3基本不等式教學(xué)設(shè)計

《基本不等式》教課方案一、[教材依照]人教A版必修5第三章不等式基本不等式二、[設(shè)計思想]本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上睜開的，作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學(xué)習(xí)確定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步認(rèn)識不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，研究最值問題，此時基本不等式是必不行缺的?；静坏仁皆谥R系統(tǒng)中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實(shí)質(zhì)中有著廣泛的應(yīng)用，所以它也是對學(xué)生進(jìn)行感情價值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)要點(diǎn)研究。教課中注意用新課程理念辦理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不但要接受、記憶、模擬和練習(xí)，并且要自主研究、著手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、指引者、合作者的作用，指引學(xué)生主體參加、揭露實(shí)質(zhì)、經(jīng)歷過程。就知識的應(yīng)用價值上來看，基本不等式是從大批數(shù)學(xué)識題和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來的一個模型，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形聯(lián)合、概括猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應(yīng)用；別的它在如“求面積必定，周長最??；周長必定，面積最大”等實(shí)質(zhì)問題的計算中也常常涉及到。就內(nèi)容的人文價值上來看，基本不等式的研究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、概括、猜想，有助于培育學(xué)生的創(chuàng)新思想和研究精神,是培育學(xué)生應(yīng)企圖識和數(shù)學(xué)能力的優(yōu)異載體。三、[教課目標(biāo)]依照《新標(biāo)準(zhǔn)》對《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要乞降本班學(xué)生實(shí)質(zhì)狀況，特確定以下目標(biāo)：1、知識與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡單問題；培育學(xué)生研究能力以及分析問題解決問題的能力。2、過程與方法目標(biāo)：依照創(chuàng)建情形，提出問題→分析概括證明→幾何解說→應(yīng)用（最值的求法、實(shí)質(zhì)問題的解決）的過程體現(xiàn)。啟動觀察、分析、概括、總結(jié)、抽象概括等思想活動，培育學(xué)生的思想能力，領(lǐng)會數(shù)學(xué)看法的學(xué)習(xí)方法，經(jīng)過運(yùn)用多媒體的教課手段，引領(lǐng)學(xué)生主動研究基本不等式性質(zhì)，領(lǐng)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂趣。3、感情與態(tài)度目標(biāo)：經(jīng)過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)是從實(shí)質(zhì)中來，培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，經(jīng)過數(shù)學(xué)思想認(rèn)知世界，從而培育學(xué)生擅長思慮、勤于著手的優(yōu)異質(zhì)量。四、[教課要點(diǎn)]應(yīng)用數(shù)形聯(lián)合的思想理解基本不等式，

并從不一樣角度研究基本不等式

ab

ab

的證明過程2及應(yīng)用。五、

[

教課難點(diǎn)

]1、基本不等式成即刻的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）；2、利用基本不等式求解實(shí)質(zhì)問題中的最大值和最小值。六、[教課方法]本節(jié)課采納觀察——感知——抽象——概括——研究；啟示引誘、講練聯(lián)合的教課方法，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實(shí)質(zhì)問題出發(fā)，放手讓學(xué)生研究考慮。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教課輔助手段，加深學(xué)生對基本不等式的理解?；静坏仁剑篴b≤ab簡要教課思路2【學(xué)習(xí)目標(biāo)】１.知識與技術(shù)1）認(rèn)識基本不等式的證明過程。2）會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}。2．過程與方法研究并認(rèn)識基本不等式的證明過程，體驗(yàn)基本不等式在實(shí)質(zhì)中的應(yīng)用。3．感情、態(tài)度與價值觀經(jīng)過實(shí)例，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與平常生活的聯(lián)系，感覺數(shù)學(xué)的適用價值，增強(qiáng)應(yīng)企圖識，提升實(shí)踐能力?！緦W(xué)習(xí)要點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形聯(lián)合的思想理解基本不等式，并從不一樣角度研究基本不等式的證明過程?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】用基本不等式求最大值和最小值?！局R構(gòu)造】基本不等式的幾何背景︱基本不等式：ab≤ab2︱︱基本不等式的證明過程基本不等式的應(yīng)用【學(xué)習(xí)過程】D引入a2b2a研究1在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形，設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長為a、b,那么①正方形ABCD的面積S=A②4個全等的直角三角形的面積S′=③S與S′的大小關(guān)系為新課一、基本不等式的研究B依據(jù)研究1獲得1、重要不等式說明：

