山西省臨汾市聯(lián)辦中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

山西省臨汾市聯(lián)辦中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）A．[） B．[） C．[） D．[）參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】設(shè)g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解關(guān)于a的不等式組可得．【解答】解：設(shè)g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），∴當(dāng)x＜﹣時，g′（x）＜0，當(dāng)x＞﹣時，g′（x）＞0，∴當(dāng)x=﹣時，g（x）取最小值﹣2，當(dāng)x=0時，g（0）=﹣1，當(dāng)x=1時，g（1）=e＞0，直線y=ax﹣a恒過定點（1，0）且斜率為a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故選：D【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．2.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z=﹣2x+y的最小值為（）A．﹣7B．﹣6C．﹣1D．2參考答案：A考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．解答：解：由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=﹣2x+y為y=2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=2x+z過B，即的交點（5，3）時，直線在y軸上的截距最小，z最小，為﹣2×5+3=﹣7．故選：A．點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題3.若直線(a+l)x+2y=0與直線x一ay=1互相垂直，則實數(shù)a的值等于(A)-1

(B)O

(C)1

(D)2參考答案：C略4.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則一定是函數(shù)圖象的對稱軸的直線是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱，記．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

A．

B．C．

D．參考答案：D略6.已知關(guān)于的方程有三個不相等實根，那么實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C考點：方程的根（函數(shù)零點）．7.當(dāng)n=3時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為

A、30B、14C、8D、6參考答案：B當(dāng)k＝1時，1≤3，是，進(jìn)入循環(huán)S=2，k＝,2時，2≤3，是，進(jìn)入循環(huán)S＝6，k＝3時8.函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是A.

B.(－∞,0)

C.

D.(0,+∞)參考答案：A9.如圖，已知等于 A． B． C． D．參考答案：C,選C.10.已知,滿足約束條件,若的最小值為,則（

） A． B． C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是．參考答案：【考點】基本不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】設(shè)t=2x+y，將已知等式用t表示，整理成關(guān)于x的二次方程，二次方程有解，判別式大于等于0，求出t的范圍，求出2x+y的最大值．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y則y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案為【點評】本題考查利用換元轉(zhuǎn)化為二次方程有解、二次方程解的個數(shù)由判別式?jīng)Q定．12..已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為－1，則實數(shù)a的值是______參考答案：1【分析】作出可行域，當(dāng)在y軸上的截距越小時，越大，平移，觀察圖象即可求解.【詳解】作出可行域如圖：由可得，平移直線，當(dāng)直線過點A時，有最大值，由得，解得或（舍去），故填1.13.在三棱錐P－ABC中，任取兩條棱，則這兩條棱異面的概率是＿＿＿＿參考答案：三棱錐中兩條相對的棱所在是直線是異面直線，共有3對，從6條棱中任取兩條，利用列舉法可知有15種取法，∴取到兩條棱異面的概率是．14.二項式的展開式中常數(shù)項為，則的值為

．參考答案：2

考點：二項式定理.15.已知平面區(qū)域內(nèi)有一個圓，向該區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投點，將點落在圓內(nèi)的概率最大時的圓記為⊙M，此時的概率P為____________．

參考答案：略16.甲、乙、丙、丁四人商量去看電影.

甲說：乙去我才去；

乙說：丙去我才去；

丙說：甲不去我就不去；

丁說：乙不去我就不去。最后有人去看電影，有人沒去看電影，去的人是

參考答案：甲乙丙17.直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點A（1，3），則b的值為

．參考答案：3【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題．【分析】由于切點在直線與曲線上，將切點的坐標(biāo)代入兩個方程，得到關(guān)于a，b，k的方程，再求出在點（1，3）處的切線的斜率的值，即利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再列出一個等式，最后解方程組即可得．從而問題解決．【解答】解：∵直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，當(dāng)x=1時，y'=3+a得切線的斜率為3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案為：3．【點評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.求橢圓的方程；過原點的直線與橢圓交于A、B兩點（A，B不是橢圓C的頂點），點在橢圓C上，且，直線與軸軸分別交于兩點。設(shè)直線斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；求面積的最大值.參考答案：（1）（2）詳見解析【知識點】圓錐曲線綜合橢圓【試題解析】（1），

設(shè)直線與橢圓交于兩點．不妨設(shè)點為直線和橢圓在第一象限的交點，

又∵弦長為，∴，∴，可得，

解得，∴橢圓方程為．

（2）（i）設(shè)，則，[來源:Z_xx_k．Com]

直線AB的斜率，又，故直線AD的斜率，

設(shè)直線AD的方程為，由題意知．

由可得．

所以因．

由題意知所以

所以直線BD的方程為

令y=0，得，可得，

所以．因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立．

（ii）直線BD的方程為．

令x=0得，即，

由（i）知，可得的面積．

因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

此時S取得最大值，所以的面積為最大．19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（其中a＞0），函數(shù)的圖象在與y軸交點處的切線為l1，函數(shù)的圖象在與x軸的交點處的切線為l2，且直線l1∥l2．（Ⅰ）求切線l1與l2的距離；（Ⅱ）若，滿足，求實數(shù)m的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時，試探究與2的大小，說明你的理由．參考答案：解析：（Ⅰ），，函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點為，函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點為，由題意得，即，又，∴．·············································································································2分∴，，所以函數(shù)與的圖象與其坐標(biāo)軸的交點處的切線方程分別為，，·············································································································3分∴兩條平行線間的距離為．············································································4分（Ⅱ）由得，故在上有解，令，只需．································································6分①當(dāng)時，，所以；②當(dāng)時，∵，∵，∴，，∴，故，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，此時．綜合①②得實數(shù)m的取值范圍是．···························································9分（Ⅲ）當(dāng)時，，理由如下：方法一、由題，，令，則，設(shè)是方程的根，即有則當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，································································12分∵，，∴，故，所以對于，．···························································14分方法二、由題，，令，，令，；，，······························12分∵，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，∴，所以對于，．

14分略20.設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1，對?x∈R，f（x）≥0恒成立．（1）求a的取值集合；（2）求證：1+．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）通過對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，討論f（x）的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的最小值；根據(jù)條件可得g（a）=a﹣alna﹣1≥0，討論g（a）的單調(diào)性即得結(jié)論；（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，通過令x=（k∈N*），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），然后累加即可得證．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=0，解得x=lna，當(dāng)x＞lna時，f′（x）＞0；當(dāng)x＜lna時，f′（x）＜0，因此當(dāng)x=lna時，f（x）min=f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．因為f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，所以f（x）min≥0，∴f（x）min=a﹣alna﹣1，所以a﹣alna﹣1≥0，令g（a）=a﹣alna﹣1，函數(shù)g（a）的導(dǎo)數(shù)為g′（a）=﹣lna，令g′（a）=0，解得a=1．當(dāng)a＞1時，g′（a）＜0；當(dāng)0＜a＜1時，g′（a）＞0，所以當(dāng)a=1時，g（a）取得最大值，為0．所以g（a）=a﹣alna﹣1≤0．又a﹣alna﹣1≥0，因此a﹣alna﹣1=0，解得a=1；故a的取值集合是{a|a=1}．（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，令x=（k∈N*），則＞ln（1+），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），累加，得1+++…+＞ln（n+1）﹣lnn+lnn﹣ln（n﹣1）+…+ln2﹣ln