新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測(cè)練思想02 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題（精講精練）（解析版）

思想02運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題【命題規(guī)律】高考命題中，以知識(shí)為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值．高考試題一是著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的組合，二是著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識(shí)，重在領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：研究函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、圖象的交點(diǎn)核心考點(diǎn)二：解不等式、求參數(shù)范圍、最值問(wèn)題核心考點(diǎn)三：解決以幾何圖形為背景的代數(shù)問(wèn)題核心考點(diǎn)四：解決數(shù)學(xué)文化、情境問(wèn)題【真題回歸】1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故選：D

2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)SKIPIF1<0至少有一個(gè)零點(diǎn)，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個(gè)零點(diǎn)，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，合乎題意；④當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個(gè)零點(diǎn)，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0．綜上所述，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓SKIPIF1<0，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．過(guò)SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長(zhǎng)是________________．【答案】13【解析】∵橢圓的離心率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴橢圓的方程為SKIPIF1<0，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，如圖所示，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為正三角形，∵過(guò)SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的垂直平分線，∴直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，斜率倒數(shù)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，代入橢圓方程SKIPIF1<0，整理化簡(jiǎn)得到：SKIPIF1<0，判別式SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的周長(zhǎng)等于SKIPIF1<0的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到SKIPIF1<0周長(zhǎng)為SKIPIF1<0．故答案為：13．4．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍是_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】以圓心為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是AC中點(diǎn)，SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0為_(kāi)__________，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)___________【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【解析】方法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，以SKIPIF1<0為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時(shí)，SKIPIF1<0最大，此時(shí)SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【方法技巧與總結(jié)】1、以形助數(shù)（數(shù)題形解）：借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡述數(shù)與形之間的關(guān)系，把抽象問(wèn)題具體化，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，數(shù)作為目的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想．2、以數(shù)輔形（形題數(shù)解）：借助于數(shù)的精確性、規(guī)范性、嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，把直觀圖形數(shù)量化，即以數(shù)作為手段，形作為目的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：研究函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、圖象的交點(diǎn)【典型例題】例1．（2023·河北衡水·高三周測(cè)）設(shè)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的根的個(gè)數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，分別作出函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象，如圖所示，則由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)，即方程SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)．故選：D．例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)在SKIPIF1<0的圖象上，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0任意一點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱的點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而P在函數(shù)SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0恒過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0相切于點(diǎn)SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，在SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象相交有2個(gè)交點(diǎn)；在SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象相交有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象相交有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)的SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0．故選：C．例3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝x2＋ex－SKIPIF1<0（x<0）與g（x）＝x2＋ln（x＋a）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱得到的函數(shù)為SKIPIF1<0，依題意可知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有公共點(diǎn)，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．對(duì)于函數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0．對(duì)于函數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的圖像向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位得到SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0圖像在SKIPIF1<0上必有SKIPIF1<0個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的圖像向左平移SKIPIF1<0個(gè)單位得到SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖像在SKIPIF1<0上有交點(diǎn)，則需當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)（也即SKIPIF1<0軸上），SKIPIF1<0的函數(shù)值小于SKIPIF1<0的函數(shù)值，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故選：B．例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，若在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0對(duì)于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，又SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，故函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的圖象如下圖所示：若在區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0內(nèi)關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故選：A核心考點(diǎn)二：解不等式、求參數(shù)范圍、最值問(wèn)題【典型例題】例5．（2023春·山東棗莊·高三棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】函數(shù)SKIPIF1<0可以看作是動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0與動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的圖象上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲線上點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離最小，最小距離SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)題意，要使SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0恰好為垂足，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選SKIPIF1<0．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則T的幾何意義是直線SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0的距離，將直線SKIPIF1<0平移到與面線SKIPIF1<0相切時(shí)，切點(diǎn)Q到直線SKIPIF1<0的距離最?。鳶KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此時(shí)，Q到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B例7．（2023春·黑龍江黑河·高三嫩江市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若存在唯一的整數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意可知，存在唯一的整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．所以，函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0，如下圖所示，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，結(jié)合圖象可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：B核心考點(diǎn)三：解決以幾何圖形為背景的代數(shù)問(wèn)題【典型例題】例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，若點(diǎn)P是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值等于（

）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，∴可以A為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系；不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故點(diǎn)P坐標(biāo)為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，在SKIPIF1<0上遞減，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為12．故選：C．例9．（2023春·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)階段練習(xí)）設(shè)不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．6 D．7【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，原不等式可化為SKIPIF1<0．先解SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，移項(xiàng)可得SKIPIF1<0，兩邊平方可得，SKIPIF1<0，整理可得，SKIPIF1<0，兩邊平方整理可得SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0表示的點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上．則不等式SKIPIF1<0表示的點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上及其內(nèi)部．則不等式SKIPIF1<0與不等式組SKIPIF1<0同解，整理可得SKIPIF1<0．由已知可得，不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的兩個(gè)解為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根據(jù)韋達(dá)定理有SKIPIF1<0．故選：D．例10．（2023春·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）若不等式SKIPIF1<0的解集為區(qū)間SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【解析】如圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，4為半徑位于SKIPIF1<0軸上方（含和SKIPIF1<0軸交點(diǎn)）的半圓，SKIPIF1<0表示過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)及第一三象限內(nèi)的直線，又因?yàn)椴坏仁絊KIPIF1<0的解集為區(qū)間SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即半圓位于直線下方的區(qū)間長(zhǎng)度為2，所以SKIPIF1<0，所以直線與半圓的交點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．核心考點(diǎn)四：解決數(shù)學(xué)文化、情境問(wèn)題【典型例題】例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)M，N是銳角SKIPIF1<0的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過(guò)M，N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線QB的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M（-1，2），N（1，4），點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-7【答案】A【解析】由題M（-1，2），N（1，4），則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），易知SKIPIF1<0，則經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線SKIPIF1<0上．設(shè)圓心為SKIPIF1<0，則圓S的方程為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，圓SKIPIF1<0必與SKIPIF1<0軸相切于點(diǎn)SKIPIF1<0（由題中結(jié)論得），則此時(shí)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，代入圓S的方程，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為P（1，0）和SKIPIF1<0．因?yàn)閷?duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，又過(guò)點(diǎn)M，N，SKIPIF1<0的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以SKIPIF1<0，故點(diǎn)P（1，0）為所求，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1．故選：A．例12．（2023春·北京大興·高三校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線SKIPIF1<0就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線SKIPIF1<0圍成的圖形的面積是SKIPIF1<0；②曲線SKIPIF1<0上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)2；③若SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值是1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，曲線SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，曲線SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，曲線SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，曲線SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0的圖像如圖所示；由圖可知，曲線SKIPIF1<0所圍成的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形的面積之和，從而曲線SKIPIF1<0所圍成的面積SKIPIF1<0，故①正確；過(guò)原點(diǎn)SKIPIF1<0且連接兩個(gè)半圓圓心SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直線交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，如下圖所示：則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故命題②錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0最小時(shí)，易知SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0的第一象限內(nèi)的圖象上，因?yàn)榍€SKIPIF1<0的第一象限內(nèi)圖象是圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0的半圓，所以圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故③正確．故選：C例13．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的前紙，它是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來(lái)臨之際，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）．已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，中心為SKIPIF1<0，四個(gè)半圓的圓心均為正方形SKIPIF1<0各邊的中點(diǎn)（如圖2），若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0___________．【答案】8【解析】方法一：圖3如圖3，取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0點(diǎn)．易知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．圖4如圖4，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．故答案為：8．方法二：圖5取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0點(diǎn)．易知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如圖5，取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：8．【新題速遞】一、單選題1．（2023春·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)?？迹┤糁本€SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0表示的曲線是圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0的圓在SKIPIF1<0軸以及右側(cè)的部分，如圖所示：直線SKIPIF1<0必過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0與圓相切時(shí)，直線和圓恰有一個(gè)交點(diǎn)，即SKIPIF1<0，結(jié)合直線與半圓的相切可得SKIPIF1<0，當(dāng)直SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，直線和曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以要使直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則SKIPIF1<0.故選：B.2．（2023春·湖北隨州·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x，y是實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】方程可化為SKIPIF1<0，表示以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，SKIPIF1<0的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)ASKIPIF1<0連線的斜率，設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)此直線與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，當(dāng)切線位于切線AB時(shí)斜率最大.

此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：D．3．（2023春·陜西渭南·高一統(tǒng)考）已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.若函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,作出SKIPIF1<0的圖象如圖：，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)；由于SKIPIF1<0也為偶函數(shù)，結(jié)合SKIPIF1<0圖象可知，SKIPIF1<0不可能有1個(gè)零點(diǎn)，故選：A4．（2023春·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且定義域?yàn)镾KIPIF1<0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以我們求出SKIPIF1<0時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有1零點(diǎn)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1零點(diǎn)，圖像大致如圖所示：故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)槠錇槠婧瘮?shù)，則其在SKIPIF1<0上也有2個(gè)零點(diǎn)，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共5個(gè)零點(diǎn)，故選：D.5．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0為偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0的圖象關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，所以SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0軸對(duì)稱，故作出SKIPIF1<0的圖象如下，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由圖象可知，SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象共有四個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).故選:D.6．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的偶函數(shù)，且SKIPIF1<0是奇函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】∵偶函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函數(shù)，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)镾KIPIF1<0，即為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)镾KIPIF1<0的圖像為半圓，故由圖像可知斜率SKIPIF1<0應(yīng)該在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間或?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：C.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，作出SKIPIF1<0的大致圖象如圖所示，易知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0取到等號(hào)，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單減，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：A二、多選題8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0作傾斜角為SKIPIF1<0的直線分別交SKIPIF1<0軸與雙曲線右支于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0， B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的離心率等于SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】如下圖所示，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A錯(cuò)誤，B正確；由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，C正確；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，D正確．故選：BCD．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0過(guò)拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，且斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)（SKIPIF1<0在第一象限），以SKIPIF1<0為直徑的圓分別與SKIPIF1<0軸相切于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】設(shè)直線PQ的方程為：ySKIPIF1<0（x﹣2），與SKIPIF1<0聯(lián)立整理可得：3x2﹣20x+12=0，解得：xSKIPIF1<0或6，則P（6，4SKIPIF1<0），Q（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；所以|PQ|=6SKIPIF1<04SKIPIF1<0，選項(xiàng)A正確；因?yàn)镕(2,0),所以PF，QF的中點(diǎn)分別為：（4，2SKIPIF1<0），（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），所以A（0，SKIPIF1<0），B（0，SKIPIF1<0），所以|AB|=2SKIPIF1<0，選項(xiàng)B正確；如圖M在拋物線上，ME垂直于準(zhǔn)線交于E，可得|MF|=|ME|，所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，當(dāng)N，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|+|MN|最小，且最小值為4，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．（2023春·河南·高三校聯(lián)考）在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，E是棱AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱AD上一點(diǎn)，若異面直線DE與BF所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則AF的值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】由SKIPIF1<0為等邊三角形，取BD的中點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0又平面SKIPIF1<0平面BCD，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面BCD，由SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0作與SKIPIF1<0平行的直線為SKIPIF1<0軸，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省寧化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．只有CD滿足．故選：CD．12．（2023春·湖北黃岡·高三校考開(kāi)