有限元分析及應(yīng)用-01-2-袁銳-變分法基礎(chǔ)

1HUST-XD-D-1007-2013有限元分析及應(yīng)用袁銳01變分法基礎(chǔ)2

變分法基礎(chǔ)

FundamentalsofVariationalCalculus3變分及其特性1.泛函的定義在函數(shù)論中，自變量x對(duì)應(yīng)著另一變量y，稱(chēng)變量y為自變量x的函數(shù)y(x)。如果自變函數(shù)y(x)對(duì)應(yīng)著另一個(gè)函數(shù)J[y(x)],則稱(chēng)J[y(x)]為泛函。也即，泛函是函數(shù)的函數(shù)。如圖2.1所示，通過(guò)兩點(diǎn)A(x1,y1)及B(x2,y2)的曲線長(zhǎng)度是函數(shù)的函數(shù)

于是這一問(wèn)題的泛函是通過(guò)兩點(diǎn)的長(zhǎng)度。通過(guò)兩點(diǎn)的函數(shù)很多，因此泛函值也很多，然而其中最短的只有一個(gè)，這就是泛函極值問(wèn)題。變分原理就是研究泛函極值問(wèn)題或駐值問(wèn)題。4【定義】函數(shù)y(x)與另一函數(shù)Y(x)之差叫做函數(shù)y(x)的變分。（定義中的x泛指單元或多元變量）1.函數(shù)的變分(Variation)說(shuō)明：（1）與函數(shù)增量y的區(qū)別

變分y反映的是整個(gè)函數(shù)的改變?cè)隽?/p>

y反映的是同一函數(shù)y(x)因?yàn)閤取不同值而產(chǎn)生的差異（2）與微分的關(guān)系如果y(x)和y=Y(x)-y(x)都可求導(dǎo)，則即：函數(shù)變分的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變分。換言之，函數(shù)求導(dǎo)與求變分這兩種運(yùn)算的順序是可以變換的。53.泛函的連續(xù)性(continuity)【定義】如果當(dāng)y(x)產(chǎn)生微量改變，有相應(yīng)的J[y(x)]的微量改變，則就說(shuō)J[y(x)]是連續(xù)的?！径x】如果對(duì)于任意給定的一個(gè)正數(shù)，可以找到一個(gè)，且就稱(chēng)泛函J[y(x)]在y(x)=y1(x)有m階連續(xù)，記為Cm。能使…C0C1圖2.262.泛函的變分A.泛函的增量定義可展開(kāi)為泛函的線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)是y(x)的線性泛函自變函數(shù)的變分所引起的泛函的增量線性泛函是指滿足下列條件的泛函其中C為常數(shù)7當(dāng)泛函的變分定義為時(shí)，有是非線性泛函項(xiàng)，是y(x)的同階或高階的微量是y(x)的最大值因此，泛函的變分是泛函增量的主部，且該主部對(duì)于是線性的8

【例題】給出泛函

求變分【解答】9B.泛函的拉格朗日定義設(shè)按則泛函的增量可寫(xiě)成引入將進(jìn)行泰勒展開(kāi)10

【例題】給出泛函

求變分【解答】11

【例題】給出泛函

求變分【解答】

【例題】給出泛函

求變分【解答】123.泛函的運(yùn)算