新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測練專題09 排列組合高考常見小題全歸類（精講精練）（解析版）

專題09排列組合高考常見小題全歸類【命題規(guī)律】排列組合是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng)．本節(jié)內(nèi)容與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，考生可適當(dāng)留意常見的排列組合現(xiàn)象，如體育賽事排賽、彩票規(guī)則等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維意識．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用核心考點(diǎn)二：直接法核心考點(diǎn)三：間接法核心考點(diǎn)四：捆綁法核心考點(diǎn)五：插空法核心考點(diǎn)六：定序問題（先選后排）核心考點(diǎn)七：列舉法核心考點(diǎn)八：多面手問題核心考點(diǎn)九：錯位排列核心考點(diǎn)十：涂色問題核心考點(diǎn)十一：分組問題核心考點(diǎn)十二：分配問題核心考點(diǎn)十三：隔板法核心考點(diǎn)十四：數(shù)字排列核心考點(diǎn)十五：幾何問題核心考點(diǎn)十六：分解法模型與最短路徑問題核心考點(diǎn)十七：排隊(duì)問題核心考點(diǎn)十八：構(gòu)造法模型和遞推模型核心考點(diǎn)十九：環(huán)排問題【真題回歸】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【解析】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有SKIPIF1<0種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：SKIPIF1<0種不同的排列方式，故選：B2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【解析】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有SKIPIF1<0種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有SKIPIF1<0種不同的分配方案，故選：C．3．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．17280【答案】C【解析】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有SKIPIF1<0種情況，再分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，共有SKIPIF1<0種情況．所以共有SKIPIF1<0種不同安排方法．故選：C4．（2020·海南·高考真題）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【解析】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有SKIPIF1<0種分法第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有SKIPIF1<0種安排方法所以，不同的安排方法共有SKIPIF1<0種故選：C5．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【解析】首先從SKIPIF1<0名同學(xué)中選SKIPIF1<0名去甲場館，方法數(shù)有SKIPIF1<0；然后從其余SKIPIF1<0名同學(xué)中選SKIPIF1<0名去乙場館，方法數(shù)有SKIPIF1<0；最后剩下的SKIPIF1<0名同學(xué)去丙場館．故不同的安排方法共有SKIPIF1<0種．故選：C6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12．設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．原位小三和弦滿足：SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．故個(gè)數(shù)之和為10．故選：C．7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．【答案】SKIPIF1<0．【解析】從正方體的SKIPIF1<0個(gè)頂點(diǎn)中任取SKIPIF1<0個(gè)，有SKIPIF1<0個(gè)結(jié)果，這SKIPIF1<0個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有SKIPIF1<0個(gè)，故所求概率SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<04名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)SKIPIF1<0先取2名同學(xué)看作一組，選法有：SKIPIF1<0現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：SKIPIF1<0根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法SKIPIF1<0種故答案為：SKIPIF1<0．【方法技巧與總結(jié)】1、如圖，在圓中，將圓分SKIPIF1<0等份得到SKIPIF1<0個(gè)區(qū)域SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，現(xiàn)取SKIPIF1<0種顏色對這SKIPIF1<0個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有SKIPIF1<0種．2、錯位排列公式SKIPIF1<03、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有SKIPIF1<0種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有SKIPIF1<0種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有SKIPIF1<0種．6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將SKIPIF1<0個(gè)不同元素排成一排，其中某SKIPIF1<0個(gè)元素互不相鄰（SKIPIF1<0），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（SKIPIF1<0）個(gè)元素排成一排，共有SKIPIF1<0種排法；然后把SKIPIF1<0個(gè)元素插入SKIPIF1<0個(gè)空隙中，共有SKIPIF1<0種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有SKIPIF1<0·SKIPIF1<0種．7、解決排列、組合綜合問題時(shí)需注意“四先四后”：（1）先分類，后分步：某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類加法計(jì)數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決．常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步．（2）先特殊，后一般：解排列、組合問題時(shí)，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮其他情形．（3）先分組，后分配：對不同元素且較為復(fù)雜的平均分組問題，常?！跋确纸M，再分配”．（4）先組合，后排列：對于既要選又要排的排列組合綜合問題，常?？紤]先選再排．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式．九宮格下面是相通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個(gè)層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時(shí)間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時(shí)可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（

）A．108 B．36 C．9 D．6【答案】C【解析】由題可知中間格只有一種放法；十字格有四個(gè)位置，3種適合放入，所以有一種放兩個(gè)位置，共有3種放法；四角格有四個(gè)位置，2種適合放入，可分為一種放三個(gè)位置，另一種放一個(gè)位置，有兩種放法，或每種都放兩個(gè)位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；所以不同放法共有SKIPIF1<0種．故選：C．例2．（2022春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？茧A段練習(xí)）某市抽調(diào)5位醫(yī)生分赴4所醫(yī)院支援抗疫，要求每位醫(yī)生只能去一所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排一位醫(yī)生．由于工作需要，甲?乙兩位醫(yī)生必須安排在不同的醫(yī)院，則不同的安排種數(shù)是（

