高等數(shù)學 第三章第六節(jié)

1、弧長的定義oyxM0Mx0x設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有連續(xù)得導數(shù)，曲線y=f(x)上固定點M0(x0,y0)為度量弧長得基點，并規(guī)定依x增大的方向為曲線的正向，曲線上任意一點M(x,y),規(guī)定弧長S的長度的絕對值等于這段弧的長度,有向3.6弧微分曲率函數(shù)作圖3.6.1弧微分2、弧微分公式oyxM0Mx0x弧微分公式3.6.2曲率及其計算曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量．))弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大1、曲率的定義)曲線的彎曲程度與切線轉(zhuǎn)角的大小成正比，與弧的長度反比M0Myox)yxo（定義曲線C在點M處的曲率oM再如，設圓的半徑為a，如圖圓的任意一點處曲率都是,圓的各點的彎曲程度一樣，且半徑越小的圓彎曲越厲害.2、曲率的計算公式例：求半徑為R 的圓的曲率解：設圓的方程為x2+y2=R2,由隱函數(shù)求導法例1解顯然,曲率圓與曲率半徑這個圓就叫做曲線在點M處的曲率圓.曲率圓的圓心叫做曲線在點M的曲率中心,曲率圓的半徑ρ叫做曲線在點M的曲率半徑.MDOXy在點M處,曲率圓和曲線y=f(x)有相同的切線和曲率,并且在點M有向同的凹向,因此,在點M可用曲率圓弧近似代替曲線弧.曲線y=f(x)在點M處的曲率K和該點的曲率半徑的關(guān)系為:故當曲率半徑較大時,曲率較小,曲線彎曲較輕;故當曲率半徑較小時,曲率較大,曲線彎曲較厲害.1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù).注意:2.曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似).例4:設某零件內(nèi)表面的截線為拋物線y=0.4x2,加工時用砂輪磨削其內(nèi)表面,問選用直徑多大的砂輪才合適？oxy解:拋物線在頂點處曲率最大,曲率半徑最小,砂輪半徑不應大于頂點處的曲率半徑.這里求出拋物線y=0.4x2在點(0,0)處的曲率.點擊圖片任意處播放\暫停例2證如圖（（在緩沖段上,實際要求例3解如圖,受力分析視飛行員在點o作勻速圓周運動,O點處拋物線軌道的曲率半徑得曲率為曲率半徑為即:飛行員對座椅的壓力為641.5千克力.3.6.3漸近線定義:1.鉛直漸近線例如有鉛直漸近線兩條:注意:例1解3.6.4函數(shù)圖形描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點作圖例：作出y=3x-x3的圖形.-1(-1,0)0(0,1)10_0++_++0__極小值拐點(0,0)極大值符號“”表示單調(diào)減少下凸.曲線無水平、垂直漸進線,利用函數(shù)的奇偶性,可描繪函數(shù)圖形如下:oxy-2-11212-1-2(-3,3)3(3,6)6-+-------0+間斷點極大值拐點極大值f(3)=4,得點(3,4),綜合上述描繪函數(shù)圖形如下oxyX=-3例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點例4解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點極大值極小值小結(jié)運用微分學的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學分支——微分幾何學.基本概念:弧微分,曲率,曲率圓.曲線彎曲程度的描述——曲率;曲線弧的近似代替曲率圓(弧).函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導數(shù)應用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點凹的凸的單增單減思考題

1、橢圓