高中數(shù)學(xué)人教A版第一章空間幾何體（市一等獎）

章末分層突破[自我校對]①棱錐②圓錐③正視圖④側(cè)視圖⑤俯視圖⑥S表＝S側(cè)＋S底，V＝Sh⑦S表＝S側(cè)＋S底，V＝eq\f(1,3)Sh⑧S表＝4πR2，V＝eq\f(4,3)πR3(教師用書獨具)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)類比記憶棱柱、棱錐、棱臺等多面體的概念、性質(zhì)．(2)圓柱、圓錐和圓臺都是旋轉(zhuǎn)體，其軸截面其實為旋轉(zhuǎn)的平面圖形及其關(guān)于旋轉(zhuǎn)軸對稱的圖形的組合，它反應(yīng)了這三類幾何體基本量之間的關(guān)系，因此軸截面是解決這三類幾何體問題的關(guān)鍵．(3)球是比較特殊的旋轉(zhuǎn)體，球的對稱性是解題的突破口．(4)對于簡單組合體的性質(zhì)的研究多采用分割法，將其分解為幾個規(guī)則的幾何體再進(jìn)行研究．根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，說出幾何體的名稱．(1)由六個面圍成，其中一個面是凸五邊形，其余各面是有公共頂點的三角形；(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形；(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體．【精彩點撥】根據(jù)所給的幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，結(jié)合所學(xué)幾何體的結(jié)構(gòu)特征做出判斷．【規(guī)范解答】(1)如圖①，因為該幾何體的五個面是有公共頂點的三角形，所以是棱錐，又其底面是凸五邊形，所以是五棱錐．(2)如圖②，等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形，每個直角梯形旋轉(zhuǎn)180°形成半個圓臺，故該幾何體為圓臺．(3)如圖③，過直角梯形ABCD的頂點A作AO⊥CD于點O，將直角梯形分為一個直角三角形AOD和一個矩形AOCB，繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體，該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成．[再練一題]1．斜四棱柱的側(cè)面是矩形的面最多有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個【解析】如圖所示，在斜四棱柱AC′中，若AA′不垂直于AB，則DD′也不垂直于DC，所以四邊形ABB′A′和四邊形DCC′D′就不是矩形，但面AA′D′D和面BB′C′C可以為矩形．故選C.【答案】C空間幾何體的三視圖與直觀圖三視圖是從三個不同的方向看同一個物體而得到的三個視圖，為了使空間圖形的直觀圖更加直觀、準(zhǔn)確地反映空間圖形的大小，往往需要把圖形向幾個不同的平面分別作投影，然后把這些投影放在同一個平面內(nèi)，并有機(jī)結(jié)合起來表示物體的形狀和大小，從三視圖可以看出，俯視圖反映物體的長和寬，正視圖反映它的長和高，側(cè)視圖反映它的寬和高．注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線用虛線畫出．熟記常見幾何體的三視圖．畫組合體的三視圖時可先拆，后畫，再檢驗．(1)一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正視圖、俯視圖如圖1-1所示，則其側(cè)視圖為()圖1-1(2)如圖1-2，ABCD是一水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，AB∥CD，AD⊥CD，且BC與y軸平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2eq\r(2)，則該平面圖形的實際面積是________.圖1-2【精彩點撥】(1)解答本題根據(jù)各種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，充分發(fā)揮空間想象能力，先確定是什么幾何體，再確定其側(cè)視圖．(2)eq\x(直觀圖)→eq\x(斜二測畫法規(guī)則)→eq\x(原幾何體)→eq\x(面積)【規(guī)范解答】(1)根據(jù)一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖為：所以側(cè)視圖如圖所示．(2)由斜二測直觀圖的作圖規(guī)則知，該平面圖形是梯形，且AB、CD的長度不變，仍為6和4，高BC＝4eq\r(2)，∴S＝eq\f(1,2)(4＋6)×4eq\r(2)＝20eq\r(2).【答案】(1)C(2)20eq\r(2)[再練一題]2．(1)將正方體(如圖1-3(1)所示)截去兩個三棱錐，得到圖1-3(2)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()圖1-3(1)圖1-3(2)(2)若某幾何體的三視圖如圖1-4所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()圖1-4【解析】(1)圖1-3(2)所示的幾何體的側(cè)視圖由點A，D，B1，D1確定外形為正方形，判斷的關(guān)鍵是兩條對角線AD1和B1C是一實一虛，其中要把AD1和B1【答案】(1)B(2)D空間幾何體的表面積和體積空間幾何體體積與表面積的計算方法：(1)等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個面都可作為底面來處理，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換底等積變換便于問題的求解．(2)割補(bǔ)法：像求平面圖形的面積一樣，割補(bǔ)法是求幾何體的體積的一個重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個熟悉的柱、錐、臺體或它們的組合體；“補(bǔ)”就是通過補(bǔ)形，使它轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體．總之，割補(bǔ)法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體來解決．