水文學(xué)-2統(tǒng)計方法

水文統(tǒng)計簡介Hydrologicstatistics水文現(xiàn)象具有二重性：水文現(xiàn)象包含著必然性(Inevitability)水文現(xiàn)象也包含著偶然性(Contingency)

，對水文的偶然現(xiàn)象（或稱隨機(jī)現(xiàn)象）所遵循的規(guī)律一般稱做統(tǒng)計規(guī)律。1.概述物理成因分析法概率論和數(shù)理統(tǒng)計分析方法水文分析計算常用到數(shù)理統(tǒng)計的方法預(yù)測流域內(nèi)未來的河道來水量（徑流量），以對流域或地區(qū)水資源開發(fā)利用進(jìn)行合理規(guī)劃；弄清未來時期河流中可能的洪水量及其過程，以確定工程的規(guī)模。這種對未來長期的徑流情勢（屬隨機(jī)變量）的估計，只能依據(jù)其統(tǒng)計規(guī)律，利用數(shù)理統(tǒng)計的方法進(jìn)行“概率預(yù)估”。所謂“概率預(yù)估”，即分析水文變量出現(xiàn)大過或小于某個數(shù)值的可能性為多少。2.1概率和頻率的基本概念

1)概率（Probability）

為了比較某隨機(jī)事件出現(xiàn)（或不出現(xiàn))的可能性大小，必然賦予一種量化的（以數(shù)量表示)指標(biāo)，這個數(shù)量指標(biāo)就是事件的概率。2.水文隨機(jī)變量及其分布參數(shù)

Randomvariables&distributionparameters

式中，P(A)

：一定條件下隨機(jī)事件A的概率；

n

：試驗中所有可能的出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；

m

：出現(xiàn)隨機(jī)事件A的結(jié)果數(shù)。簡單(古典)的隨機(jī)事件的概率定義用下式表示：以上公式適合于古典概率事件，其特點(diǎn)是：

試驗的所有可能結(jié)果是等可能的；

試驗的所有可能結(jié)果總數(shù)是有限的隨機(jī)事件但水文事件不一定符合這種性質(zhì)。對于不是古典概型事件，只能通過多次重復(fù)試驗來估計事件的概率。設(shè)事件A在n次隨機(jī)試驗中出現(xiàn)了m次，則定義：2）頻率

（Frequency）為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率。注意：n

不是所有可能的結(jié)果總數(shù)，僅是隨機(jī)試驗的次數(shù)。皮爾遜試驗：

丟幣次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)頻率

1200060190.501624000120140.5005當(dāng)試驗次數(shù)n不大時，事件頻率有明顯的不穩(wěn)定性。當(dāng)試驗次數(shù)n

增加到充分大時，事件頻率顯著地出現(xiàn)穩(wěn)定的趨勢，例如：頻率:

頻率是通過若干次試驗后才能求得的經(jīng)驗值，事先不能確定，當(dāng)試驗次數(shù)n愈大，即當(dāng)n趨于無窮大時，理論上，n變成試驗中所有可能的結(jié)果總數(shù)，則頻率愈接近概率。概率和頻率的區(qū)別：概率:

在等可能條件下，表達(dá)事件客觀上出現(xiàn)的可能性大小，是一個理論值。

因此，當(dāng)事件不能歸結(jié)為古典概率型時就可以通過多次試驗，把事件的頻率作為事件的概率近似值。一般將這樣估計而得的概率稱為統(tǒng)計概率/經(jīng)驗概率。

因為各種水文要素其可能出現(xiàn)的總數(shù)是無限的，可見水文現(xiàn)象的概率不能視為古典概率。因此，通常將有限的實(shí)測水文數(shù)據(jù)當(dāng)作多次重復(fù)試驗結(jié)果，故可用公式（，式中n為事件A

隨機(jī)試驗次數(shù)）推求的頻率作為概率的近似值。

總體

（Population/Totality）

在統(tǒng)計數(shù)學(xué)中，把某種隨機(jī)變量所取數(shù)值的全體，稱為總體。

水文隨機(jī)變量如年徑流量的總體數(shù)是無窮的，故無法取得總體。統(tǒng)計學(xué)中幾個概念：

樣本（Sample）

從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分，稱為樣本。樣本所包含的項數(shù)，稱為樣本容量。