）A．90 B．216 C．144 D．240【答案】B【解析】完成這件事情，可以分兩步完成，第一步，先將5為醫(yī)生分為四組且甲、乙兩位醫(yī)生不在同一組，共有SKIPIF1<0種方案；第二步，再將這四組醫(yī)生分配到四所醫(yī)院，共有SKIPIF1<0種不同方案，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有SKIPIF1<0種不同安排方案．故選：B．例3．（2022春·山東聊城·高三山東聊城一中?？计谀┠炒笮吐?lián)歡會準(zhǔn)備從含甲、乙的6個(gè)節(jié)目中選取4個(gè)進(jìn)行演出，要求甲、乙2個(gè)節(jié)目中至少有一個(gè)參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為（

）A．720 B．520 C．600 D．264【答案】D【解析】若甲、乙兩節(jié)目只有一個(gè)參加，則演出順序的種數(shù)為：SKIPIF1<0，若甲、乙兩節(jié)目都參加，則演出順序的種數(shù)為：SKIPIF1<0；因此不同的演出順序的種數(shù)為SKIPIF1<0．故選：D．核心考點(diǎn)二：直接法【典型例題】例4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（

）種A．54 B．72 C．96 D．120【答案】A【解析】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有SKIPIF1<0種情況，此時(shí)有SKIPIF1<0種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有SKIPIF1<0種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有SKIPIF1<0種情況，此時(shí)有SKIPIF1<0種名次排列情況；則一共有SKIPIF1<0種不同的名次情況，故選：A．例5．某校開展研學(xué)活動時(shí)進(jìn)行勞動技能比賽，通過初選，選出SKIPIF1<0共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），SKIPIF1<0和SKIPIF1<0去詢問成績，回答者對SKIPIF1<0說“很遺?，你和SKIPIF1<0都末拿到冠軍；對SKIPIF1<0說“你當(dāng)然不是最差的”．試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（

）A．720種 B．600種 C．480種 D．384種【答案】D【解析】由題意，SKIPIF1<0不是第一名且SKIPIF1<0不是最后一名，SKIPIF1<0的限制最多，故先排SKIPIF1<0，有4種情況，再排SKIPIF1<0，也有4種情況，余下4人有SKIPIF1<0種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有SKIPIF1<0種情況．故選：D．例6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（

）A．24種 B．6種 C．4種 D．12種【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有SKIPIF1<0，故選：B．核心考點(diǎn)三：間接法【典型例題】例7．將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種【答案】D【解析】7個(gè)人從左到右排成一排，共有SKIPIF1<0種不同的站法，其中甲、乙、丙3個(gè)都相鄰有SKIPIF1<0種不同的站法，甲站在最右端有SKIPIF1<0種不同的站法，甲、乙、丙3個(gè)相鄰且甲站最右端有SKIPIF1<0種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有SKIPIF1<0種不同的站法．故選：D例8．某學(xué)校計(jì)劃從包含甲?乙?丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊(duì)去西部支教，若甲?乙?丙三位教師至少一人被選中，則組隊(duì)支教的不同方式共有（

）A．21種 B．231種 C．238種 D．252種【答案】B【解析】10人中選5人有SKIPIF1<0種選法，其中，甲?乙?丙三位教師均不選的選法有SKIPIF1<0種，則甲?乙?丙三位教師至少一人被選中的選法共有SKIPIF1<0種．故選：B例9．中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學(xué)．某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次．講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種． D．120種【答案】A【解析】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為SKIPIF1<0，其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的不同次序數(shù)為SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以“六藝”講座不同的次序共有408種．故選：A核心考點(diǎn)四：捆綁法【典型例題】例10．（2022·四川自貢·統(tǒng)考一模）在某個(gè)單位迎新晚會上有A、B、C、D、E、F6個(gè)節(jié)目，單位為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目C必須安排在第三位，節(jié)目D、F必須安排連在一起，則該單位迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（

）種A．36 B．48 C．60 D．72【答案】A【解析】由題意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三個(gè)節(jié)目任意排列，因此方法數(shù)為SKIPIF1<0．故選：A．例11．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“四書”“五經(jīng)”是我國SKIPIF1<0部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識講座，每部名著安排SKIPIF1<0次講座，若要求《大學(xué)》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先排除去《大學(xué)》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，共有SKIPIF1<0種排法，將《大學(xué)》《論語》看作一個(gè)元素，二者內(nèi)部全排列有SKIPIF1<0種排法，排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認(rèn)為它們之間包括兩頭有7個(gè)空位，從7個(gè)空位中選2個(gè)，排《大學(xué)》《論語》捆綁成的一個(gè)元素和《周易》的講座，有SKIPIF1<0種排法，故總共有SKIPIF1<0種排法，故選：C．例12．（2022春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┠骋惶斓恼n程表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（