(3)展開法：把簡單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開成平面圖形，這樣便把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可以有效地解決簡單空間幾何體的表面積問題或側(cè)面上(球除外)兩點間的距離問題．(4)構(gòu)造法：對于某些幾何體性質(zhì)的探究較困難時，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對稱性比較好的幾何體，以此來研究所求幾何體的性質(zhì)．如圖1-5，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．圖1-5【精彩點撥】題中的幾何體是一個不規(guī)則圖形，無法直接利用公式來計算其體積，需通過割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體后再利用公式計算．【規(guī)范解答】在該幾何體的上面，再補(bǔ)一個倒立的同樣幾何體，則構(gòu)成底面半徑為r，高為a＋b的圓柱．∴其體積為eq\f(1,2)πr2(a＋b)．【答案】eq\f(πr2a＋b,2)[再練一題]3．如圖1-6(1)所示，已知正方體面對角線長為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖1-6(2)所示的幾何體，那么此幾何體的全面積為()圖1-(6)(1)圖1-6(2)A．(1＋2eq\r(2))a2 B．(2＋eq\r(2))a2C．(3－2eq\r(2))a2 D．(4＋eq\r(2))a2【解析】正方體的邊長為eq\f(\r(2),2)a，新幾何體的全面積S＝2×eq\f(\r(2),2)a×a＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋2×a×eq\f(a,2)＝(2＋eq\r(2))a2.【答案】B化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化思想，其實質(zhì)就是化繁為簡，化難為易，化陌生為熟悉，化整為零，從而達(dá)到解決問題的目的．轉(zhuǎn)化思想在本章中也有較多應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一是立體問題平面化，如旋轉(zhuǎn)體中軸截面的應(yīng)用，側(cè)面展開圖的應(yīng)用．二是等積變換，如三棱錐變換頂點．三是割補(bǔ)法的應(yīng)用，把不規(guī)則的幾何體通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體．如圖1-7所示，圓臺母線AB長為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點，求這條繩子長度的最小值．圖1-7【精彩點撥】利用圓臺的側(cè)面展開圖轉(zhuǎn)化到平面圖形解決．【規(guī)范解答】如圖所示，作出圓臺的側(cè)面展開圖及其所在的圓錐．連接MB′，P，Q分別為圓臺的上、下底面的圓心．在圓臺的軸截面中，∵Rt△OPA∽Rt△OQB，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(PA,QB).∴eq\f(OA,OA＋20)＝eq\f(5,10)，∴OA＝20(cm)．設(shè)∠BOB′＝α，由扇形弧的長與底面圓Q的周長相等，得2×10×π＝2×OB×π×eq\f(α,360°)，即20π＝2×(20＋20)π×eq\f(α,360°)，∴α＝90°.∴在Rt△B′OM中，B′M＝eq\r(OM2＋OB′2)＝eq\r(302＋402)＝50(cm)，即所求繩長的最小值為50cm.[再練一題]4．圓柱的軸截面是邊長為5cm的正方形ABCD，從A到C圓柱側(cè)面上的最短距離為()A．10cm \f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC．5eq\r(2)cm D．5eq\r(π2＋1)cm【解析】如圖所示，沿母線BC展開，曲面上從A到C的最短距離為平面上從A′到C的線段的長．∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝eq\f(1,2)×2π×eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)π.∴A′C＝eq\r(A′B2＋BC2)＝eq\r(\f(25,4)π2＋25)＝5eq\r(\f(π2,4)＋1)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm)．【答案】B1．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()\f(2π,3) \f(4π,3)\f(5π,3) D．2π【解析】過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，選C.【答案】C2．某三棱錐的三視圖如圖1-8所示，則該三棱錐的體積為()圖1-8\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) D．1【解析】通過三視圖可還原幾何體為如圖所示的三棱錐P-ABC，通過側(cè)視圖得高h(yuǎn)＝1，底面積S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).【答案】A3．一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖1-9所示，則該幾何體的體積為()圖1-9\f(1,3)＋eq\f(2,3)π \f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)π\(zhòng)f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D．1＋eq\f(\r(2),6)πC[由三視圖知，該四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為eq\f(\r(2),2)，從而該幾何體的體積為eq\f(1,3)×12×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq