工程力學(xué)-2作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化

主講：譚寧副教授辦公室：教1樓北305工程力學(xué)1

工程實(shí)際問(wèn)題中，研究對(duì)象的受力相當(dāng)復(fù)雜。本章研究作用于剛體的力系的等效簡(jiǎn)化。迎面風(fēng)力側(cè)面風(fēng)力空間任意力系§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化2§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化傳動(dòng)軸(空間任意力系)

工程實(shí)際問(wèn)題中，研究對(duì)象的受力相當(dāng)復(fù)雜。本章研究作用于剛體的力系的等效簡(jiǎn)化。3基本力系匯交力系力偶系空間匯交力系平面匯交力系空間力偶系平面力偶系匯交力系和力偶系是力系中最簡(jiǎn)單的力系。工程實(shí)際中物體的受力一般都比較復(fù)雜，我們可以通過(guò)某種方法將復(fù)雜力系簡(jiǎn)化為這兩個(gè)基本力系。匯交力系是指力系中各力的作用線(xiàn)都匯交于一點(diǎn)的力系。力偶系一群力偶的集合?！?.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化4§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化力矩力偶的概念和性質(zhì)基本力系的合成與平衡力的平移定理空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成固定端約束作業(yè)題5——力矩力對(duì)物體可以產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)--取決于力矩的大小、轉(zhuǎn)向。移動(dòng)效應(yīng)--取決于力的大小、方向；§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化6

平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩

當(dāng)作用于剛體上的力作用線(xiàn)與矩心O在同一平面內(nèi)時(shí)，力對(duì)該平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩是一代數(shù)量。r規(guī)定：使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)。1.大小；2.方向。兩個(gè)要素：力矩等于力與力臂的乘積,是影響轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立因素。xy——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化7空間內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩xzyOFAd作用效應(yīng)取決于：⒈力矩的大?。?/p>

⒊力的作用線(xiàn)與矩心所組成的平面的方位。⒉力矩的轉(zhuǎn)向；

空間內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)矢量，力矩矢量是影響轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立因素。F——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化8右手螺旋定則：在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，以右手四指沿力方向，且掌心面向轉(zhuǎn)軸而握拳，大拇指所指方向即是力矩矢量的方向。F空間內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化9常用力矩矢量MO（F）來(lái)表示?？臻g內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化10

力矩矢量MO(F)的大小和方向都與矩心O的位置有關(guān)，因此，MO(F)是定位矢量。

單位矢量i,j,k前面的系數(shù)為力矩矢量MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影，即空間內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化11矢量叉積物理含義兩個(gè)向量a

和b

的叉積寫(xiě)作a×b

（有時(shí)也被寫(xiě)成a∧b，避免和字母x

混淆）。叉積可以被定義為：

在這里θ

表示

a

和b

之間的角度（0°≤θ≤180°），它位于這兩個(gè)矢量所定義的平面上。而n

是一個(gè)與a和b均垂直的單位矢量?？臻g內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化aba×b12力對(duì)軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化13力對(duì)軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量

力對(duì)軸之矩等于該力在與軸垂直的平面上的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)O之矩。它是代數(shù)量，正負(fù)規(guī)定特殊情況：當(dāng)力與軸在同一平面內(nèi)時(shí)，力對(duì)該軸的矩等于0?！亍?.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化14力矩關(guān)系定律而ΔOA1B1恰為ΔOAB在平面I上的投影。xzyOBAFFxyFzFxyA1B1為轉(zhuǎn)動(dòng)平面與平面I的夾角。當(dāng)γ為銳角時(shí)，Mz(F)為正；當(dāng)γ為鈍角時(shí)，Mz(F)為負(fù)，得到：此即力F對(duì)z軸之矩的分析表達(dá)式——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化15力對(duì)點(diǎn)之矩矢量在過(guò)該點(diǎn)之軸上的投影等于該力對(duì)該軸之矩。力矩關(guān)系定律力對(duì)點(diǎn)之矩的分析表達(dá)式又可寫(xiě)為：——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化16