如實(shí)測的水文數(shù)據(jù)是有限的，是一樣本。

它是指隨機(jī)試驗結(jié)果的一個數(shù)量。在水文學(xué)中，常用大寫字母表示，記作X，而隨機(jī)變量的可能取的值記作x，即：

X=x1,X=x2,

X=xn

隨機(jī)變量的集合稱之為隨機(jī)系列或隨機(jī)數(shù)列。

水文隨機(jī)變量的表示:

離散型隨機(jī)變量

Discreterandomvariable

隨機(jī)變量僅取得區(qū)間內(nèi)某些間斷的離散值，則稱為離散型隨機(jī)變量。如洪峰次數(shù)，只能取0,1,2…，不能取相鄰兩數(shù)值之間的任何值。水文隨機(jī)變量的分類:

連續(xù)型隨機(jī)變量

Continuousrandomvariable

隨機(jī)變量可以取得一個有限區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。如某河流斷面的流量可以取0~

極限值之間的任何實(shí)數(shù)值。

對于離散型隨機(jī)變量：

隨機(jī)變量的取某一可能值的機(jī)會有的大有的小，即隨機(jī)變量取值都有一定的概率與之相對應(yīng)，可表示為：2）隨機(jī)變量的概率分布

上式中P1,P2,…Pn

表示隨機(jī)變量X

取值x1,x2,…xn

所對應(yīng)的概率。

x1x2x3x4……xnXP

離散型隨機(jī)變量概率分布圖一般將這種對應(yīng)關(guān)系稱作隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律，簡稱為分布律?？梢杂靡韵碌姆植紙D形表示：

由于它的所有可能取值有無限個，水文學(xué)上習(xí)慣研究隨機(jī)變量的取值等于或大于某個值的概率，表示為：

它是x的函數(shù)，稱作隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)(Distributionfunction)，記作F(x)，即

F(x)=P(Xx)

表示隨機(jī)變量X大于或等于值x的概率，其幾何曲線稱作隨機(jī)變量的概率分布曲線（水文學(xué)上通常稱累計頻率曲線，簡稱頻率曲線）。對于連續(xù)型隨機(jī)變量：

由圖中可知，X=900，相應(yīng)的P(Xx)=0.15，說明大于等于900mm降雨的可能性為15%；同理，大于等于500mm降雨的可能性為60%00.20.40.60.81.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲線

P(Xx)3.水文中常用的概率分布曲線3.1正態(tài)分布（Normaldistribution）

(8-9)式中，：平均數(shù)；

：標(biāo)準(zhǔn)差。許多隨機(jī)變量如水文測量誤差、抽樣誤差等一般服從正態(tài)分布。f(x)

a.

單峰，只有一個眾數(shù)；

b.

對于平均數(shù)對稱,Cs=0；

c.

曲線二端趨于±∞，

并以x

軸為漸近線;

d.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)上可以證明：正態(tài)分布的密度曲線在處出現(xiàn)拐點(diǎn)，而且：f(x)概率密度函數(shù)表達(dá)式：

3.2皮爾遜Ⅲ型分布

（PearsonTypeIIIdistribution）式中,()~

的伽瑪函數(shù),,,a

0：三個參數(shù)，與三個統(tǒng)計參數(shù)有一定的關(guān)系，其表達(dá)式為：可見，當(dāng)以上三個參數(shù)確定后，P-III型密度函數(shù)亦完全確定。f(x)皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線

a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲線的特點(diǎn)：一端有限另一端無限的不對稱單峰正偏曲線，很多水文變量均符合P-III型分布。在水文計算中，一般要求出指定概率P