FbE2、基本不等式（＊）說明：你能依據(jù)不等式的性質(zhì)分析推導(dǎo)出（＊）式嗎要證ab①ab2只需證ab②要證②，只需證ab0③要證③,只需證(-)20④明顯,④是成立的,當(dāng)且僅當(dāng)ab時,④的等號成立意會練習(xí)：七、[教課過程]教課過程設(shè)計以問題為中心，以研究解決問題的方法為主線睜開。這類安排重申過程，吻合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教課過程成為學(xué)生對知識的再創(chuàng)建、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培育學(xué)生的創(chuàng)新意識。詳盡過程安排以下：一、創(chuàng)建情形，提出問題；設(shè)計企圖：數(shù)學(xué)教育一定基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，現(xiàn)真相境問題是數(shù)學(xué)教課的平臺，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．基于此,設(shè)置以下情境:一、自學(xué)懷疑，交流展現(xiàn)【研究】：上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是依據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱忱好客?，F(xiàn)將圖中的“風(fēng)車”抽象成以下圖，問題1、比較大正方形的面積與4個直角三角形的面積，你能找到如何的不等關(guān)系利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)目關(guān)系，抽象出不等式a2b22ab問題2、上式能否取到等號什么時候取等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立問題4、你能給出證明嗎抽象概括：一般地，對于任意實(shí)數(shù)a,b，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立。問題3、上式中a,b的范圍能擴(kuò)大嗎對于任意實(shí)數(shù)a,b，有a2b22ab問題5、假如用a,b去替代上述結(jié)論中的a,b，則a,b需要滿足什么條件問題6、替代以后能獲得什么結(jié)論什么時候取等號問題7、你能給出證明嗎要證abab①2只需證ab②要證②,只需證ab0③要證③,只需證()20④明顯,④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,④中的等號成立。（告訴學(xué)生，這類證明方法稱之為分析法，在我們高三的時候會合適的加深增補(bǔ)）評論：證明方法叫做分析法,其實(shí)是找尋結(jié)論的充分條件,執(zhí)果索因的一種思想方法.本背景企圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)目關(guān)系，抽象出不等式a2b22ab。在此基礎(chǔ)上，指引學(xué)生認(rèn)識基本不等式。經(jīng)過ppt課件，讓學(xué)生更直觀的抽象、概括出以下結(jié)論：二、抽象概括：一般地，對于任意實(shí)數(shù)a,b，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立。[問]你能給出它的證明嗎學(xué)生在黑板上板書。特別地，當(dāng)a>0,b>0時，在不等式a2b22ab中，以a、b分別取代a、b，獲得什么設(shè)計依照：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不但讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的本源，打破了要點(diǎn)和難點(diǎn)，并且感覺了此中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)確定基礎(chǔ).答案：abab(a,b0)。2【概括總結(jié)】若a0,b0，則有abab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，abab。22我們稱此不等式為基本不等式。此中ab稱為a,b的算術(shù)均勻數(shù)，ab稱為a,b的幾2何均勻數(shù)。二、掌握要點(diǎn)，突出主題基本不等式：問題8、上述公式主要用于解決最值問題，你能觀察出它可以解決哪些式子的最值問題問題9、在求最值的過程中需要滿足什么條件[問]如何理解“當(dāng)且僅當(dāng)”（學(xué)生小組談?wù)?，交流看法，師生總結(jié)）“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立”的含義是：當(dāng)a=b時，取等號，即ababab；2僅當(dāng)a=b時，取等號，即abab。ab24、研究基本不等式證明方法：[問]如何證明基本不等式（企圖在于引領(lǐng)學(xué)生從感性認(rèn)識基本不等式到理性證明，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華）方法一：作差比較或由(ab)20睜開證明。方法二：分析法（完成課本填空）設(shè)計依照：課本是學(xué)生認(rèn)識世界的窗口和工具，心理學(xué)研究表示：任何學(xué)習(xí)都是學(xué)習(xí)者自主建構(gòu)的過程.在這個過程中，離不開學(xué)習(xí)主體與文本之間的交互作用.有意義的接受學(xué)習(xí)是自主建構(gòu)，有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也是自主建構(gòu).前者的認(rèn)知系統(tǒng)是同化，它惹起認(rèn)知構(gòu)造的量變；后者的認(rèn)知系統(tǒng)是適應(yīng)，它惹起認(rèn)知構(gòu)造的質(zhì)變.既沒有絕對的接受學(xué)習(xí)，也沒有絕對的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，老是二者互相交替、有機(jī)聯(lián)合.所以，課本一定成為學(xué)生賴以學(xué)會學(xué)習(xí)的文本.在教課中要讓學(xué)生學(xué)會仔細(xì)看書、專心思慮，養(yǎng)成講講議議、著手動筆、仔細(xì)觀察、專心領(lǐng)會的好習(xí)慣，真切學(xué)會讀“數(shù)學(xué)書”。要證abab①2只需證ab②要證②,只需證ab0③要證③,只需證()20④明顯,④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,④中的等號成立。（告訴學(xué)生，這類證明方法稱之為分析法，在我們高三的時候會合適的加深增補(bǔ)）評論：證明方法叫做分析法,其實(shí)是找尋結(jié)論的充分條件,執(zhí)果索因的一種思想方法.5、研究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學(xué)生熟知的幾何圖形，指引學(xué)生研究不等式ab