）種不同的排法A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】若數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，則數(shù)學(xué)的排法有SKIPIF1<0種，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，將物理和化學(xué)捆綁，與語文、英語、生物三門課程進(jìn)行排序，有SKIPIF1<0種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有SKIPIF1<0種不同的排法．故選：D．核心考點(diǎn)五：插空法【典型例題】例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）電視臺在電視劇開播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】先排4個(gè)商業(yè)廣告，則SKIPIF1<0，即存在5個(gè)空，再排2個(gè)公益廣告，則SKIPIF1<0，故總排法：SKIPIF1<0，故選：A．例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徽、羽，如果用上這五個(gè)音階，排成一個(gè)五音階音序，且商、角不相鄰，徽位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音序有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】C【解析】先將宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)進(jìn)行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有SKIPIF1<0，再將商、角插入4個(gè)空中，共有SKIPIF1<0種．故選：C．例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）A，B，C，D，E，F(xiàn)這6位同學(xué)站成一排照相，要求A與C相鄰且A排在C的左邊，B與D不相鄰且均不排在最右邊，則這6位同學(xué)的不同排法數(shù)為（

）A．72 B．48 C．36 D．24【答案】C【解析】首先將A與C捆綁到一起，與除B、D以外的其他2位同學(xué)共3個(gè)元素進(jìn)行排列，有SKIPIF1<0種排法，再將B、D插空到除最右邊的3個(gè)位置中，有SKIPIF1<0種排法，因此共有SKIPIF1<0種排法，故選：C核心考點(diǎn)六：定序問題（先選后排）【典型例題】例16．滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的有序數(shù)組SKIPIF1<0共有（

）個(gè)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵數(shù)組中數(shù)字的大小確定，從1到9共9個(gè)數(shù)任取4個(gè)數(shù)得一個(gè)有序數(shù)組，所有個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0．故選：A．例17．某次演出有5個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有（

）A．120種 B．80種 C．20種 D．48種【答案】C【解析】在5個(gè)位置中選兩個(gè)安排其它兩個(gè)節(jié)目，還有三個(gè)位置按順序放入甲、乙、丙，方法數(shù)為SKIPIF1<0．故選：C．例18．花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色．如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080【答案】A【解析】由題意，對8盞不同的花燈進(jìn)行取下，先對8盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有SKIPIF1<0種方法，因?yàn)槿』裘看沃荒苋∫槐K，而且只能從下往上取，所以須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，故一共有SKIPIF1<0種，故選：A核心考點(diǎn)七：列舉法【典型例題】例19．（2022春·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）2021年8月17日，國家發(fā)改委印發(fā)的《2021年上半年各地區(qū)能耗雙控目標(biāo)完成情況晴雨表》顯示，青海?寧夏?廣西?廣東?福建?新疆?云南?陜西?江蘇?浙江?安徽?四川等12個(gè)地區(qū)能耗強(qiáng)度同比不降反升，全國節(jié)能形勢十分嚴(yán)峻．某地市為響應(yīng)節(jié)能降耗措施，決定對非繁華路段路燈在晚高峰期間實(shí)行部分關(guān)閉措施．如圖，某路段有十盞路燈（路兩邊各有五盞），現(xiàn)欲在晚高峰期關(guān)閉其中的四盞燈，為保證照明的需求，要求相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉且相對的路燈也不能同時(shí)關(guān)閉，則不同的關(guān)閉方案有（

