，可得216+4，可得24+a，解得＝1．故選：A．

，m+n2

＝42，＝，12已知584

，＜5設＝log3，blog，c＝log8，則（）Aab＜cBbacC．＜c＜aD．c＜a【分析】根據(jù)，得＜b然后由＝log＜0.8＝log＞，得到＞b，再確定，b，c的小關系．解：∵＝＝log＜＝＜1∴a＜b∵55，∴5＜4log8，∴l(xiāng)og8＞，∴＝log＜；∵13

＜85

，∴4＜5log8∴＝log8＞，＞b，綜上，c＞ba．故選：A．二、填空題：本題共小題，每小題5分共20分13若，y滿約束條件

則z＝3+2y的大值為7

．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值＝3y表示直線在軸上的截距的一半，只需求出可行域內直線在y軸的截距最大值即可．解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，由

解得A（1，2，如圖，當直線z＝x+2過點A（，），目標函數(shù)在軸的截距取得最大值時，此時z取最大值，即當x＝，y＝＝3××2．

rr故答案為：7．14（2+）展開式中常數(shù)項是（數(shù)字作答）．【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再x的指數(shù)等于，求得r的，即可求得展開式中的常數(shù)項的值．解：由于（x

+）6

的展開式的通項公式為＝

2rxr

，令12r＝0，求得r＝4，故常數(shù)項的值等于24＝，故答案為：24015已知圓錐的底面半徑為1母線長為，則該圓錐內半徑最的球的體積為

．【分析】易知圓錐內半徑最大的球應為圓錐的內切球，作圖，求得出該內切球的半徑即可求出球的體積．解：因為圓錐內半徑最大的球應該為該圓錐的內切球，如圖，圓錐母線BS，底面半徑＝1則其高SC＝

，不妨設該內切球與母線BS切點D，令OD＝OCr，由SOD△，則

＝，即＝，解得r

，V＝r3＝故答案為：

，．

nnnnnn116關于函數(shù)f）＝x+

有如下四個命題：f）的圖象關于y對稱．f）的圖象關于原點對稱．f）的圖象關于直線x＝

對稱．f）的最小值為．其中所有真命題的序號是．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，對稱性的判定，對稱軸的求法，逐一判斷即可．解：對，由≠0可得函數(shù)的定義域為{x≠k，Z}故定義域關于原點對稱，由f﹣x）＝sin（﹣x）+

＝﹣﹣＝f（x）；所以該函數(shù)為奇函數(shù)，關于原點對稱，所錯對；對于，f（﹣）＝sin（﹣）（x）關于x＝對稱，對；

＝+

＝（x），所以該函數(shù)f對于，t＝，t[，0）∪，，雙勾函數(shù)（）t+的質，可知，（t＝t+（∞，﹣2]∪，∞，所以f）無最小值，錯；故答案為：．三解答題共分解答應寫出文字說明明過程或演算步驟～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第、題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共分。17設數(shù)列{}足a＝，a＝﹣．

n23nnn2nnn12132nnn23nnn2nnn12132nnknnnnnnnnn（1計算，，{}通項公式并加以證明；（2求數(shù){n

}前n項S．【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關系式求出a，，想{a}通項公式，然后利用數(shù)學歸納法證明即可．（2化簡數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求解數(shù)列的前n項．解：（1）數(shù)列{a}足＝3，＝﹣，則＝﹣＝5＝﹣×27，…，猜想{}通公式為＝．證明如下：i）當n1，時，顯然成立，（ii）設＝ka＝+1N）成立，當＝k時＝a﹣k＝3k+1﹣k＝＝2）+1故＝k+1成立，由（i（ii）知，＝，猜想成立，所以{}通公式＝2+1（2令b＝2n

＝（+1），則數(shù)列{n

}前n項和S＝×21

×2+…+2n+1

n

，…兩邊同乘得，2＝×2×23+…（2n）

n

，…﹣得，﹣Sn＝6+

＝32+2×2…+2﹣（2n+12n+1﹣（2n+1）2，所以＝2﹣1

n+1+2．18生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次

，

（200400]

（400，空氣質量等級（優(yōu)）（良）（輕度污染）（中度污染）

（1分別估計該市一天的空氣質量等級為1，3概率；（2求天中到該公園鍛煉的平均人次的估計同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

為代表）；（3若某天的空氣質量等級為1或，則稱這天“空氣質量好；若某天的空氣質量等級為或，則稱這天“空氣質量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的×2聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤400

