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山西省臨汾市霍州李曹鎮(zhèn)聯(lián)合學(xué)校2021年高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.長(zhǎng)方體的三個(gè)相鄰面的面積分別是2、3、6,這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積為()A.B.56πC.14πD.16π參考答案:C略2.在等比數(shù)列中,已知,則等于(
)A.16
B.6
C.12
D.4參考答案:D略3.直線L1:ax+3y+1=0,
L2:2x+(a+1)y+1=0,
若L1∥L2,則a=(
)
A.-3
B.2
C.-3或2
D.3或-2參考答案:A略4.方程的解集為M,方程的解集為N,且那么(
)A.21
B.8
C.6
D.7參考答案:A略5.已知向量、滿足||=1,||=2,且(4+)⊥,則與的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°參考答案:C【考點(diǎn)】9R:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】根據(jù)(4+)?=0得出=﹣1,從而得出cos<>.【解答】解:∵(4+)⊥,∴(4+)?=4+=0,∴=﹣b2=﹣1.∴cos<>===﹣,∴<>=120°.故選C.6.(3分)函數(shù)的圖象是() A. B. C. D. 參考答案:B考點(diǎn): 指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).專(zhuān)題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到答案解答: 數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0,1),且為減函數(shù),故選:B.點(diǎn)評(píng): 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題7.已知集合參考答案:略8.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若,,則數(shù)列{an}的公差d=(
)A.-2 B.2 C.-1 D.1參考答案:B【分析】直角利用待定系數(shù)法可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,所?【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的相關(guān)計(jì)算,難度不大.9.cos240°的值是()A. B. C. D.參考答案:C【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值.【分析】將240°表示成180°+60°,再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),再由特殊角的三角函數(shù)值求值.【解答】解:由題意得,cos240°=cos(180°+60°)=﹣cos60°=﹣,故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,熟記口訣:奇變偶不變,符號(hào)看象限,并會(huì)運(yùn)用,注意三角函數(shù)值的符號(hào).10.(5分)已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為ABCD的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為() A. π B. 4π C. D. 2π參考答案:C考點(diǎn): 球的體積和表面積.專(zhuān)題: 計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離;球.分析: 由正四棱柱的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng),可以求出四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng),就是外接球的直徑,然后求出球的體積.解答: 因?yàn)檎睦庵酌孢呴L(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為,所以它的體對(duì)角線的長(zhǎng)是=2.所以球的直徑是2,半徑r為1.所以這個(gè)球的體積是:r3=π.故選:C.點(diǎn)評(píng): 本題考查正四棱柱的外接球的體積.考查空間想象能力與計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=a,公比為q,則++…+=
。參考答案:12.不等式的解集為R,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
參考答案:13.在等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項(xiàng)和,若
參考答案:
14.在△ABC中,,,,則
.參考答案:
15.已知滿足的約束條件則的最小值等于
.參考答案:略16.科學(xué)家發(fā)現(xiàn),兩顆恒星A與B分別與地球相距5億光年與2億光年,且從地球上觀測(cè),它們的張角為60o,則這兩顆恒星之間的距離為 億光年。參考答案:略17.不等式tanx≥的解集為
.參考答案:
【考點(diǎn)】三角函數(shù)線.【分析】結(jié)合函數(shù)y=tanx的圖象求得x的范圍.【解答】解:結(jié)合函數(shù)y=tanx的圖象可得不等式tanx≥﹣的解集為.故答案為.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.其中且.(1)求f(x)的解析式;(2)解關(guān)于x的不等式,結(jié)果用集合或區(qū)間表示.參考答案:解:(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∴f(-x)=a-x-1.由f(x)是奇函數(shù),有f(-x)=-f(x),∵f(-x)=a-x-1,∴f(x)=-a-x+1(x<0).∴所求的解析式為.
.………6分(2)(法一)不等式等價(jià)于或,即或.當(dāng)a>1時(shí),有或,可得此時(shí)不等式的解集為.同理可得,當(dāng)0<a<1時(shí),不等式的解集為R.綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為;當(dāng)0<a<1時(shí),不等式的解集為R.
.………12分(法二)圖象求解也可.
19.數(shù)列{an}滿足a1=0,且an,n+1,an+1成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案:【考點(diǎn)】8E:數(shù)列的求和;8H:數(shù)列遞推式.【分析】(1)利用已知an,n+1,an+1成等差數(shù)列,得遞推關(guān)系式,分類(lèi)討論可得通項(xiàng)公式.(2)討論n的奇偶性,分別求和.【解答】解:(1){an}滿足a1=0,且an,n+1,an+1成等差數(shù)列.∴an+an+1=2(n+1),a2=4.n≥2時(shí),an﹣1+an=2n.∴an+1﹣an﹣1=2.∴數(shù)列{an}奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,公差為2.n為奇數(shù)時(shí),an=0+×2=n﹣1.n為偶數(shù)時(shí),an=4+×2=n+2.故an=.(2)n為偶數(shù)時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an﹣1+an)=2×2+2×4+…+2×n=2×=.n為奇數(shù)時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=Sn﹣1+an=+n﹣1=.∴Sn=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、分類(lèi)討論方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.20.(本小題滿分12分)已知,,,且,,求點(diǎn)及向量的坐標(biāo).參考答案:解:因?yàn)?,,所以,.
……...3分
設(shè),則.
由得=,即.
……………7分
解得,即.
…9分
同理可得.
………………11分
所以.
…………….12分略21.如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得,已知平面,為的中點(diǎn)(1)求證:∥平面(2)求證:平面平面(3)求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值
參考答案:⑴取DE
D中點(diǎn)G,建系如圖,則A(0,,0)、B(0,-1,0)、C(1,0,0)、D(-1,0,1),E(1,0,3)、F(0,,2)、G(0,0,2),設(shè)平面DEF的一法向量=(x,y,z),⑵顯然,平面BCED的一法向量為=(0,1,0),·=0,∴平面DEF^平面BCED⑶由⑴知平面DEF的一法向量=(1,0,-1),平面ABC的一法向量=(0,0,1),
cos<,>==-
∴求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值為.22.(12分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=,AB=1,AD=2,E為BC的中點(diǎn)(1)求點(diǎn)A到面A1DE的距離;(2)設(shè)△A1DE的重心為G,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得=且MG⊥平面A1ED同時(shí)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.參考答案:考點(diǎn): 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算;直線與平面垂直的性質(zhì).專(zhuān)題: 空間位置關(guān)系與距離.分析: (1)由題意求出AE、DE的長(zhǎng)度,由勾股定理得到AE和DE垂直,再由幾何體為長(zhǎng)方體得到DE⊥AA1,從而得到平面A1AE⊥平面A1ED,取A1E的中點(diǎn)H后連結(jié)AH,得到AH的長(zhǎng)度為點(diǎn)A到面A1DE的距離,然后在直角三角形A1AE中求解即可;(2)過(guò)G作GM∥AH交AD于M,由AH⊥面A1DE得到MG⊥面A1DE,再利用重心的性質(zhì)及平行線截線段成比例定理得到λ的值.解答: 如圖,(1)由題意求得AE=,DE=,又AD=2,∴AE2+ED2=AD2,∴AE⊥DE.又DE⊥AA1,AA1∩AE=A,AA1?面A1AE,AE?面A1AE,∴DE⊥面A1AE,∴平面A1AE⊥平面A1ED,∵,取A1E的中點(diǎn)H,AH⊥A1E,AH⊥DE,A1E∩ED=E,A1E?面A1DE,ED?面A1DE,∴AH⊥面A1DE,AH為點(diǎn)A到面A
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