2020四川高考數(shù)學(xué)(理科)試題及參考答案

13i1413i1423121231232020年國(guó)統(tǒng)一高數(shù)學(xué)試卷（科）（新課Ⅲ）一、選擇題（共12?。?．已知集合＝{），，≥}＝{（x，y）x+＝8}則∩中元素的個(gè)數(shù)為（）A2．復(fù)數(shù)

B3的虛部是（）

C．D．A﹣

B﹣

C．

D．．在一組樣本數(shù)據(jù)中，2，，4出的頻率分別為，，，，面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）

＝1則下Ap＝p＝，p＝＝0.4C．＝＝0.2，＝＝0.3

B．p＝p＝0.4，p＝＝0.1D．＝＝，＝＝0.2Logistic模是常用數(shù)學(xué)模型之一可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域有者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)

I

（t

）（t

的單位：天）的模型：I

（t

）＝，其中為大確診例數(shù)．當(dāng)I（*）＝K，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（19）A60．．66．69．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線＝與拋物線：y2＝2px（p0）交于D，兩，若ODOE則C的點(diǎn)坐標(biāo)為（）A（，0

B（，0）

C．（1）

D．2，0）．已知向量，滿|＝5＝6，

＝﹣，則＜，+＞（）A﹣

B﹣

C．

D．．在△，cosC＝，AC4，BC，則cos＝（）A

B

C．

D．．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

11151115813A6+4B．4+4C．6+2D4+2．已知2tan﹣tan（A﹣210若直線l與線y＝A＝2+1

）＝7，則tan＝（）B﹣1．1D．和圓x+2都相切，則l的方程為（）B＝2+C．y＝x+1D＝+11設(shè)曲線C：﹣＝（a＞0b的右點(diǎn)分別FF離心率P是上點(diǎn)，且FP⊥P若eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F的積為，則＝（）A1B2C4D．12已知584＜．設(shè)＝log3，blog，c＝log8，則（）Aab＜cBbacC．＜c＜aD．c＜a二、填空題：本題共小題，每小題5分共20分13若，y滿約束條件

則z＝3+2y的大值為．14（2+）展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）．15已知圓錐的底面半徑為1母線長(zhǎng)為，則該圓錐內(nèi)半徑最的球的體積為．16關(guān)于函數(shù)f）＝x+

有如下四個(gè)命題：f）的圖象關(guān)于y對(duì)稱．f）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f）的圖象關(guān)于直線x＝f）的最小值為．

對(duì)稱．

nnn1n2nnn1n23nn其中所有真命題的序號(hào)是．三解答題共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明明過(guò)程或演算步驟～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第、題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共分。17設(shè)數(shù)列{}足a＝，a＝﹣．（1計(jì)算，，{}通項(xiàng)公式并加以證明；（2求數(shù){n

}前n項(xiàng)S．18生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次

，

（200400]

（400，空氣質(zhì)量等級(jí)（優(yōu)）（良）（輕度污染）（中度污染）

（1分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，3概率；（2求天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或，則稱這天“空氣質(zhì)量好；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為或，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的×2聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400

人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：2P（

≥k）

k

111111111111119如圖，在長(zhǎng)方體﹣AD中點(diǎn)EF分在棱DD，上且＝ED，＝．（1證明：點(diǎn)在平面AEF內(nèi)（2若AB，AD1，AA＝3，求二面角A﹣﹣A的弦值．20已知橢圓

+

＝（0＜）的離心率為分別為C的、右頂點(diǎn)．（1求C方程；（2若點(diǎn)P在C上點(diǎn)在線x＝，＝|，⊥BQ的積．21設(shè)函數(shù)f）＝x

++，曲線＝f（x）在點(diǎn)（，f））處的切線與y軸直．（1求；（2若f（）一個(gè)絕對(duì)值不大于的零點(diǎn)，證明f）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于．（二）選考題：共1分。請(qǐng)考生在第2223題任選一題作答。如果多做，則所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系參數(shù)方]22在直角坐標(biāo)系中曲線C的數(shù)方程為

（

為參數(shù)且t≠）與坐標(biāo)軸交于A，B點(diǎn)．（1求；（2以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)軸半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的坐標(biāo)方程．[選修：不等式選講]23設(shè)，b，c++＝0＝1．

（1證明++＜0；（2用max{，，c}示，bc的大值，證明max{，b}．

13i1413i142312123123參考答案一、選擇題：本題共2小，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。．已知集合＝{），N*，y≥x}B＝{x，y）x+＝8}，則A∩中元素的個(gè)數(shù)為（）A2B3C4D．【分析】利用交集定義求出A∩B{7，1，，2），（，），（4，4}由此能求出A∩B中素的個(gè)數(shù)．解：∵集合A＝{x，y），yN*，≥}＝{，）+＝8}∴∩＝{（xy|∴∩B中元素的個(gè)數(shù)為．故選：C．

