山西省呂梁市利民學(xué)校2023年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

山西省呂梁市利民學(xué)校2023年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，直線和是函數(shù)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.已知映射f：M→N，其中集合M={（x，y）|xy=1，x＞0}，且在映射f的作用下，集合M中的元素（x，y）都變換為（log2x，log2y），若集合N中的元素都是集合M中元素在映射f下得到的，則集合N是（）A．{（x，y）|x+y=0} B．{（x，y）|x+y=0，x＞0} C．{（x，y）|x+y=1} D．{（x，y）|x+y=1，x＞0}參考答案：A【考點(diǎn)】映射．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意可知N中元素的橫縱坐標(biāo)之和為0，以此確定N中元素的條件即可．【解答】解：∵xy=1，x＞0，∴l(xiāng)og2x+log2y=log2xy=log21=0，由此排除C，D，由題意可知，N中的元素橫坐標(biāo)是任意實(shí)數(shù)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查映射的概念，注意對(duì)題目隱含條件的挖掘是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．3.若不等式3x2﹣logax＜0對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）=3x2，g（x）=﹣logax．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜），根據(jù)不等式3x2﹣logax＜0對(duì)任意恒成立，可得f（）≤g（），從而可得0＜a＜1且a≥，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=3x2，g（x）=﹣logax，（0＜x＜）∵不等式3x2﹣logax＜0對(duì)任意恒成立，∴f（）≤g（）∴3?﹣loga≤0．∴0＜a＜1且a≥，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[，1）．故選：A．4.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】把正方體的平面展開(kāi)圖還原成正方體ADNE﹣CMFB，由此能求出AM與BN所成角的大?。驹斀狻咳鐖D所示，把正方體的平面展開(kāi)圖還原成正方體ADNE﹣CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為90°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的大小的求法，也考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題．5.的圖象與坐標(biāo)軸的所有交點(diǎn)中，距離原點(diǎn)最近的兩個(gè)點(diǎn)為和，那么該函數(shù)圖象的所有對(duì)稱軸中，距離y軸最近的一條對(duì)稱軸是（）A．x=﹣1 B． C．x=1 D．參考答案：A【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】求出函數(shù)的解析式，即可求出該函數(shù)圖象的所有對(duì)稱軸中，距離y軸最近的一條對(duì)稱軸．【解答】解：由題意sin（）=0，0＜ω＜π，∴ω=，∴y=sin（x+），令x+=kπ+，可得x=3k﹣1（k∈Z），∴該函數(shù)圖象的所有對(duì)稱軸中，距離y軸最近的一條對(duì)稱軸是x=﹣1，故選A．6.（5分）設(shè)f（x）=，則f[f（﹣1）]=（） A． π+1 B． 0 C． π D． ﹣1參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)的值．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)分段函數(shù)，先求出f（﹣1）的值，然后計(jì)算即可．解答： 由分段函數(shù)可知，f（﹣1）=0，∴f[f（﹣1）]=f（0）=π，故選C點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查分段函數(shù)求值問(wèn)題，注意分段函數(shù)中自變量的取值范圍，比較基礎(chǔ)．7.已知滿足對(duì)，且時(shí)，（為常數(shù)），

則的值為（

）

A．4

B．-4

C．6

D．-6參考答案：B試題分析：由題設(shè)函數(shù)是奇函數(shù),故,即,所以,故應(yīng)選B.考點(diǎn)：分段函數(shù)的奇偶性及求值運(yùn)算.8..為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：A略9.已知，則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.已知定義在R上的減函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（﹣x）=0，則不等式f（1﹣x）＜0的解集為（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】由y=f（x）的奇偶性、單調(diào)性可得f（x）的圖象的對(duì)稱性及單調(diào)性，由此可把不等式化為具體不等式求解．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0，∴y=f（x）是奇函數(shù)，f（0）=0，∵y=f（x）是減函數(shù)，∴f（1﹣x）＜0，即f（1﹣x）＜f（0），由f（x）遞減，得1﹣x＞0，解得x＜1，∴f（1﹣x）＜0的解集為（﹣∞，1），故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖圓C半徑為1，A為圓C上的一個(gè)定點(diǎn)，B為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，B，C不共線，且對(duì)任意t∈（0，+∞）恒成立，則=

.參考答案：112.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，若△ABC的面積為，則ab=__參考答案：4【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，由余弦定理可得，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】，由正弦定理可得，，即：，由余弦定理可得，，可得，∵△ABC的面積為，可得，解得，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．13.在0°～360°范圍內(nèi)，與1000°角終邊相同的角：參考答案：280°14.已知集合A中元素在映射下對(duì)應(yīng)B中元素，則B中元素(4,－2)在A中對(duì)應(yīng)的元素為

．參考答案：(1,3)設(shè)中元素在中對(duì)應(yīng)的元素為，則，解得：，，即B中元素在中對(duì)應(yīng)的元素為，故答案為.