所相應(yīng)的隨機(jī)變量的取值xP，即求出的xP滿足下列等式：按上式計算相當(dāng)復(fù)雜，故實(shí)用中，采用標(biāo)準(zhǔn)化變換：取標(biāo)準(zhǔn)變量(離均系數(shù))，即代入上式，,,a0以相應(yīng)的和關(guān)系式表示，簡化后得：0.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)PCsP-III型曲線離均系數(shù)P值表被積函數(shù)含有參數(shù)

,Cs

，而包含在

中，制成對應(yīng)關(guān)系表：可見，只要已知指定概率P

和三個統(tǒng)計參數(shù)，則可求出相應(yīng)于P的隨機(jī)變量的取值xP因此，由給定的CS

及P，從P-III型曲線離均系數(shù)值表，查出P

值，再依據(jù)均值和離差系數(shù)，由下式可求出指定概率P

所相應(yīng)的隨機(jī)變量的值xP

已知:

某地年平均降雨量

=1000mm,CV=0.5,CS=1.0,假定年降雨量符合P-III型分布試求：P=1%

的年降雨量?！舅憷壳蠼猓?/p>

由CS=1.0及P=1%，查附表1得P=3.02引入模比系數(shù)：

另一種求解方法：由由此建立的對應(yīng)數(shù)值關(guān)系[P-III型曲線模比系數(shù)KP

值表]上例的解法：由CV=0.5,CS

=1.0=2CV

，P=1%查附表2得:P-III型曲線模比系數(shù)KP值表（附表2,P266）

P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一）

CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.89……………………………………1.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三）CS=2CV（三）CS=6CV隨機(jī)變量統(tǒng)計參數(shù)在水文計算中起到十分重要的作用，但由于水文隨機(jī)變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情況下，靠抽出的樣本(觀測的系列)去估計總體參數(shù)。4.水文隨機(jī)變量系列統(tǒng)計參數(shù)的估計

Statisticalparametersestimation估算方法有：

矩法；適線法；

極大似然法；

權(quán)函數(shù)法；

………4.1矩法

MethodofMomentsa.樣本的算術(shù)平均值:

已知樣本的隨機(jī)系列：x1,x2,x3,…xn，分別求樣本的三個統(tǒng)計參數(shù)。b.樣本標(biāo)準(zhǔn)差:式中，稱作模比系數(shù)c.樣本的離差系數(shù):注意：以上三個公式求到的參數(shù)是根據(jù)樣本求參得到，故與相應(yīng)的總體的參數(shù)是不相等的。d.樣本的偏態(tài)系數(shù):式中，根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的證明可知：由矩法求到的樣本平均值

為總體平均數(shù)的無偏估計量，然而CV,CS

則不是總體相應(yīng)參數(shù)的無偏估計量，稱為有偏估計量。故需要對參數(shù)CV

,CS

進(jìn)行修正，使其變成無偏估計量。無偏估計量：由統(tǒng)計學(xué)的定義，若

是未知數(shù)的估計量，而且，則稱為的無偏估計量。

(當(dāng)n較大時)求Cv

,Cs

的不偏估計量的修正計算式：用上述的無偏估算公式計算的很多同容量的樣本的統(tǒng)計參值的均值，可望等于總體的同名參數(shù)。4.2現(xiàn)行水文頻率計算方法～配線法

(適線法)

Curvefittingmethod

是以經(jīng)驗頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求出與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，這是一種較好的參數(shù)估計方法，是我國估計某些水文變量（如徑流量、降雨量等）頻率曲線統(tǒng)計參數(shù)的主要方法。有關(guān)的概念介紹：1)經(jīng)驗頻率及經(jīng)驗頻率曲線：【例】已知某地年降雨量的觀測資料(n=12)，并由大到小排列，按計算頻率。式中，P：大于或等于某一變量值x的經(jīng)驗頻率；

m：x由大到小排列的序號，即在n次觀測資料中出現(xiàn)大于或等于某一值x的次數(shù)。經(jīng)驗頻率計算表：n=12其反映年降雨量(Xx)的經(jīng)驗頻率P(Xx)和x的關(guān)系。隨著樣本容量n的增加，頻率P就非常接近于概率，而該經(jīng)驗分布曲線就非常接近于總體的分布曲線。由此得到經(jīng)驗頻率分布曲線:P(Xx)x注意：樣本的每一項的經(jīng)驗頻率用公式P=m/n進(jìn)行計算，當(dāng)m=n時，P=100%，說明樣本的最末項為總體的最小值，這是不合理的。故必須進(jìn)行修正，中國常采用下面的公式進(jìn)行計算：經(jīng)驗頻率的計算公式：這樣，當(dāng)m=n=12