人次＞400空氣質量好空氣質量不好附：2P（

≥k）

k

【分析】（）用頻率估計概率，從而得到估計該市一天的空氣質量等級為1，，的概率；（2采用頻率分布直方圖估計樣本平均值的方法可得得答案；（3由公式

計算k的值，從而查表即可，解：（1）該市一天的空氣質量等級為概率為：

＝

；該市一天的空氣質量等級為概率為：

＝

；該市一天的空氣質量等級為概率為：該市一天的空氣質量等級為概率為：

＝＝

；；（）題意可得：一天中到該公園鍛的平均人次的估計值為：＝×××＝350（3根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的×2列表，空氣質量好空氣質量不好總計

人次≤400

人次＞400

總計

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111由表中數(shù)據(jù)可得：K＝

＝≈5.802＞3.841所以有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天空氣質量有關．19如圖，在長方體﹣AD中點EF分在棱DD，上且＝ED，＝．（1證明：點在平面AEF內（2若AB，AD1，AA＝3，求二面角A﹣﹣A的弦值．【分析】（1）在上點M，得AM，接，BM，，F(xiàn)C，已知證明四邊形FAM和四邊形EDAM都平行四邊形，可得AF∥，AF＝MB∥ME且ADME進一步證明四邊形BEM為行四邊形得到∥MB且＝，結合AF∥，＝MB，可得∥，且＝，四邊形AFCE為平行四邊形，從而得到點C在平面AEF內（2在長方體﹣D中，以為坐標原點，分別以D，，C所在直線為x，y，軸立空間直角坐標系．分別求出平面AEF的個法向量與平面EF的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣EF﹣的弦值，再由同角三角函數(shù)基本關系式求得二面角﹣EFA的弦．【解答】（1）證明：在上點M使得M＝AM，連接，BM，，在長方體ABCDCD中有DD∥AA，DD＝＝．又2DEED，AM＝AM＝，∴DEAM＝FB．∴四邊形FAM四邊形都平行四邊形．∴AF∥MB，AF＝MB，ADME，且ADME

111111111111111111111111111111111111111111111211又在長方體ABCD﹣AD中，有ADC，＝C∴C∥ME＝，則四邊形CEM為行四邊形，∴EC∥MB，且＝，又AF∥，AFMB，∴AF∥，AFEC，則四邊形AFC為行四邊形，∴點C在面AEF；（2解：在長方體ABCDBD中，以C為坐標原點，分別以CD，B，在直線為，，z軸立空間直角坐標系．∵AB2，＝1，＝3，＝ED，＝，∴（，1，），B20）F（0，1），A（，1，），則，，

．設平面AEF的個法向量為

．則，?。?，得；設平面的個法向量為．則，?。剑茫啵迹荆剑剑O二面角﹣EFA為，sin＝∴二面角﹣EFA的弦值為．

．

20已知橢圓

+

＝（0＜）的離心率為分別為C的、右頂點．（1求C方程；（2若點P在C上點在線x＝，＝|，⊥BQ的積．【分析】（1）根據(jù)e＝，a2

＝25，2

＝m，代入計算m

的值，求出C的程即可；（2設出P的標，得關于，，n的程組，求出（81（，），從而求出△的積．解：（1）由e＝得e＝1，即＝﹣，

＝，故的程是：

+

＝；（2由（）（﹣，0），設（，），點（，），根據(jù)對稱性，只需考慮n＞0情況，此時﹣5＜＜5，＜≤，∵|＝BQ，有（s﹣）

+t2

＝n+1又∵⊥BQ∴﹣5+＝，又

+

＝1，聯(lián)立得

或，當

時，（，），AQ（，2，

0001100000011000∴＝＝|8×﹣×1|＝，同理可得當

時，S＝，綜上，的積是．21設函數(shù)f）＝x3+bx+，曲線＝f（x）在點（，f））處的切線與y軸直．（1求；（2若f（）一個絕對值不大于的零點，證明f）所有零點的絕對值都不大于．【分析】（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由題意得f（）3×得；（2設x為f（）的一個零點，根據(jù)題意，，|

，由此求≤1得到，由x≤，對c（x）求導數(shù)，可得（）[﹣1，上的單調性，得到．設x為f（x）的，則必，由此求得x的圍得答案．【解答】（1）解：由（x）＝x++，得f′）x+，∴′（）＝3