abab

(a,b

0)

ab

(a,b

0)2

的幾何解說，經(jīng)過數(shù)形聯(lián)合，給予不等式

2

幾何直觀。進(jìn)一步意會不等式中等號成立的條件。三、研究概括以下命題中正確的選項(xiàng)是①對于任意實(shí)數(shù)

a,b，均有a

b

2ab；②當(dāng)

x

0時，因?yàn)?/p>

1

x2

2x

，當(dāng)且僅當(dāng)

1

x2

時，即

x=1

時，等號成立。所以函數(shù)y1

x2(x

0)的最小值為

2；③當(dāng)x(0,π)時，有sinx44；所以函數(shù)ysinx4在(0,π)的最小值為4。2sinxsinx2引入闖關(guān)游戲分層完成，小組談?wù)?，使學(xué)生領(lǐng)會看法應(yīng)用模式，學(xué)會捕獲解題切入點(diǎn)，理解利用基本不等式求最值的條件“正”、“定”和“等”。5分鐘以上命題均是依據(jù)基本不等式的使用條件中的難點(diǎn)和要點(diǎn)處設(shè)置的，目的是利用學(xué)生原有的平面幾何知識，進(jìn)一步意會到不等式abab成立的條件a0,b0，及當(dāng)且僅當(dāng)ab時，2等號成立。這些“圈套”要讓學(xué)生自己往里跳，而后自己再從中爬出來，完整放手讓學(xué)生自主研究，老師指導(dǎo)，師生概括總結(jié)。結(jié)論：若兩正數(shù)的乘積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的和有最小值；若兩正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的乘積有最大值。簡記為：“一正、二定、三相等”。四、意會練習(xí)：公式應(yīng)用之一：(1)若x0,x1_________.（學(xué)生指出正、定、等）的最小值為________,此時xx若a>0,b>0,且a+b=2,則ab的最大值為_______,此時a=_____,b=_____。（學(xué)生指出正、定、等）公式應(yīng)用之二：（最優(yōu)化問題）設(shè)計企圖：新奇風(fēng)趣、簡單易懂、切近生活的問題,不但極大地增強(qiáng)學(xué)生的興趣，拓寬學(xué)生的視線，更重要的是調(diào)動學(xué)生研究研究的興趣，指引學(xué)生增強(qiáng)對生活的關(guān)注，讓學(xué)生領(lǐng)會：數(shù)學(xué)就在我們身旁的生活中2(1)在學(xué)農(nóng)時期，生態(tài)園中有一塊面積為100m的矩形茶地，為了保護(hù)茶葉的健康生長，學(xué)校決定用籬笆圍起來，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少此刻學(xué)校庫房有一段長為36m的籬笆，要圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少學(xué)生分組談?wù)?、糾正、爭論，合作交流。指引學(xué)生領(lǐng)會基本不等式的正用和逆用，量化賦分。分鐘五、反思總結(jié)，整合新知：經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲得得了哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)還有哪些問題需要請教設(shè)計企圖：經(jīng)過反思、概括，培育概括能力；幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，牢固知識技術(shù)，提升認(rèn)知水平.老師依據(jù)狀況完美以下：一個不等式：若a0,b0，則有abab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，abab。22兩種思想：數(shù)形聯(lián)合思想、概括類比思想。三個注意：基本不等式求函數(shù)的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”六、部署作業(yè)：課本P100習(xí)題A組1、2題七、課下思慮：類比基本不等式，當(dāng)a,b,c均為正數(shù)，猜想會有如何的不等式八、[教課反思]我校教課指導(dǎo)目標(biāo)為：“低起點(diǎn)，高看法，高目標(biāo)”。新課程標(biāo)準(zhǔn)中對知識的發(fā)生的過程提出了較高的要求，多次使用了“經(jīng)歷”、“感覺”、“研究”等感情，態(tài)度與價值觀要求行為動詞，重視學(xué)生對問題的研究能力。在證明基本不等式時，x2y222xy一般方法：x，y∈R，(x－y),當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立。0x2y2ab令x=a,y=b,2xy2ab所以,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。接下來發(fā)問學(xué)生能否有其余方法證明該不等式，沒想到學(xué)生思想活躍，提出了兩種證法，令我始料不及，收獲很大。證法2：當(dāng)a>0,b>0222時，有(a