時，該公式在水文計算中通常稱為期望公式

所謂的重現(xiàn)期是指某一隨機(jī)事件在很長時期內(nèi)平均多長時間出現(xiàn)一次（水文學(xué)中常稱為“多少年一遇”）。即在許多試驗中，某一隨機(jī)事件重復(fù)出現(xiàn)的時間間隔的平均數(shù)，即平均的重現(xiàn)間隔期。在水文分析中，重現(xiàn)期可以等效地替代頻率。2)重現(xiàn)期

Recurrenceinterval/returnperioda.當(dāng)研究洪水或暴雨問題

水文上關(guān)心的是大于等于某洪水或某暴雨量發(fā)生的頻率，因此，重現(xiàn)期指在很長時期N年內(nèi)，出現(xiàn)大于等于某水文變量XP事件的平均重現(xiàn)的間隔期T：式中，T：重現(xiàn)期，以年計；

P：大于等于某水文變量XP

事件的頻率，頻率P與重現(xiàn)期T關(guān)系的兩種表示法：NP為N年內(nèi)大于等于XP

事件出現(xiàn)的次數(shù)。表中12年中年降雨量大于等于990mm的次數(shù)為6次，即等于NP=1250%=6，可知該事件的重現(xiàn)期為：

T=12/6=2年可按下式計算重現(xiàn)期：【例】n=12

水文上關(guān)心的是小于xP的事件出現(xiàn)的頻率及相應(yīng)的重現(xiàn)期。

重現(xiàn)期指在很長的時期內(nèi)(N年)出現(xiàn)小于某水文變量xP事件的平均重現(xiàn)間隔期。若水文變量大于等于xP的頻率為P

，則小于xP事件的頻率應(yīng)為：1-P，在N年內(nèi)小于xP事件出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)為N(1-P)，因此其重現(xiàn)期為：b.當(dāng)研究枯水問題表中年降雨量大于等于850mm的次數(shù)為11次，即等于，則小于850mm的降雨次數(shù)為1次，即等于可知該事件的重現(xiàn)期為：

T=12/1=12

(年)亦可按下式計算：(年)【例】n=12具體求解步驟：a

根據(jù)實(shí)測樣本資料進(jìn)行點(diǎn)繪[縱坐標(biāo)為隨機(jī)變量X=x，橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗頻率P(Xx)]，經(jīng)驗頻率計算公式為：b

假定一組參數(shù)

，可選用矩法的估值作為的初始值,一般不求CS，假定，K為比例系數(shù)，可選K＝1.5,2,2.5,3...3)適線法（配線法）的步驟已知：經(jīng)驗頻率分布，求：總體分布參數(shù)12d根據(jù)選定的參數(shù)，由P-III型曲線離均系數(shù)值表或P-III型曲線模比系數(shù)KP值表，求出xP

~P

的理論頻率曲線，將其繪在有經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)的同一張圖上，看它們的配合好壞，若不理想，則修改有關(guān)的參數(shù)(主要調(diào)整CV及K=CS/CV

)，重復(fù)以上的步驟，重新配線；c選定線型，對于水文的隨機(jī)變量，一般選P-III型;e根據(jù)配合的情況，選出一配合最佳的頻率曲線作為采用曲線，則相應(yīng)的參數(shù)作為總體參數(shù)的估值。PxP

適線法的實(shí)質(zhì)是通過樣本經(jīng)驗分布來推求總體分布，適線法的關(guān)鍵在于“最佳配合”的判別。經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)理論頻率曲線【水文學(xué)習(xí)題】11．在水文頻率計算中，我國一般選配皮爾遜Ⅲ型曲線，這是因為