}{7（6244}．復(fù)數(shù)A﹣

的虛部是（）B﹣

C．

D．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．解：∵∴復(fù)數(shù)故選：D

＝的虛部是．

，．在一組樣本數(shù)據(jù)中，2，，4出的頻率分別為，，，，面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）

＝1則下Ap＝p＝，p＝＝0.4C．＝＝0.2，＝＝0.3

B．p＝p＝0.4，p＝＝0.1D．＝＝，＝＝0.2【分析】根據(jù)題意，求出各組數(shù)據(jù)的方差，方差大的對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差也大．解：選項(xiàng)A：E（x）＝1×0.1+2×0.4+3××0.1＝2.5，以（）＝（﹣）

×

0.1+2）

×0.4+（3）2

×0.4+（﹣）×＝0.65；同理選項(xiàng)：（x）＝2.5，Dx）＝2.05選項(xiàng)C：（x）＝2.5，Dx）＝；選項(xiàng)：E（x）＝D（x）＝；故選：B．Logistic模是常用數(shù)學(xué)模型之一可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域有者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)

I

（t

）（t

的單位：天）的模型：I

（t

）＝，其中為大確診例數(shù)．當(dāng)I（*）＝K，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（19）A60．．66．69【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程

＝0.95，出t

即可．解：由已知可得＝0.95，解得0.23t53

＝

，兩邊取對(duì)數(shù)有﹣（t）＝﹣ln，解得t≈66故選：C．．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線＝與拋物線：y2＝2px（p0）交于D，兩，若ODOE則C的點(diǎn)坐標(biāo)為（）A（，0

B（，0）

C．（1）

D．2，0）【分析】利用已知條件轉(zhuǎn)化求解E、坐，通過(guò)kODk＝1求解拋物線方程，即可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．解：將x＝2代拋線2px，可得y＝±2即，得＝1

，OD，可得ODOE﹣，所以拋物線方程為：y故選：B．

＝x，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)（，）．．已知向量，滿|＝5＝6，

＝﹣，則＜，+＞（）A﹣

B﹣

C．

D．【分析】利用已知條件求，后利用向量的數(shù)量積求解可．

解：向量，滿＝，＝，可得＝＝

＝﹣，＝，＜，+＞＝故選：D

＝＝＝．．在△，cosC＝，AC4，BC，則cos＝（）A

B

C．

D．【分析】先根據(jù)余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出結(jié)論．解：在ABC中cos＝，AC，BC，由余弦定理可得2

＝+

﹣2ACBCC42

+3

﹣24×3＝9；故＝3；∴B＝故選：A．

＝＝，．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A6+4B．4+4C．6+2D4+2【分析】先由三視圖畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表面積公式計(jì)算即可．解：由三視圖可知幾何體的直觀圖如圖：幾何體是正方體的一個(gè)角，＝AB＝＝2，PA、AB、兩垂直，故＝＝＝

，幾何體的表面積為：×

＝

故選：C．．已知2tan﹣tan（A﹣2

）＝7，則tan＝（）B﹣1．1D．【分析】利用兩角和差的正切公式進(jìn)行展開(kāi)化簡(jiǎn)，結(jié)合一元二次方程的解法進(jìn)行求解即可．解：由﹣tan（+

）＝7得2tan﹣＝，即﹣2﹣﹣＝﹣，得28tan＝0，即tan﹣+4＝，即（﹣）2，則tan，故選：D10若直線l

與曲線y＝

和圓x+2都相切，則l

的方程為（）A＝2+1【分析】根據(jù)直線l

B＝2+C．y＝x+1D＝+與圓x2＝相，利用選項(xiàng)到圓心的距離等于半徑，在將直線與曲線y＝

求一解可得答案；解：直線l與x2+＝相，那么直線到圓心0）的距離等于半徑四個(gè)選項(xiàng)中，只有A，D滿題意；

，對(duì)于選項(xiàng)：y＝2+1與y＝對(duì)于選：y＝x與＝

聯(lián)立可得：2x﹣聯(lián)立可得：x﹣

+1＝，此時(shí)：無(wú)解；+＝，時(shí)解得x＝1；∴直線l

與曲線y＝

和圓x+＝都相切，方程為＝+，故選：D

111215813813555511121581381355558131311設(shè)曲線C：﹣＝（a＞0b的右點(diǎn)分別FF離心率P是上點(diǎn)，且FP⊥P若eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F的積為，則＝（）A1B2C4D．【分析】利用雙曲線的定義，三角形的面積以及雙曲線的離心率，轉(zhuǎn)化求解a即．解：由題意，設(shè)PFm＝n，可得mn2，可得216+4，可得24+a，解得＝1．故選：A．