例1：如圖所示，曲軸上A點(diǎn)作用力F1

、F2

、F3

。已知：F1=10kN，F(xiàn)2=5kN，F(xiàn)3=20kN，尺寸如圖。求各力對(duì)三軸之矩?！亍?.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化17解法一：按力對(duì)軸之矩定義計(jì)算:

——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化18解法二：用力對(duì)軸之矩的分析式計(jì)算：

三個(gè)力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為：三個(gè)力在軸上投影分別為：——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化19代入分析計(jì)算公式：可見(jiàn)，兩種方法計(jì)算結(jié)果相同。一般采用分析式計(jì)算可能會(huì)容易一些。但要注意每一個(gè)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)、力的投影以及正、負(fù)號(hào)不要弄錯(cuò)！

——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化20例2:

手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，AB=BC=l，CD=a，F(xiàn)在垂直于y軸的平面內(nèi)，夾角如圖，求力對(duì)x，y，z三軸之矩?！亍?.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化21解：D點(diǎn)的坐標(biāo)：xD=-l,yD=AB+CD=l+a,zD=0?！亍?.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化22例3:

空間力F沿棱邊為a的正方體的對(duì)角線(xiàn)AB作用，如圖，求MO(F)。——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化23解：——力矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化24

作用在物體上的一對(duì)大小相等、方向相反且作用線(xiàn)相互平行的兩個(gè)力稱(chēng)為力偶，記作(F,F’)。

——力偶的概念和性質(zhì)力偶作用效應(yīng)：可使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)?！?.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化25

作用在物體上的一對(duì)大小相等、方向相反且作用線(xiàn)相互平行的兩個(gè)力稱(chēng)為力偶，記作(F,F’)。

電機(jī)轉(zhuǎn)子所受的磁拉力——力偶的概念和性質(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化26FF'd力偶作用面力偶臂

力偶兩個(gè)力所在的平面，稱(chēng)為力偶作用面。兩力作用線(xiàn)之間的垂直距離，叫作力偶臂。力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向稱(chēng)為力偶的轉(zhuǎn)向。規(guī)定：使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)!——力偶的概念和性質(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化27雖然有，但它既不平衡，也不能合成為一個(gè)合力，只能使剛體產(chǎn)生純轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。因此，力偶是一個(gè)基本的力學(xué)量！其作用效果用力偶矩來(lái)度量?！ε嫉母拍詈托再|(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化28平面力偶在同一平面內(nèi)作用的力偶，各自的轉(zhuǎn)向在其作用面只能使物體有兩個(gè)可能的轉(zhuǎn)向，即逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)或順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。故平面力偶矩M是一個(gè)代數(shù)量。——力偶的概念和性質(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化29dF'FABO已知力偶(F，F(xiàn)’),O點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)。平面力偶1.大?。?.方向。平面力偶矩的兩個(gè)要素：d1d2力偶矩等于力與力偶臂的乘積，而與矩心位置無(wú)關(guān)。——力偶的概念和性質(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化30在空間力偶系的情況下，力偶矩需要用一個(gè)矢量M表示,矢量M的長(zhǎng)度：表示力偶矩的大?。?/p>

M的方位：垂直于力偶作用面；

指向：按右手螺旋規(guī)則，表示力偶的轉(zhuǎn)向。

空間力偶——力偶的概念和性質(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化31空間力偶rBAMO力偶中兩力對(duì)空間任一點(diǎn)之矩的矢量和等于該力偶矩矢，而與矩心的選擇無(wú)關(guān)?！ε嫉母拍詈托再|(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化以空間任一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)架。32空間力偶（1）大小；（2）力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向；（3）力偶作用面的方位。力偶三要素rBAMOdα力偶對(duì)剛體的作用，不取決于作用面在空間的具體位置，而取決于作用面在空間的方位?！ε嫉母拍詈托再|(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化33

如圖所示的三個(gè)力偶，分別作用在三個(gè)同樣的物塊上，力偶矩都等于200N·m。圖a、b中兩力偶的轉(zhuǎn)向相同，作用面又相互平行，因此，這兩個(gè)力偶對(duì)物塊的作用效果相同，使靜止物塊繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)；圖c中，雖然力偶矩的大小未變，但它使物塊繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，與前兩個(gè)力偶對(duì)物塊的作用效果不同?！ε嫉母拍詈托再|(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化34從力偶三要素可知，力偶矩矢量不必規(guī)定具體的作用點(diǎn)，亦無(wú)具體的作用線(xiàn)，僅僅規(guī)定了它在空間的方位及指向。因此，力偶矩矢量是自由矢量(僅針對(duì)剛體而言)?？臻g力偶——力偶的概念和性質(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化(對(duì)于變形體，力偶作用在不同截面處，變形效應(yīng)則不同)。

35力偶的性質(zhì)性質(zhì)1.

力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡，力偶只能用力偶來(lái)平衡?！ε嫉母拍詈托再|(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化36力偶的性質(zhì)

性質(zhì)2.力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩，與矩心的位置無(wú)關(guān)?！ε嫉母拍詈托再|(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化

性質(zhì)3.作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等、力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。推論1

保持力偶矩不變，分別改變力和力偶臂的大小，其對(duì)剛體的作用效果不變。

推論2

作用于剛體的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及平行平面內(nèi)自由搬移。37——力偶的概念和性質(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化力偶的表示方法平面力偶的圖上表示用力和力偶臂表示ABF1F1d用m或m表示.m表示大小,表示旋向.38——力偶的概念和性質(zhì)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化力偶的表示方法空間力偶的圖上表示力偶矩矢量39

——基本力系的合成與平衡匯交力系的合成與平衡匯交力系合力的作用線(xiàn)通過(guò)匯交點(diǎn)（作用線(xiàn)）；其大小和方向可用力系中各力矢所構(gòu)成的力多邊形的封閉邊矢量來(lái)表示（大小和方向）。F1F2F3FnFRF12F123FR幾何法在作力多邊形時(shí)，若任意變換各分力的先后順序，可得到形狀不同的力多邊形，但是這并不影響最后所得合力的大小和方向。§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化40匯交力系各力Fi

和合力FR在直角坐標(biāo)系中的解析表達(dá)式由合力投影定理得到匯交力系合力的大小和方向余弦

匯交力系的合成與平衡解析法

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化41匯交力系的合成與平衡從匯交力系合成結(jié)果顯然可得到，匯交力系平衡的充分必要條件是：力系的合力等于零，即FR=0。力多邊形自行封閉（或：各力矢量首尾相接，自行封閉）。用幾何法的語(yǔ)言描述就是：用解析法的語(yǔ)言描述就是：力系中所有各力在直角坐標(biāo)系各個(gè)軸上投影的代數(shù)和都等于零。即下面舉例說(shuō)明應(yīng)用。

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化42例一

如圖所示懸臂式起重機(jī)，梁OA受到平面匯交力系作用。

已知：OB=AB,θ=45.,重物D重

G=5kN,梁OA重不計(jì)。

求：鋼索BC的拉力及鉸鏈O的約束反力。

匯交力系的合成與平衡

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化43解：1、選取研究對(duì)象：梁OA

匯交力系的合成與平衡2、畫(huà)梁OA的受力圖：G、FB

、FO。構(gòu)成一平面匯交力系，匯交點(diǎn)為E

點(diǎn)，如圖.