）A．15種 B．16種 C．17種 D．18種【答案】B【解析】因?yàn)樵谕砀叻迤陉P(guān)閉其中的四盞燈，為保證照明的需求，要求相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉且相對的路燈也不能同時(shí)關(guān)閉，所以不同的關(guān)閉方案如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共16種方案，故選：B例20．三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．8種 C．10種 D．16種【答案】C【解析】根據(jù)題意，作出樹狀圖，第四次球不能傳給甲，由分步加法計(jì)數(shù)原理可知：經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有10種，故選：C．例21．（2022·上海浦東新·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)．若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A．18個(gè) B．16個(gè)C．14個(gè) D．12個(gè)【答案】C【解析】由題意，得必有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則具體的排法列表如下：，01010011；010101011，共14個(gè)核心考點(diǎn)八：多面手問題【典型例題】例22．我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有種不同的選法．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】分析：根據(jù)題意可按照只會左邊的SKIPIF1<0人中入選的人數(shù)分類處理，分成三類，即可求解．詳根據(jù)題意可按照只會左邊的SKIPIF1<0人中入選的人數(shù)分類處理．第一類SKIPIF1<0個(gè)只會左邊的都不選，有SKIPIF1<0種；第二類SKIPIF1<0個(gè)只會左邊的有SKIPIF1<0人入選，有SKIPIF1<0種；第三類SKIPIF1<0個(gè)只會左邊的全入選，有SKIPIF1<0種，所以共有SKIPIF1<0種不同的選法，故選A．例23．某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110【答案】B【解析】根據(jù)題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況分成三類．①“2人既會英語又會法語”不參加，這時(shí)有SKIPIF1<0種；②“2人既會英語又會法語”中有一人入選，這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有SKIPIF1<0種；③“2人既會英語又會法語”中兩個(gè)均入選，這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語種，因此有SKIPIF1<0種．綜上分析，共可開出SKIPIF1<0種．故選：B．例24．“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)SKIPIF1<0只會劃左槳的3人SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只會劃右槳的3人SKIPIF1<0，SKIPIF1<0既會劃左槳又會劃右槳的2人SKIPIF1<0，據(jù)此分3種情況討論：①從SKIPIF1<0中選3人劃左槳，劃右槳的在（SKIPIF1<0）中剩下的人中選取，有SKIPIF1<0種選法，②從SKIPIF1<0中選2人劃左槳，SKIPIF1<0中選1人劃左槳，劃右槳的在（SKIPIF1<0）中選取，有SKIPIF1<0種選法，③從SKIPIF1<0中選1人劃左槳，SKIPIF1<0中2人劃左槳，SKIPIF1<0中3人劃右槳，有SKIPIF1<0種選法，則有SKIPIF1<0種不同的選法．故選：C．核心考點(diǎn)九：錯位排列【典型例題】例25．編號為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號與座位號一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種【答案】B【解析】先選擇兩個(gè)編號與座位號一致的人，方法數(shù)有SKIPIF1<0，另外三個(gè)人編號與座位號不一致，方法數(shù)有SKIPIF1<0，所以不同的坐法有SKIPIF1<0種．故選：B例26．將編號為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的小球放入編號為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據(jù)題意，分以下兩步進(jìn)行：（1）在SKIPIF1<0個(gè)小球中任選SKIPIF1<0個(gè)放入相同編號的盒子里，有SKIPIF1<0種選法，假設(shè)選出的SKIPIF1<0個(gè)小球的編號為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；（2）剩下的SKIPIF1<0個(gè)小球要放入與其編號不一致的盒子里，對于編號為SKIPIF1<0的小球，有SKIPIF1<0個(gè)盒子可以放入，假設(shè)放入的是SKIPIF1<0號盒子．則對于編號為SKIPIF1<0的小球，有SKIPIF1<0個(gè)盒子可以放入，對于編號為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的小球，只有SKIPIF1<0種放法．綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為SKIPIF1<0種．故選：B．例27．若5個(gè)人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】D【解析】根據(jù)題意，分2步分析：①先從5個(gè)人里選1人，恰好摸到自己寫的卡片，有SKIPIF1<0種選法，②對于剩余的4人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能拿自己寫的卡片，因此第一個(gè)人有3種拿法，被拿了自己卡片的那個(gè)人也有3種拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有SKIPIF1<0種．故選：SKIPIF1<0．核心考點(diǎn)十：涂色問題【典型例題】例28．（2022春·陜西寶雞·高三?？奸_學(xué)考試）某兒童游樂園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36

B．48

C．54

D．72【答案】D【解析】如圖：將五個(gè)區(qū)域分別記為①，②，③，④，⑤，則滿足條件的涂色方案可分為兩類，第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，其中區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有2種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案有SKIPIF1<0種方案，即48種方案；區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有1種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案有SKIPIF1<0種方案，即24種方案；所以符合條件的涂色方案共有72種，故選：D．例29．（2022春·寧夏銀川·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個(gè)點(diǎn)涂色（五種顏色不一定用完），要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂法種數(shù)是（

）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D【解析】先給O涂色，有SKIPIF1<0種方法，接著給A涂色，有SKIPIF1<0種方法，接著給B涂色，有SKIPIF1<0種方法，①若C與A同色，則有1種涂色方法，接著給D涂色，有3種涂色方法，最后E有2種涂色方法；②若C與A不同色，則有2種涂色方法，接著給D涂色，若D與A同色，則有1種涂色方法，最后E有3種涂色方法；若D與A不同色，則有2種涂色方法，最后E有2種涂色方法．綜上，涂色方法總數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：D例30．（2022秋·河北石家莊·高二石家莊市第十五中學(xué)?？计谥校┯盟姆N顏色給正四棱錐SKIPIF1<0的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（

）A．72種 B．36種 C．12種 D．60種【答案】A【解析】如下表頂點(diǎn)VABCD種數(shù)432C與A同色12C與A不同色11總計(jì)SKIPIF1<0故選：A．核心考點(diǎn)十一：分組問題【典型例題】例31．2021年春節(jié)期間電影《你好，李煥英》因“搞笑幽默不庸俗，真心實(shí)意不煽情”深受熱棒，某電影院指派5名工作人員進(jìn)行電影調(diào)查問卷，每個(gè)工作人員從編號為1，2，3，4的4個(gè)影廳選一個(gè)，可以多個(gè)工作人員進(jìn)入同一個(gè)影廳，若所有5名工作人員的影廳編號之和恰為10，則不同的指派方法種數(shù)為（