，m+n2

＝42，＝，12已知584

，＜5設(shè)＝log3，blog，c＝log8，則（）Aab＜cBbacC．＜c＜aD．c＜a【分析】根據(jù)，得＜b然后由＝log＜0.8＝log＞，得到＞b，再確定，b，c的小關(guān)系．解：∵＝＝log＜＝＜1∴a＜b∵55，∴5＜4log8，∴l(xiāng)og8＞，∴＝log＜；∵13

＜85

，∴4＜5log8∴＝log8＞，＞b，綜上，c＞ba．故選：A．二、填空題：本題共小題，每小題5分共20分13若，y滿約束條件

則z＝3+2y的大值為7

．【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值＝3y表示直線在軸上的截距的一半，只需求出可行域內(nèi)直線在y軸的截距最大值即可．解：先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，由

解得A（1，2，如圖，當(dāng)直線z＝x+2過(guò)點(diǎn)A（，），目標(biāo)函數(shù)在軸的截距取得最大值時(shí)，此時(shí)z取最大值，即當(dāng)x＝，y＝＝3××2．

rr故答案為：7．14（2+）展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（數(shù)字作答）．【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再x的指數(shù)等于，求得r的，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值．解：由于（x

+）6

的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為＝

2rxr

，令12r＝0，求得r＝4，故常數(shù)項(xiàng)的值等于24＝，故答案為：24015已知圓錐的底面半徑為1母線長(zhǎng)為，則該圓錐內(nèi)半徑最的球的體積為

．【分析】易知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球，作圖，求得出該內(nèi)切球的半徑即可求出球的體積．解：因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，圓錐母線BS，底面半徑＝1則其高SC＝

，不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切點(diǎn)D，令OD＝OCr，由SOD△，則

＝，即＝，解得r

，V＝r3＝故答案為：

，．

nnnnnn116關(guān)于函數(shù)f）＝x+

有如下四個(gè)命題：f）的圖象關(guān)于y對(duì)稱．f）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f）的圖象關(guān)于直線x＝

對(duì)稱．f）的最小值為．其中所有真命題的序號(hào)是．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，對(duì)稱性的判定，對(duì)稱軸的求法，逐一判斷即可．解：對(duì)，由≠0可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x≠k，Z}故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由f﹣x）＝sin（﹣x）+

＝﹣﹣＝f（x）；所以該函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所錯(cuò)對(duì)；對(duì)于，f（﹣）＝sin（﹣）（x）關(guān)于x＝對(duì)稱，對(duì)；

＝+

＝（x），所以該函數(shù)f對(duì)于，t＝，t[，0）∪，，雙勾函數(shù)（）t+的質(zhì)，可知，（t＝t+（∞，﹣2]∪，∞，所以f）無(wú)最小值，錯(cuò)；故答案為：．三解答題共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明明過(guò)程或演算步驟～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第、題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共分。17設(shè)數(shù)列{}足a＝，a＝﹣．

n23nnn2nnn12132nnn23nnn2nnn12132nnknnnnnnnnn（1計(jì)算，，{}通項(xiàng)公式并加以證明；（2求數(shù){n

}前n項(xiàng)S．【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出a，，想{a}通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．（2化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前n項(xiàng)．解：（1）數(shù)列{a}足＝3，＝﹣，則＝﹣＝5＝﹣×27，…，猜想{}通公式為＝．證明如下：i）當(dāng)n1，時(shí)，顯然成立，（ii）設(shè)＝ka＝+1N）成立，當(dāng)＝k時(shí)＝a﹣k＝3k+1﹣k＝＝2）+1故＝k+1成立，由（i（ii）知，＝，猜想成立，所以{}通公式＝2+1（2令b＝2n

＝（+1），則數(shù)列{n

}前n項(xiàng)和S＝×21

×2+…+2n+1

n

，…兩邊同乘得，2＝×2×23+…（2n）

n

，…﹣得，﹣Sn＝6+

＝32+2×2…+2﹣（2n+12n+1﹣（2n+1）2，所以＝2﹣1

n+1+2．18生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次

，

（200400]

（400，空氣質(zhì)量等級(jí)（優(yōu)）（良）（輕度污染）（中度污染）

（1分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，3概率；（2求天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