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化44可分別用兩種方法求解：幾何法：作力多邊形如圖，是一自行封閉的三角形；由圖根據(jù)正弦定理求得匯交力系的合成與平衡

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化45(2)解析法:

取坐標(biāo)軸如圖所示，列平衡方程：注意：平衡方程的規(guī)范形式。匯交力系的合成與平衡解出：

FO

為負(fù)值，表示受力圖中FO

假定方向與正確指向相反。

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化46

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化FoyFox此時(shí)，研究對(duì)象所受力系轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫嫒我饬ο?！要按照平面任意力系的平衡方程?lái)求解。47例二重1kN的物體，用兩根鋼索AB、BC懸掛如圖所示。不計(jì)鋼索的重量，求鋼索的拉力。匯交力系的合成與平衡

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化48解：1.取重物為研究對(duì)象2.受力分析：已知重力W，鋼索對(duì)重物的拉力FAB和FBC。其受力圖如圖所示。匯交力系的合成與平衡WFBCFAB

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化49（1）幾何法根據(jù)受力圖作封閉的力三角形，如圖所示。作圖時(shí)，應(yīng)從已知力W作起，并根據(jù)各分力矢量首尾相接的矢序規(guī)則。根據(jù)正弦定理，有很容易解得FAB和FBC。匯交力系的合成與平衡

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化50（2）解析法取如圖所示的直角坐標(biāo)系。以x、y軸為投影軸列出平衡方程：聯(lián)立方程求解的FAB和FBC。匯交力系的合成與平衡注意：平衡方程的規(guī)范形式。

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化51

在用解析法求解時(shí)，為了避免解聯(lián)立方程，所選投影軸x、y的方位不一定是水平與鉛垂的，可以根據(jù)其中一根軸與未知力相垂直的原則選取，如圖所示。相應(yīng)的平衡方程為：從方程中第二式可以直接解出FAB，代入第一式就可以解出FBC。匯交力系的合成與平衡

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化52注意幾點(diǎn):幾何法的關(guān)鍵是要做封閉力多邊形（所舉例題為三角形）。各力矢量一定要首尾相接。解析法的關(guān)鍵是要列平衡方程，特別注意力投影的正、負(fù)號(hào)不要搞錯(cuò)。解題時(shí)一定要按照上述解題步驟，一步一步地做，切不可投機(jī)取巧。受力圖要完整畫(huà)出，平衡方程要規(guī)范。

匯交力系的合成與平衡

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化53力偶系：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的力偶組成的特殊力系。

平面力偶系空間力偶系若力偶系中各力偶均位于同一平面內(nèi)則為平面力偶系，否則為空間力偶系。力偶系的合成與平衡

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化54平面力偶系的合成

dP1P′1P2P′2d合力偶矩

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化55平面力偶系的合成

平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。合力偶矩用M表示：

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化56充要條件是:所有各分力偶矩的代數(shù)和等于零。

平面力偶系的平衡

§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化

基本力系的合成與平衡57平面力偶系的平衡

§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化

基本力系的合成與平衡OAGm例：如圖所示結(jié)構(gòu)，其自重為G，為使其保持在水平位置需施加多大的力偶。OAGFO解：由于力偶只能與力偶平衡，約束力FO和重力G必組成力偶。m58空間力偶系的合成

任意個(gè)空間分布的力偶可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化59空間力偶系的平衡充分必要條件：合力偶矩矢量等于零。投影式：需要注意的是：能夠與力偶平衡的只能是力偶。

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化60工件上作用有三個(gè)力偶如圖所示。已知：其力偶矩分別為M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距離l=200mm。求兩光滑螺柱所受的水平力。例四

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化61解：取工件為研究對(duì)象。FAFB由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)A和FB必組成力偶。對(duì)于力偶系平衡問(wèn)題，在分析約束反力方向時(shí)，不僅要根據(jù)約束特性，而且要正確利用力偶只能與力偶相平衡的概念去確定鉸鏈、固定端等約束反力的方向。

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化62例五

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化長(zhǎng)為l=4m的簡(jiǎn)支梁的兩端A、B