）A．91 B．101 C．111 D．121【答案】B【解析】（1）若編號為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0種，（2）若編號為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0種，（3）若編號為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0種，（4）若編號為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0種，（5）若編號為SKIPIF1<0，則有1種，所以不同的指派方法種數(shù)為SKIPIF1<0種．故選：B．例32．已知有6本不同的書．（1）分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？【解析】（1）6本書平均分成3堆，不同的分堆方法的種數(shù)為SKIPIF1<0．（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，不同的分堆方法的種數(shù)為SKIPIF1<0核心考點(diǎn)十二：分配問題【典型例題】例33．（2022·浙江·模擬預(yù)測）杭州亞運(yùn)會啟動志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人報(bào)名參加了SKIPIF1<0三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目需1名或2名志愿者，若甲不能參加SKIPIF1<0項(xiàng)目，乙不能參加SKIPIF1<0、SKIPIF1<0項(xiàng)目，那么共有______種不同的志愿者選拔方案．【答案】10【解析】由題意可得乙一定參加SKIPIF1<0項(xiàng)目，若SKIPIF1<0項(xiàng)目只有一個(gè)人時(shí)，即為乙，則先將甲、丙、丁分為兩組，有SKIPIF1<0種，再將兩組分配到SKIPIF1<0兩個(gè)項(xiàng)目，有SKIPIF1<0種，則有SKIPIF1<0種不同的志愿者選拔方案，若SKIPIF1<0項(xiàng)目有2人時(shí)，又甲不能參加SKIPIF1<0項(xiàng)目，則只能從丙、丁中選1人和乙組隊(duì)到SKIPIF1<0項(xiàng)目，有SKIPIF1<0種，再將剩下的2人分配到SKIPIF1<0兩個(gè)項(xiàng)目，有SKIPIF1<0種，則有SKIPIF1<0種不同的志愿者選拔方案，綜上，共有SKIPIF1<0種不同的志愿者選拔方案．故答案為：10．例34．（2022·上海長寧·統(tǒng)考一模）有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)；現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，則共有___________種不同的選法【答案】SKIPIF1<0【解析】第一步，先從6人中任選2人承擔(dān)任務(wù)甲，有SKIPIF1<0種選法，第二步，再從剩余4人中任選1人承擔(dān)任務(wù)乙，有SKIPIF1<0種選法，第三步，再從3人中任選1人承擔(dān)任務(wù)丙，有SKIPIF1<0種選法，所以共有SKIPIF1<0種選法．故答案為：SKIPIF1<0．例35．（2022·四川南充·高三統(tǒng)考期中）隨著高三學(xué)習(xí)時(shí)間的增加，很多高三同學(xué)心理壓力加大．通過心理問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某校高三年級有5位學(xué)生心理問題凸顯，需要心理老師干預(yù)．已知該校高三年級有3位心理老師，每位心理老師至少安排1位學(xué)生，至多安排3位學(xué)生，則共有______種心理輔導(dǎo)安排方法．【答案】150【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5位學(xué)生分為3組，若有兩組2人，一組1人，有SKIPIF1<0種分組方法，若兩組1人，一組3人，有SKIPIF1<0種分組方法，則有15＋10＝25種分組方法，②將分好的3組安排給3個(gè)老師進(jìn)行心理輔導(dǎo)，有SKIPIF1<0種情況，則有25×6＝150種安排方法，故答案為：150．核心考點(diǎn)十三：隔板法【典型例題】例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）六元一次方程SKIPIF1<0的正整數(shù)解有________組．【答案】126【解析】SKIPIF1<0的正整數(shù)解的組數(shù)為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將10本完全相同的科普知識書，全部分給甲?乙?丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（

）A．720種 B．420種 C．120種 D．15種【答案】D【解析】先從10本書中拿出3本，分給每人一本書，再將余下7本書采用“隔板法”分給3個(gè)人，分法種數(shù)為SKIPIF1<015，故選：D例38．（2022春·山東濟(jì)寧·高三濟(jì)寧一中?？奸_學(xué)考試）SKIPIF1<0展開式為多項(xiàng)式，則其展開式經(jīng)過合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（