15.（4分）已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x﹣1）﹣2必過(guò)定點(diǎn)

．參考答案：（2，﹣2）考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 令x﹣1=1，可得x=2，并求得y=﹣2，故函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)．解答： 令x﹣1=1，可得x=2，并求得y=﹣2，故函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（2，﹣2），故答案為（2，﹣2）．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．16.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小為_(kāi)_______．參考答案：45°17.若對(duì)數(shù)函數(shù)y=f（x）圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），則其解析式是．參考答案：f（x）=log2x考點(diǎn)：求對(duì)數(shù)函數(shù)解析式．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用待定系數(shù)法求出對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式．解答：解：設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)y=f（x）=logax，（a＞0且a≠1），因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），所以f（4）=loga4=2，解得a=2，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為f（x）=log2x．故答案為：f（x）=log2x．點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是利用待定系數(shù)法求對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式，比較基礎(chǔ)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)(wx+)(A>0,W>0，｜｜)的圖象過(guò)點(diǎn)P（），圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q.（1）求的解析式。（2）在上是否存在的對(duì)稱軸，如果存在，求出其對(duì)稱軸方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：略19.（本題滿分10分）求使不等式成立的的集合（其中）參考答案：略20.（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足2acosC﹣（2b﹣c）=0．（1）求角A；（2）若sinC=2sinB，且a=，求邊b，c．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【分析】（1）由題意和正弦定理以及和差角的三角函數(shù)公式可得cosA=，進(jìn)而可得角A；（2）若sinC=2sinB，c=2b，由a=，利用余弦定理，即可求邊b，c．【解答】解：（1）在△ABC中，由題意可得2acosC=2b﹣c，結(jié)合正弦定理可得2sinAcosC=2sinB﹣sinC，∴2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，∴2cosAsinC=sinC，即cosA=，∴A=60°；（2）∵sinC=2sinB，∴c=2b，∵a=，∴3=b2+c2﹣2bc?，∴3=b2+4b2﹣2b2，∴b=1，c=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，涉及正余弦定理和和差角的三角函數(shù)，屬中檔題．21.數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，已知（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明．參考答案：（1）；（2）證明見(jiàn)詳解.【分析】(1)由已知結(jié)合可得，變形得，利用疊加法可求.(2)由可得，用放縮法證明不等式.【詳解】(1)由,得，以上兩式相減得，則.兩邊同除以，可得.，，…，，以上個(gè)式子相加得，又，則，所以.(2)證明：因?yàn)?，所?所以.記，則，當(dāng)時(shí)，，可得，所以.所以.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，不等式的證明.求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)一般需要構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列.放縮法是證明數(shù)列不等式的一種常用方法，有時(shí)需要保留前面的若干項(xiàng)，只把后面的各項(xiàng)放縮.22.己知圓C過(guò)點(diǎn)（，1），且與直線x=﹣2相切于點(diǎn)（﹣2，0），P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，A，B為圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)（點(diǎn)A在B上方），直線PA，PB分別與直線y=﹣3相交于點(diǎn)M，N．（1）求圓C的方程：（II）求證：在x軸上必存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使的值為常數(shù)，并求出這個(gè)常數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；J1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意得出圓C的圓心在x軸上，設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與半徑即可；（II）【解法一】由題意設(shè)出直線AP的方程，根據(jù)AP⊥BP寫出直線BP的方程，求出M、N的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示、和數(shù)量積?，計(jì)算?為常數(shù)時(shí)，在x軸上存在一定點(diǎn)Q．【解法二】由題意設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P在圓C上，結(jié)合直線AP的方程求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出、，計(jì)算數(shù)量積?為常數(shù)時(shí)，在x軸上存在一定點(diǎn)Q．【解答】解：（Ⅰ）∵圓C與直線x=﹣2相切于點(diǎn)（﹣2，0），∴圓C的圓心在x軸上，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+y2=r2（r＞0），則，解得a=0，r=2；∴圓C的方程為x2+y2=4；（II）【解法一】證明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，﹣2），又由已知可得直線AP的斜率存在且不為0，設(shè)直線AP的方程為y=kx+2（k≠0），∵AB是圓C的直徑，∴AP⊥BP，∴直線BP的方程為y=﹣x﹣2，聯(lián)立，解得；∴M（﹣，﹣3）；同理可求N（k，﹣3）；如圖所示，設(shè)Q（t，0），則=（﹣﹣t，﹣3），=（k﹣t，﹣3）；∴?=（﹣﹣t）（k﹣t）+（﹣3）×（﹣3）=t2+4+（﹣k）t，當(dāng)t=0時(shí)，?=4為常數(shù)，與k無(wú)關(guān)，即在x軸上存在一定點(diǎn)Q（