處作用有兩個(gè)力偶，大小各為M1=16N·m，M2=4N·m，轉(zhuǎn)向如圖。試求A、B支座的約束力。604mABM1M263

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化604mABM1M2由平衡方程∑M=0-M1+M2+FBlcos60o=0FB=6NFA、FB為正值，說(shuō)明圖中所設(shè)FA、FB的指向正確。FA=FB=6N－16+4+FB4cos60=0解：M1M2ABFAFBd64圖示桿CD有一導(dǎo)槽，該導(dǎo)槽套于桿AB的銷(xiāo)釘E上。今在桿AB、CD上分別作用一力偶如圖，已知其中力偶矩M1的大小為1000N·m，不計(jì)桿重。試求力偶矩M2的大小。例六

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化65解：以AB桿為研究對(duì)象，受力圖由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)E和FA組成力偶。FEFA以CD桿為研究對(duì)象，受力圖其中，F(xiàn)E′=FE。FE′FCFE′和FC組成力偶

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化66

如圖所示機(jī)構(gòu)的自重不計(jì)。圓輪上的銷(xiāo)子A放在搖桿BC上的光滑導(dǎo)槽內(nèi)。圓輪上作用一力偶，其力偶矩為M1=2kN·m

，OA=r=0.5m。圖示位置時(shí)OA與OB垂直,角α=30o,且系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上的力偶的矩M2

及鉸鏈O，B處的約束力。

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化例七BOrACM2M167BOrACM2M1

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化先取圓輪為研究對(duì)象。解：

因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平衡，所以，力FA與FO構(gòu)成一力偶，故

FA=–FO。OAM1FOFA68再取搖桿BC為研究對(duì)象。其中BOrACM2M1

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化BCAFBM269例八

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化圖示結(jié)構(gòu)，已知a、m，桿重不計(jì)。求：鉸A、C的反力。70圖示圓盤(pán)由O點(diǎn)處的軸承支持，在力偶M和力F的作用下處于平衡。能不能說(shuō)力偶被力F所平衡？為什么？FMO力矩和力偶有什么聯(lián)系？又有什么區(qū)別？

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化思考題：71如圖所示，在物體上作用有兩力偶(F1,F1′)和(F2,F2′)其力多邊形封閉。問(wèn)該物體是否平衡？為什么？F1F2F1′F2'F1F2F1′F2'

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化思考題：72注意學(xué)習(xí)并掌握靜力學(xué)解題的基本步驟：

（1）選取研究對(duì)象：按題目要求，考慮選取其中某一個(gè)或某幾個(gè)剛體為研究對(duì)象。

（2）分析受力：分析研究對(duì)象的受力情況，畫(huà)出完整的受力圖.

（3）如屬平衡問(wèn)題，則根據(jù)平衡條件（幾何條件或分析條件）求解.

*幾何法：畫(huà)出封閉的力多邊形，利用幾何關(guān)系計(jì)算未知力的大小和方向；

*分析法：選取坐標(biāo)軸，然后列對(duì)應(yīng)的平衡方程（注意平衡方程的規(guī)范），最后求解平衡方程。

——基本力系的合成與平衡§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化73平移定理：

——

力的平移定理須在該力與指定點(diǎn)B所決定的平面內(nèi)附加一力偶，其力偶矩等于原力F對(duì)指定點(diǎn)B之矩。到剛體內(nèi)任一指定點(diǎn)B若不改變?cè)摿?duì)于剛體的作用，則必作用在剛體上A點(diǎn)的力F可以平行移動(dòng)§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化74①力的平移定理的逆定理同時(shí)存在,即力的平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力+力偶

②力的平移定理是力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)。

——

力的平移定理§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化②力的平移定理是分析力對(duì)物體作用效應(yīng)的重要方法。75“旋轉(zhuǎn)球”