）A．12項(xiàng) B．24項(xiàng) C．39項(xiàng) D．78項(xiàng)【答案】D【解析】SKIPIF1<0展開之后必有形如SKIPIF1<0的式子出現(xiàn)，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．構(gòu)造14個(gè)完全一樣的小球模型，分成3組，每組至少一個(gè)，利用隔板法，共有分法SKIPIF1<0種；每組去掉一個(gè)小球的數(shù)目分別為SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0各字母的次數(shù)；小球分組模型與各項(xiàng)的次數(shù)是一一對應(yīng)的，故SKIPIF1<0的展開式中，合并同類項(xiàng)之后的項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0項(xiàng)．故選：D核心考點(diǎn)十四：數(shù)字排列【典型例題】例39．（2022春·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字．如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個(gè)數(shù)字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胗颐娴谋砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有______個(gè)【答案】20【解析】由題意可得，用2根火柴棒表示數(shù)字1，3根火柴棒表示數(shù)字7，4根火柴棒表示數(shù)字4，5根火柴棒表示數(shù)字2，3或5，6根火柴棒表示數(shù)字6或9，7根火柴棒表示數(shù)字8，數(shù)字不重復(fù)，因此8根火柴棒只能分成兩類：2和6，3和5，組成兩個(gè)數(shù)字，還有數(shù)字只能為0，這樣組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)數(shù)為：SKIPIF1<0．故答案為：20例40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成_____個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．【答案】198【解析】當(dāng)用0時(shí)，0只能在個(gè)位，十位，百位三個(gè)位置之一．當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，從2，4，6中再取1個(gè)數(shù)字（3種方法），從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字（即排除1個(gè)，有3種不同的方法），將這取得的3個(gè)數(shù)字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×3×6=54種方法；當(dāng)十位或百位為0時(shí)（2種不同方法），從2，4，6中再取1個(gè)數(shù)字放置在個(gè)位（3種方法），然后從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字（即排除1個(gè)，有3種不同的方法），在其余兩位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有2×3×3×2=36種方法；當(dāng)沒有用0時(shí)，從2，4，6中任取1個(gè)數(shù)字放置在個(gè)位（有3中不同的方法）；在從其余的2個(gè)非零偶數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字（2種不同方法），從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字（有3種不同方法），將這3個(gè)數(shù)字在除個(gè)位之外的十百千3個(gè)位置上任意排列（有3!=6種不同的方法），由分步乘法計(jì)數(shù)原理方法數(shù)為3×2×3×6=108種．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，一共有沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)54+36+108=198個(gè)，故答案為：198．例41．（2022·天津?qū)氎妗ぬ旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？级＃┯脭?shù)字SKIPIF1<0組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為____．【答案】SKIPIF1<0【解析】要組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位只能排SKIPIF1<0中的一個(gè)數(shù)，共有3種排法，然后還剩SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，剩余的SKIPIF1<0個(gè)數(shù)可以在十位到萬位SKIPIF1<0個(gè)位置上全排列，共有SKIPIF1<0種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，由SKIPIF1<0組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有SKIPIF1<0個(gè)．故答案為：SKIPIF1<0．核心考點(diǎn)十五：幾何問題【典型例題】例42．（2022秋·山東聊城·高二校考期中）從正方體六個(gè)面的對角線中任取兩條作為一對，其中相互平行或相互垂直的有（

）A．24對 B．16對 C．18對 D．48對【答案】C【解析】從正方體六個(gè)面的對角線中任取兩條作為一對，相互平行或相互垂直，則考慮相對面的相互平行或相互垂直的情況即可．相對面中，相互平行的有2對，相互垂直的4對，共6對，正方體有三組相對面，故3×6=18，故選C例43．（2022·全國·高考真題）在直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0三邊所在直線的方程分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（

）A．95 B．91 C．88 D．75【答案】B【解析】由題設(shè)，直線SKIPIF1<0分別交x、y軸于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，以高為10，寬為15的矩形內(nèi)（含邊）整數(shù)點(diǎn)有176個(gè)，其中直線SKIPIF1<0上的整數(shù)點(diǎn)有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，共6個(gè)，所以，矩形對角線SKIPIF1<0兩側(cè)的三角形中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)，綜上，△SKIPIF1<0中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)．故選：B例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0分子是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，SKIPIF1<0是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子，它具有60個(gè)頂點(diǎn)和若干個(gè)面，．各個(gè)面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖．已知其中正六邊形的面為20個(gè)，則正五邊形的面為（

）個(gè)．A．10 B．12C．16 D．20【答案】B【解析】由結(jié)構(gòu)圖知：每個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在3個(gè)面內(nèi)，所以五邊形面數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)，故選B．核心考點(diǎn)十六：分解法模型與最短路徑問題【典型例題】例45．（2022秋·內(nèi)蒙古·高二校考期中）如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），SKIPIF1<0段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短路徑有（

