2020年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 全國Ⅰ卷

2020普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)橡皮擦干凈后選涂其他答案標(biāo)號(hào)答選擇題時(shí)答寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共2小題，每小題5分共60分。在每小題給出的四個(gè)項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。若，

z)A.0C.2

D.2設(shè)集合AaAB()A.-4B.-2D.4埃及胡金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積側(cè)三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值()

54

52

C.

54

52已知A為拋物線:

px(0)上點(diǎn)，點(diǎn)A到的焦點(diǎn)的距離為，y軸距離為9，則p)A.2C.6某一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和度(單：

)的系，在個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)實(shí)數(shù)據(jù)(x,i1,2,...,20)得到下面的散點(diǎn)ii

圖：由此散點(diǎn)圖，在1040間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為芽率y和度的歸方程類型的是)函數(shù)f(x)

ybxC.的圖像在點(diǎn)f(1))處切線方程為()C.y

lnxxπ設(shè)函數(shù)f()cos(x)

在圖則f()的小正周期為()

109

76

C.

4π3

π2(x

)(xy)

5

的展開式中

的系數(shù)為()D.20已知，3cos2

8cos

，

)

53

C.

13

59已知AB,為O的面上的三個(gè)點(diǎn)，

O為的接圓，若

O的積為πBCAC，球O的面積為()64π

C.36π

已M:

線

l:2x

0

Pl上動(dòng)點(diǎn)P作

M的切線PA,

，切點(diǎn)為A,，|PM|AB

最小時(shí)，直線AB的程為)

2y

2y

C.

2y

2xy若

2log，()b

b

C.

a

a

二、填空題：本題共小題，每小題5分，共20分。0,若xy滿約束條件則z最大值___________.

0,設(shè),為位向量且|則|___________.已知為曲線C:

a的焦點(diǎn)，為C右頂點(diǎn)，B上點(diǎn)，22且直于

軸.若AB的率為3，則C的心為______________.如圖三棱錐ABC的平面展開圖中ACAB330

ABAC，三、解答題：共7分。解答應(yīng)寫出文字說、證明過程或演算步驟。17~21題必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分。17.（分設(shè){}

是公比不為1的比數(shù)列，a為a2

，a

的等差中項(xiàng)．求{}

的公比；若a

，求數(shù)列{}

的前項(xiàng)和18.（分如圖，為錐的頂點(diǎn)，O圓錐底面的圓心，AE為面直徑，AEAD是底面

的內(nèi)接正三角形，P為DO上點(diǎn)，

66

DO證明：PA面PBC求二面角BPCE的弦值19.（分甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人另人輪空?qǐng)霰荣惖膭僬吲c輪空者進(jìn)行下一場比賽者一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪設(shè)每場比賽雙方勝的概率都為

求甲連勝四場的概率；求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；求丙最終獲勝的概率.20.（分已知A

分別為橢圓E:

22

2

為的頂點(diǎn)，

，P為直線x上動(dòng)點(diǎn)，PA與E的一交點(diǎn)為，與的一交點(diǎn)為求的程；證明：直線CD定.21.（分已知函數(shù)f(x

.當(dāng)a時(shí)討論

f

的單調(diào)性；當(dāng)，

x

，求

的取值范圍.（二）選考題：共1分。請(qǐng)考生在第22題中任選一題作答。果多做，則按所做的第

kk一題計(jì)分。22[修—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分在直角坐標(biāo)系

xOy

t中曲線C的數(shù)方程為

(

為參數(shù)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

4

當(dāng)k時(shí)C是么曲線？當(dāng)k4，求C與的共點(diǎn)的直角坐標(biāo).23[修—5不等式選]（分）已知函數(shù)

f(x)

畫出

f(x

的圖像；求不等式

f()f(

的解集

aa參答答案：解析：通解

z(1

2(12i2i故光速解

z2.選D.答案：B解析：解法一易知|,Bx因?yàn)锽xx，以2

a2

，得故B.解法二由題得

a則B

x

，又

，所以足意，排除A；若則BA；若，B又

A

意，排除C；若a，A意故B.答案：解析：設(shè)正四棱錐的高為，底面正方形的邊長為，高為，依題意得

a，

①，易知h

②，由①②得

152

a，以15.選C.aa4答案：解析通因?yàn)锳到y(tǒng)軸的距離為所可設(shè)點(diǎn)A

所

又點(diǎn)

到焦點(diǎn)的距離為，所以，以9，2

p，得p(舍去)p故選C.光速解根據(jù)物線的定義及題得A到的準(zhǔn)線xy軸距離為9，所以，得.故選答案：

p2

的距離為因?yàn)辄c(diǎn)A到

π4π4πππ4π4πππ3解析根據(jù)散點(diǎn)圖用光滑的曲把圖中各點(diǎn)依次連起(圖略由圖并結(jié)合選項(xiàng)可排除AB，C故選答案：B解析：通解

fx)

，fx)x

，f'(1)又f所求的切線方程為y，.故選B.優(yōu)解

fx)

，f'(x

，f切的斜率為，除C，又f切過點(diǎn)，排除A.故答案：解析通解由圖知，fπ(kZ)解得94

(k)

設(shè)fx)最小正周期為T，易知Tπ，

|

2π4ππ|

，

，且僅當(dāng)，合題意，此時(shí)

24π，T故選C.3秒解由題知f且f(f(0)0)得，92f()最小正周期T

故選答案：解析：因?yàn)閤y)