——

力的平移定理§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化使得球既向前移動(dòng)，又作轉(zhuǎn)動(dòng)。

76

——

力的平移定理§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化問(wèn)：能否將力F從D點(diǎn)移動(dòng)到E點(diǎn)并附加力偶。ABDCEFMd

分析：不能。力的移動(dòng)只能在同一個(gè)剛體上；因?yàn)閯偧懿皇且粋€(gè)剛體，所以力F不能從D點(diǎn)平移到E點(diǎn)，即使是加附加力偶也不行。77平面力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成

——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成思路：

應(yīng)用力的平移定理，將平面力系分解成兩個(gè)力系，即平面匯交力系和平面力偶系，然后，再將兩個(gè)力系分別合成。設(shè)有一平面力系Fl

、F2

、…、Fn

。在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，稱(chēng)為簡(jiǎn)化中心。§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化78平面力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成主矢：平面力系中所有各力的矢量和FR′

；主矩：各力對(duì)于簡(jiǎn)化中心O之矩的代數(shù)和MO。合力：合力偶矩：主矢、主矩是描述平面力系特征的兩個(gè)物理量。——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化79合力矩定理

平面力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和?！臻g任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化平面力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成80

平面力系向作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，一般可得一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力等于該力系的主矢，作用于簡(jiǎn)化中心O；這個(gè)力偶的矩等于該力系對(duì)于O點(diǎn)的主矩。

平面力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成一般情況下，主矩和簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。由于主矢只是力系中各力的矢量和，與簡(jiǎn)化中心的選擇沒(méi)有關(guān)系?！臻g任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化結(jié)果：81主矢FR′主矩MO合成結(jié)果00平衡0非0力偶非00力非0非0力平面力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化討論：82（2）

簡(jiǎn)化為一力偶,

即M=MO

。此時(shí)等效于只有一個(gè)力偶的作用。因?yàn)榱ε伎梢栽趧傮w平面內(nèi)任意移動(dòng)，故這時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化中心O無(wú)關(guān)。（3）簡(jiǎn)化為一個(gè)作用于簡(jiǎn)化中心的合力。這時(shí)，簡(jiǎn)化結(jié)果就是這個(gè)力系的合力。（注意：此時(shí)簡(jiǎn)化結(jié)果與簡(jiǎn)化中心有關(guān)，換個(gè)簡(jiǎn)化中心，主矩不為零）（1）力系平衡,下節(jié)專(zhuān)門(mén)討論。

——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化83（4）力系的主矢、主矩都不等于零時(shí)，根據(jù)力的平移定理的逆定理，主矢和主矩可合成為一合力。

合力的大小等于原力系的主矢，合力的作用線(xiàn)位置由公式（*）確定?！臻g任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化84平面力系合成的可能結(jié)果為：合成為一個(gè)力偶

合成為一個(gè)力

平衡

——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化85例1:

如圖,求簡(jiǎn)支梁上線(xiàn)性分布載荷的合力?！臻g任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化將荷載分布在線(xiàn)、面、體上的即為分布荷載，對(duì)應(yīng)的分別為線(xiàn)性分布荷載，面荷載，體荷載。

為了描述分布力，引入分布力集度q(x),即單位長(zhǎng)度上的力.如圖所示的線(xiàn)性分布載荷，屬于平面平行力系.86例1:

如圖,求簡(jiǎn)支梁上線(xiàn)性分布載荷的合力。在坐標(biāo)

x處取長(zhǎng)為dx

的微段，其集度為：在此微段上的荷載為：（1）確定合力的大小解：因此，合力Q的大小為：——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化87（2）確定合力的作用點(diǎn)例1:

如圖,求簡(jiǎn)支梁上線(xiàn)性分布載荷的合力。——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化88例2:

如圖,求懸臂梁上均布載荷的合力。yxdxx在坐標(biāo)

x處取長(zhǎng)為dx

的微段，其集度為：（1）確定合力的大小解：在此微段上的荷載為：合力Q的大小為：（2）確定合力的作用點(diǎn)QxCC——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化89q2q1可以看作一個(gè)三角形分布力和一個(gè)均勻分布力的疊加在以后碰到分布力時(shí)，先進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，然后在求解。例3:如圖，梯形分布力向一點(diǎn)簡(jiǎn)化——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化90結(jié)論：1、合力的大小等于線(xiàn)載荷所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線(xiàn)載荷的方向相同。3、合力的作用線(xiàn)通過(guò)載荷圖的形心。qQxyxxCdx——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化91例4：在長(zhǎng)方形平板的O，A，B，C點(diǎn)上分別作用著有四個(gè)力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN，試求該力系對(duì)O點(diǎn)的簡(jiǎn)化結(jié)果，以及該力系的最簡(jiǎn)合成結(jié)果。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化92解：1.求主矢。建立如圖坐標(biāo)系Oxy。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°主矢的大小主矢的方向——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化93由于主矢和主矩都不為零，故最簡(jiǎn)合成結(jié)果是一個(gè)合力FR。如圖所示。且合力FR到O點(diǎn)的距離2.求主矩§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成

平面力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成FRd94

空間力系的簡(jiǎn)化與合成合力合力偶矩

設(shè)有一平面力系Fl

、F2

、…、Fn

。在空間內(nèi)任選一點(diǎn)O，稱(chēng)為簡(jiǎn)化中心。利用力的平移定理，得到一個(gè)空間匯交力系和空間力偶系?！臻g任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化951.

主矢：指原空間一般力系各力的矢量和。

主矢的解析求法注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。大小:方向:

空間力系的簡(jiǎn)化與合成——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化96⒉

主矩：指原空間一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的矢量和。

大?。阂蛑骶氐扔诟髁?duì)簡(jiǎn)化中心之矩的矢量和，所以它的大小和方向與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。注意：主矩的解析求法方向：空間力系的簡(jiǎn)化與合成——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化97

空間一般力系向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，一般可以得到一合力和一合力偶；該合力作用于簡(jiǎn)化中心，其大小及方向等于該力系的主矢，該合力偶矩矢量等于該力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩?？臻g力系的簡(jiǎn)化與合成結(jié)論：——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化98

1.空間力系平衡的情形

若主矢FR'

=0，主矩MO=0，這時(shí)，該空間力系平衡。

空間力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可能出現(xiàn)下列四種情況，即

(1)FR'=0，MO=0；(2)FR'=0，MO≠0；

(3)FR'≠0，MO=0；(4)FR'≠0，MO≠0。

2.空間力系簡(jiǎn)化為一合力偶的情形

若主矢FR'=0，主矩MO≠0，這時(shí)得一力偶。此時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化中心O的位置無(wú)關(guān)?！臻g任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化結(jié)果的討論99

3.空間力系簡(jiǎn)化為一合力的情形

（3.1）若主矢FR'≠0,而主矩MO=0，這時(shí)得一力。顯然，這力與原力系等效，即空間力系合成為一合力，合力的作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心O，合力矢等于原力系的主矢?！臻g任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化結(jié)果的討論100（3.2）若主矢FR'

≠0，主矩MO≠0，且FR'⊥MO，如圖a所示。這時(shí)，力FR'和力偶（FR",FR）在同一平面內(nèi)，如圖b所示。故可將力FR'和力偶（FR",FR）進(jìn)一步合成，得作用于O'的一個(gè)力FR

，如圖c所示。O’——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化

3.空間力系簡(jiǎn)化為一合力的情形數(shù)學(xué)條件：101若主矢FR'≠0,主矩MO≠0，但FR'∥MO，如圖所示。右螺旋左螺旋這種結(jié)果稱(chēng)為力螺旋。所謂力螺旋，就是由一力和一力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。

——空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡(jiǎn)化

4.空