）A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．SKIPIF1<0種 D．SKIPIF1<0種【答案】B【解析】由題意知：從從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短路徑要通過7段馬路，4段水平馬路，3段豎直馬路，共有SKIPIF1<0種，又因?yàn)榻?jīng)過SKIPIF1<0段的走法有SKIPIF1<0種，故不經(jīng)過SKIPIF1<0段的最短路程有SKIPIF1<0種．故選：B．例46．（2022·陜西西安·西安中學(xué)校考模擬預(yù)測）在某城市中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩地有如圖所示的方格型道路網(wǎng)，甲隨機(jī)沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從SKIPIF1<0地出發(fā)去往SKIPIF1<0地，且不經(jīng)過SKIPIF1<0地，則不同的路徑共有________條．【答案】66【解析】由圖可知，從SKIPIF1<0地出發(fā)去往SKIPIF1<0地的最短路徑需要9步，其中4步向上，5步向右，則不同的路徑共有SKIPIF1<0條．若途徑SKIPIF1<0地，則不同的路徑共有SKIPIF1<0條．故從SKIPIF1<0地出發(fā)去往SKIPIF1<0地，且不經(jīng)過SKIPIF1<0地的不同路徑共有SKIPIF1<0條．故答案為：66．例47．5400的正約數(shù)有（

）個(gè)A．48 B．46 C．36 D．38【答案】A【解析】SKIPIF1<0，5400的正約數(shù)一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結(jié)果，所以正約數(shù)個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0．故選：A．核心考點(diǎn)十七：排隊(duì)問題【典型例題】例48．（2022春·福建福州·高三福州四中校考階段練習(xí)）甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測，到達(dá)檢測點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)有SKIPIF1<0兩支正在等待檢測的隊(duì)伍，則甲、乙、丙三人不同的排隊(duì)方案共有______種．【答案】24【解析】先進(jìn)行分類：①3人到SKIPIF1<0隊(duì)伍檢測，考慮三人在SKIPIF1<0隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有SKIPIF1<0種方案；②2人到SKIPIF1<0隊(duì)伍檢測，同樣要考慮兩人在SKIPIF1<0隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有SKIPIF1<0種方案；③1人到SKIPIF1<0隊(duì)伍檢測，要考慮兩人在SKIPIF1<0隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有SKIPIF1<0種方案；④0人到SKIPIF1<0隊(duì)伍檢測，要考慮兩人在SKIPIF1<0隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有SKIPIF1<0種方案；所以，甲、乙、丙三人不同的排隊(duì)方案共有24種．故答案為：24例49．（2022秋·安徽·高三蕪湖一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某醫(yī)院對9個(gè)人進(jìn)行核酸檢測，為了防止排隊(duì)密集，將9人分成兩組，第一組5人，排隊(duì)等候，由于甲、乙兩人不熟悉流程，故無論在哪一組，排隊(duì)都不在第一位，則第一組的不同排法種數(shù)為_________．（用數(shù)字作答）【答案】11760【解析】第一組的第一位排法種數(shù)為7，后4位的排法種數(shù)SKIPIF1<0，故所有排法種數(shù)為SKIPIF1<0．故答案為：11760．例50．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）有七名同學(xué)排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測，其中小王站在正中間，并且小李?小張兩位同學(xué)要站在一起，則不同的排隊(duì)法有___________種．【答案】192【解析】當(dāng)小李和小張?jiān)谛⊥醯淖髠?cè)時(shí)共有SKIPIF1<0（種）排列方法，同理，當(dāng)小李和小張?jiān)谛⊥醯挠覀?cè)時(shí)也有96種排列方法，∴共有192種排列方法．故答案為：192核心考點(diǎn)十八：構(gòu)造法模型和遞推模型【典型例題】例51．賈同學(xué)、王同學(xué)、文同學(xué)三人在操場踢球，每次傳球，傳球者將球隨機(jī)將傳給另外兩位同學(xué)之一，足球最開始在文同學(xué)腳下，則：①SKIPIF1<0次傳球之后，共有___________種可能的傳球方法；②SKIPIF1<0次傳球之后，足球回到文同學(xué)腳下的傳球方法有___________種．【答案】SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【解析】每次傳球有兩種方法，所以SKIPIF1<0次傳球之后，共有SKIPIF1<0種可能的傳球方法；設(shè)SKIPIF1<0次傳球之后，足球回到文同學(xué)腳下的傳球方法為SKIPIF1<0種．則2SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0例52．一只螞蟻從一個(gè)正四面體SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，每次從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)，則螞蟻爬行五次還在點(diǎn)SKIPIF1<0的爬行方法種數(shù)是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】解法一：第一次爬行可以到SKIPIF1<0的任何一點(diǎn)，第二次爬行分到SKIPIF1<0與不到SKIPIF1<0，對于第二次不到SKIPIF1<0的第三次爬行再分到SKIPIF1<0與不到SKIPIF1<0．爬行方法總數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0（種）．解法二：設(shè)從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)爬行SKIPIF1<0次仍在點(diǎn)SKIPIF1<0的爬行方法種數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（亦可由遞推式從第二項(xiàng)遞推出第五項(xiàng)的值）故答案為：SKIPIF1<0．核心考點(diǎn)十九：環(huán)排問題【典型例題】例53．21個(gè)人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報(bào)數(shù)．那么在僅剩兩個(gè)人沒有表演過節(jié)目的時(shí)候，共報(bào)數(shù)的次數(shù)為A．19 B．38 C．51 D．57【答案】D【解析】根據(jù)題意21人報(bào)數(shù)21人次，其中有7人次報(bào)數(shù)為3，則此7人出列，剩下13人；13人報(bào)數(shù)15人次，其中有5人報(bào)數(shù)為3，則此5人出列，剩下8人；8人報(bào)數(shù)9人次，其中有3人報(bào)數(shù)為3，則此3人出列，剩下5人；5人報(bào)數(shù)6人次，其中有2人報(bào)數(shù)為3，則此2人出列，剩下3人；3人報(bào)數(shù)3人次，其中有1人次報(bào)數(shù)為3，則此1人出列，剩下2人；2人報(bào)數(shù)3人次，其中1人次報(bào)數(shù)為3，則此人出列，剩下1人．在這個(gè)過程中一共報(bào)數(shù)：21+15+9+6+3+3=57人次．應(yīng)選答案D．例54．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種【答案】B【解析】先安排甲，其選座方法有SKIPIF1<0種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學(xué)坐另兩個(gè)位置的坐法有SKIPIF1<0種，所以共有坐法種數(shù)為SKIPIF1<0種．故選：B．【新題速遞】一、單選題1．（2022·云南昆明·昆明一中模擬預(yù)測）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周圍ABCD四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．48 D．84【答案】D【解析】由題意可知：四個(gè)區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：當(dāng)種植的鮮花為兩種時(shí)：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相同，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相同，共有SKIPIF1<0種種植方法；當(dāng)種植鮮花為三種時(shí)：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相同或SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相同，此時(shí)共有SKIPIF1<0種種植方法；當(dāng)種植鮮花為四種時(shí)：四個(gè)區(qū)域各種一種，此時(shí)共有SKIPIF1<0種種植方法，綜上：則不同的種植方法的種數(shù)為SKIPIF1<0種，故選：SKIPIF1<0．2．（2022春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某醫(yī)院進(jìn)行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、電圖、血壓測量等五個(gè)檢查項(xiàng)目．為了體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，抽血必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成，而李老師決定腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)不連在一起接著檢查．則不同順序的檢查方案一共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】B【解析】由題意不同順序的檢查方案一共有SKIPIF1<0種．故選：B．3．（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某單位準(zhǔn)備從新入職的4名男生和3名女生中選2名男生和1名女生分配到某部門3個(gè)不同的崗位，不同的分配方案有（