的開式的第r項(xiàng)Trr

r

，所以()

的展開式中

的系數(shù)為C

.故選C.答案：A解析：

8cos

，3

，6cos

，3cos

，得cos

(舍)或cos(0,π)，sin1

53

故選答案：解析：如圖所示，設(shè)球O的徑為，O的徑為r，為O的積為π，以π=πr

AB，解得r，ABBCOO，所以r，得23，sin

OO2，所以Rr，以球O的面積π264π.選答案：解析：通解由M:

①得M:(

，以圓心M.圖接AM知邊PAMB的面積為PMAB|

使|PM||最小，只需四邊形的積最小，即只需的積最因?yàn)閨AM，以只需最又PM

AM|

|PM|

所以只需直線2x上動(dòng)點(diǎn)到M的離最小，其最小值為

|5

5，時(shí)l

，易求出直線PM的方程，為由得所P(知，，MB四點(diǎn)共圓，所以，以PM為徑的圓的方程為x

15即2

②①②得直的程為2xy，故選優(yōu)解因?yàn)镸:(

所以圓心M.

2y連接AMBM易四邊形的積為|PM|AB|

欲|AB|最只四邊形PAMB的面積最小，即只需的積最因?yàn)閨AM，以只需PA|最小.又PM

AM

|PM|

只需|PM最時(shí)PMl.為PM，所以l，以k

排除A，C.AB，易求出直線的程為xy，得所P(為點(diǎn)y，M到線x距離為2所以直線點(diǎn)且相，所以(點(diǎn)A線上故排除B.故選D.答案：B解析解一令f(x

x因?yàn)閥

在單調(diào)遞增，logx上單調(diào)遞增，所以f(x

x在單調(diào)遞增又abb(2)，以f()f)，以故選解法二（取值法）由

，b，得

a，令f()

，f(x)在調(diào)遞增，且f(1)，f(2)，以f(1)f，x)logx在存唯一的零點(diǎn)，所以故ab2

都不成立A2

log()

logx則()在單遞，且g(3)，(4)，所以(3)g，(logx在在唯一的零點(diǎn)，所，不成立排除故B.答案：解析：通解作出可行域，如圖陰影部分所示，由

y，得

故.出，直線，形結(jié)合可知，當(dāng)直線xy過時(shí)取得最大值，為1.

優(yōu)解作出行域圖中陰影部所示

AC線z過點(diǎn)A時(shí)，；直線zy過時(shí)，；直線z過時(shí)，z

11.以y的大值為答案：3解析：解法一

單位向量，且a，(a)，a，1a，a2

，2解法二如圖利用平行四邊形法則得O，，OAC正三角形，BAa

32

|3.

BnBn答案：解析設(shè)B

因?yàn)殡p曲線C:

2y2yb上點(diǎn)所所22ba2因?yàn)锳B的率為所B

2，所aca所ac

，所以

a

，得(舍去)或所以的離心率e

c

答案：

解析：依題意得，AE在AEC中，CAE余弦定理得

AE

AEcosEAC3cos30以EC，以CF又BCAC

AB

1BDAD

AB

6以在BCFBCCFBF中，由余弦定理得cos.221(3n答案：(2)S9

解析：(1)設(shè)

的公比為q，題設(shè)得a，即aqq

所以q

，得q(舍去，故.記為

項(xiàng)和由1)及題設(shè)可得，所以

，

n

可得3

n

n.所以

n

221221答案：(1)見解析；(2)

25

解析：(1)設(shè)DO，題設(shè)可得PO

6aa,AB，6

22

a因此22，而PA.又PA

PC

，故所以PA面PBC.以O(shè)為標(biāo)原點(diǎn)，OE的向?yàn)檩S方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.1由題設(shè)可得E(0,1,0),A(0,1,0),,,0P

2所以,設(shè)mx)是平面的向量，則

m0,m

即

2zy23可取2

2由1)知AP

是平面的個(gè)向量，記，n則nm.|n|所以二面角E的弦值為7答案：；(2)；(3)

25

解析：(1)甲連勝四場的概率為

根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比.比賽四場結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為乙連勝四場的概率為

；；1丙上場后連勝三場的概率為.8所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率為

1384丙最終獲勝，有兩種情況：1比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為；8比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝則第二場開始的四場比賽按照丙的勝負(fù)輪結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為111因此丙最終獲勝的概率為.1616

88

答案：

2

2；見解析解析：(1)由題設(shè)得A(B(.則AGa1).得

，a所以E的方程為

2

2

.設(shè)Cyt)若t0，直線的程為x由題意可知n.

121121tt由于直線PA方程為y(x，所以y

x

tt直線PB方程為yx，以.可得由于

x9

y

，9

，可得27yy(1

.①將代

2

2

得

mny22所以yym

代入①式得3解得n舍去，n.2故直線CD的程為x

32

，即直線CD過點(diǎn).若t，直線的方程為y，點(diǎn)綜上，直線CD定點(diǎn),0.答案：(1)見解析；(2)

.解析：(1)當(dāng)時(shí)(x

，f'(x)

.故當(dāng)時(shí)fx)；當(dāng)x(0,，f'(x所以f(x)在(上單調(diào)遞減，在(0,調(diào)增.f()

12

等于

ax

設(shè)函數(shù)()xe(x，'(xxxax

axa

(a1)(2)e

，由ii可得1解得，由ii可得1解得.(i)若