為代表）；（3若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或，則稱這天“空氣質(zhì)量好；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為或，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的×2聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400

人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：2P（

≥k）

k

【分析】（）用頻率估計(jì)概率，從而得到估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，，的概率；（2采用頻率分布直方圖估計(jì)樣本平均值的方法可得得答案；（3由公式

計(jì)算k的值，從而查表即可，解：（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為概率為：

＝

；該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為概率為：

＝

；該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為概率為：該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為概率為：

＝＝

；；（）題意可得：一天中到該公園鍛的平均人次的估計(jì)值為：＝×××＝350（3根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的×2列表，空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好總計(jì)

人次≤400

人次＞400

總計(jì)

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111由表中數(shù)據(jù)可得：K＝

＝≈5.802＞3.841所以有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天空氣質(zhì)量有關(guān)．19如圖，在長(zhǎng)方體﹣AD中點(diǎn)EF分在棱DD，上且＝ED，＝．（1證明：點(diǎn)在平面AEF內(nèi)（2若AB，AD1，AA＝3，求二面角A﹣﹣A的弦值．【分析】（1）在上點(diǎn)M，得AM，接，BM，，F(xiàn)C，已知證明四邊形FAM和四邊形EDAM都平行四邊形，可得AF∥，AF＝MB∥ME且ADME進(jìn)一步證明四邊形BEM為行四邊形得到∥MB且＝，結(jié)合AF∥，＝MB，可得∥，且＝，四邊形AFCE為平行四邊形，從而得到點(diǎn)C在平面AEF內(nèi)（2在長(zhǎng)方體﹣D中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D，，C所在直線為x，y，軸立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面AEF的個(gè)法向量與平面EF的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣EF﹣的弦值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得二面角﹣EFA的弦．【解答】（1）證明：在上點(diǎn)M使得M＝AM，連接，BM，，在長(zhǎng)方體ABCDCD中有DD∥AA，DD＝＝．又2DEED，AM＝AM＝，∴DEAM＝FB．∴四邊形FAM四邊形都平行四邊形．∴AF∥MB，AF＝MB，ADME，且ADME

111111111111111111111111111111111111111111111211又在長(zhǎng)方體ABCD﹣AD中，有ADC，＝C∴C∥ME＝，則四邊形CEM為行四邊形，∴EC∥MB，且＝，又AF∥，AFMB，∴AF∥，AFEC，則四邊形AFC為行四邊形，∴點(diǎn)C在面AEF；（2解：在長(zhǎng)方體ABCDBD中，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CD，B，在直線為，，z軸立空間直角坐標(biāo)系．∵AB2，＝1，＝3，＝ED，＝，∴（，1，），B20）F（0，1），A（，1，），則，，

．設(shè)平面AEF的個(gè)法向量為

．則，?。?，得；設(shè)平面的個(gè)法向量為．則，?。剑茫啵迹荆剑剑O(shè)二面角﹣EFA為，sin＝∴二面角﹣EFA的弦值為．

．

20已知橢圓

+

＝（0＜）的離心率為分別為C的、右頂點(diǎn)．（1求C方程；（2若點(diǎn)P在C上點(diǎn)在線x＝，＝|，⊥BQ的積．【分析】（1）根據(jù)e＝，a2

＝25，2

＝m，代入計(jì)算m

的值，求出C的程即可；（2設(shè)出P的標(biāo)，得關(guān)于，，n的程組，求出（81（，），從而求出△的積．解：（1）由e＝得e＝1，即＝﹣，

＝，故的程是：

+

＝；（2由（）（﹣，0），設(shè)（，），點(diǎn)（，），根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮n＞0情況，此時(shí)﹣5＜＜5，＜≤，∵|＝BQ，有（s﹣）

+t2

＝n+1又∵⊥BQ∴﹣5+＝，又

+

＝1，聯(lián)立得

或，當(dāng)

時(shí)，（，），AQ（，2，

0001100000011000∴＝＝|8×﹣×1|＝，同理可得當(dāng)

時(shí)，S＝，綜上，的積是．21設(shè)函數(shù)f）＝x3+bx+，曲線＝f（x）在點(diǎn)（，f））處的切線與y軸直．（1求；（2若f（）一個(gè)絕對(duì)值不大于的零點(diǎn)，證明f）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意得f（）3×得；（2設(shè)x為f（）的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意，，|

，由此求≤1得到，由x≤，對(duì)c（x）求導(dǎo)數(shù)，可得（）[﹣1，上的單調(diào)性，得到．設(shè)x為f（x）的，則必，由此求得x的圍得答案．【解答】（1）解：由（x）＝x++，得f′）x+，∴′（）＝3