概率論與數(shù)理統(tǒng)計8

2.4事件的獨立性兩個事件的獨立性多個事件的獨立性獨立性的概念在計算概率中的應用顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.一、兩事件的獨立性A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設

由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B相互獨立，簡稱A、B獨立.兩事件獨立的定義

例從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,

前面我們是根據(jù)兩事件獨立的定義作出結論的，也可以通過計算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},

在實際應用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

可見P(A)=P(A|B),

即事件A、B獨立.則P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13

在實際應用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立.甲、乙兩人向同一目標射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）

一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨立.因為第二次抽取的結果受到第一次抽取的影響.又如：因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？

即若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不獨立我們來計算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即設A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：

前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習.=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B獨立概率的性質(zhì)=P(A)-P(A)P(B)僅證A與獨立定理2

若兩事件A、B獨立,則

也相互獨立.證明=P(A)P()故A與獨立二、多個事件的獨立性

對于三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四個等式同時成立,則稱事件A、B、C相互獨立.請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?對獨立事件，許多概率計算可得到簡化三、獨立性的概念在計算概率中的應用即

例4三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解將三人編號為1，2，3，所求為記Ai={第i個人破譯出密碼}i=1,2,3已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]

例5下面是一個串并聯(lián)電路示意圖.A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率.求電路正常工作的概率.

解將電路正常工作記為W，由于各元件獨立工作，有其中P(W)0.782代入得四、小結

這一講，我們介紹了事件獨立性的概念.不難發(fā)現(xiàn)，當事件相互獨立時，乘法公式變得十分簡單，因而也就特別重要和有用.如果事件是獨立的，則許多概率的計算就可大為簡化.2.5重復獨立實驗、

二項概率公式一、伯努利概型的定義二、二項概率公式三、伯努利概型的計算

重復獨立試驗1.定義(重復獨立試驗)

設進行n次隨機試驗,如果在每次試驗中任一事件出現(xiàn)的概率與其他各次試驗的結果無關,則稱這n次試驗是相互獨立的.將一個試驗重復獨立進行n次,稱為n次重復獨立試驗.則稱這n次重復試驗為n重伯努利試驗，簡稱為伯努利概型.若n

次重復試驗具有下列特點：2.n重伯努利(Bernoulli)試驗1)每次試驗的可能結果只有兩個A或2)各次試驗的結果相互獨立，(在各次試驗中p是常數(shù)，保持不變）實例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗.實例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點”,就是

n重伯努利試驗.一般地，對于伯努利概型，有如下公式：定理如果在伯努利試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),則在n次試驗中，A恰好出現(xiàn)k

次的概率為：3.二項概率公式（其中k=0，1，2，···，n）試驗總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)一次試驗中事件A發(fā)生的概率推導如下：且兩兩互不相容.稱上式為二項分布.記為例1解

例2：金工車間由10臺同類型的機床，每臺機床配備的電動機功率為10千瓦.已知每臺機床工作時，平均每小時實際開動12分鐘，且開動與否是相互獨立的。現(xiàn)因當?shù)仉娏o張，供電部門只供50千瓦的電力給這