）A．18種 B．36種 C．60種 D．108種【答案】D【解析】首先選出2名男生和1名女生，共有SKIPIF1<0種情況，再把選出來的人進(jìn)行全排列，共有SKIPIF1<0種情況．所以不同的分配方案有SKIPIF1<0種．故選：D4．（2022春·河南許昌·高三階段練習(xí)）中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢．2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營階段．假設(shè)中國空間站要安排甲、乙等5名航天員進(jìn)艙開展實(shí)驗(yàn)，其中“天和核心艙”安排2人，“問天實(shí)驗(yàn)艙”安排2人，“夢天實(shí)驗(yàn)艙”安排1人．若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（

）A．9種 B．24種 C．26種 D．30種【答案】B【解析】依題意，先從5名航天員中安排1人到“夢天實(shí)驗(yàn)艙”，則有SKIPIF1<0種安排方案，再將剩下的4人分成兩組，每組2人，則有SKIPIF1<0種安排方案，接著將這兩組分配到“天和核心艙”與“問天實(shí)驗(yàn)艙”，有SKIPIF1<0種安排方案，所以這5名航天員的安排方案共有SKIPIF1<0種，其中甲、乙兩人同在“天和核心艙”內(nèi)的安排方案有SKIPIF1<0種，同在“問天實(shí)驗(yàn)艙”內(nèi)的安排方案有SKIPIF1<0種，即甲、乙兩人在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)的安排方案有SKIPIF1<0種，所以甲、乙兩人不在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)的安排方案有SKIPIF1<0種．故選：B．5．（2022·四川南充·統(tǒng)考一模）在某次紅藍(lán)雙方舉行的聯(lián)合軍演的演練中，紅方參加演習(xí)的有4艘軍艦，3架飛機(jī)；藍(lán)方有2艘軍艦，4架飛機(jī)．現(xiàn)從紅、藍(lán)兩方中各選出2件裝備（1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一件裝備，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同）先進(jìn)行預(yù)演，則選出的四件裝備中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有（

）A．60種 B．120種 C．132種 D．168種【答案】A【解析】若從紅方選出一架飛機(jī)，則有SKIPIF1<0種選法．若從藍(lán)方選出一架飛機(jī)，則有SKIPIF1<0種選法．則共有SKIPIF1<0種選法．故選：A6．（202