高中數(shù)學(xué)人教A版第一章空間幾何體（市一等獎(jiǎng)）

章末分層突破[自我校對(duì)]①棱錐②圓錐③正視圖④側(cè)視圖⑤俯視圖⑥S表＝S側(cè)＋S底，V＝Sh⑦S表＝S側(cè)＋S底，V＝eq\f(1,3)Sh⑧S表＝4πR2，V＝eq\f(4,3)πR3(教師用書獨(dú)具)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)類比記憶棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的概念、性質(zhì)．(2)圓柱、圓錐和圓臺(tái)都是旋轉(zhuǎn)體，其軸截面其實(shí)為旋轉(zhuǎn)的平面圖形及其關(guān)于旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱的圖形的組合，它反應(yīng)了這三類幾何體基本量之間的關(guān)系，因此軸截面是解決這三類幾何體問題的關(guān)鍵．(3)球是比較特殊的旋轉(zhuǎn)體，球的對(duì)稱性是解題的突破口．(4)對(duì)于簡(jiǎn)單組合體的性質(zhì)的研究多采用分割法，將其分解為幾個(gè)規(guī)則的幾何體再進(jìn)行研究．根據(jù)下列對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，說出幾何體的名稱．(1)由六個(gè)面圍成，其中一個(gè)面是凸五邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形；(2)一個(gè)等腰梯形繞著兩底邊中點(diǎn)的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形；(3)一個(gè)直角梯形繞較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)所給的幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，結(jié)合所學(xué)幾何體的結(jié)構(gòu)特征做出判斷．【規(guī)范解答】(1)如圖①，因?yàn)樵搸缀误w的五個(gè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形，所以是棱錐，又其底面是凸五邊形，所以是五棱錐．(2)如圖②，等腰梯形兩底邊中點(diǎn)的連線將梯形平分為兩個(gè)直角梯形，每個(gè)直角梯形旋轉(zhuǎn)180°形成半個(gè)圓臺(tái)，故該幾何體為圓臺(tái)．(3)如圖③，過直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A作AO⊥CD于點(diǎn)O，將直角梯形分為一個(gè)直角三角形AOD和一個(gè)矩形AOCB，繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)組合體，該組合體由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成．[再練一題]1．斜四棱柱的側(cè)面是矩形的面最多有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【解析】如圖所示，在斜四棱柱AC′中，若AA′不垂直于AB，則DD′也不垂直于DC，所以四邊形ABB′A′和四邊形DCC′D′就不是矩形，但面AA′D′D和面BB′C′C可以為矩形．故選C.【答案】C空間幾何體的三視圖與直觀圖三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一個(gè)物體而得到的三個(gè)視圖，為了使空間圖形的直觀圖更加直觀、準(zhǔn)確地反映空間圖形的大小，往往需要把圖形向幾個(gè)不同的平面分別作投影，然后把這些投影放在同一個(gè)平面內(nèi)，并有機(jī)結(jié)合起來表示物體的形狀和大小，從三視圖可以看出，俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，正視圖反映它的長(zhǎng)和高，側(cè)視圖反映它的寬和高．注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，不可見輪廓線用虛線畫出．熟記常見幾何體的三視圖．畫組合體的三視圖時(shí)可先拆，后畫，再檢驗(yàn)．(1)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖、俯視圖如圖1-1所示，則其側(cè)視圖為()圖1-1(2)如圖1-2，ABCD是一水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，AB∥CD，AD⊥CD，且BC與y軸平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2eq\r(2)，則該平面圖形的實(shí)際面積是________.圖1-2【精彩點(diǎn)撥】(1)解答本題根據(jù)各種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，充分發(fā)揮空間想象能力，先確定是什么幾何體，再確定其側(cè)視圖．(2)eq\x(直觀圖)→eq\x(斜二測(cè)畫法規(guī)則)→eq\x(原幾何體)→eq\x(面積)【規(guī)范解答】(1)根據(jù)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖為：所以側(cè)視圖如圖所示．(2)由斜二測(cè)直觀圖的作圖規(guī)則知，該平面圖形是梯形，且AB、CD的長(zhǎng)度不變，仍為6和4，高BC＝4eq\r(2)，∴S＝eq\f(1,2)(4＋6)×4eq\r(2)＝20eq\r(2).【答案】(1)C(2)20eq\r(2)[再練一題]2．(1)將正方體(如圖1-3(1)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖1-3(2)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()圖1-3(1)圖1-3(2)(2)若某幾何體的三視圖如圖1-4所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()圖1-4【解析】(1)圖1-3(2)所示的幾何體的側(cè)視圖由點(diǎn)A，D，B1，D1確定外形為正方形，判斷的關(guān)鍵是兩條對(duì)角線AD1和B1C是一實(shí)一虛，其中要把AD1和B1【答案】(1)B(2)D空間幾何體的表面積和體積空間幾何體體積與表面積的計(jì)算方法：(1)等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個(gè)面都可作為底面來處理，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換底等積變換便于問題的求解．(2)割補(bǔ)法：像求平面圖形的面積一樣，割補(bǔ)法是求幾何體的體積的一個(gè)重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個(gè)熟悉的柱、錐、臺(tái)體或它們的組合體；“補(bǔ)”就是通過補(bǔ)形，使它轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體．總之，割補(bǔ)法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體來解決．(3)展開法：把簡(jiǎn)單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開成平面圖形，這樣便把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可以有效地解決簡(jiǎn)單空間幾何體的表面積問題或側(cè)面上(球除外)兩點(diǎn)間的距離問題．(4)構(gòu)造法：對(duì)于某些幾何體性質(zhì)的探究較困難時(shí)，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對(duì)稱性比較好的幾何體，以此來研究所求幾何體的性質(zhì)．如圖1-5，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線長(zhǎng)的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．圖1-5【精彩點(diǎn)撥】題中的幾何體是一個(gè)不規(guī)則圖形，無法直接利用公式來計(jì)算其體積，需通過割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體后再利用公式計(jì)算．【規(guī)范解答】在該幾何體的上面，再補(bǔ)一個(gè)倒立的同樣幾何體，則構(gòu)成底面半徑為r，高為a＋b的圓柱．∴其體積為eq\f(1,2)πr2(a＋b)．【答案】eq\f(πr2a＋b,2)[再練一題]3．如圖1-6(1)所示，已知正方體面對(duì)角線長(zhǎng)為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖1-6(2)所示的幾何體，那么此幾何體的全面積為()圖1-(6)(1)圖1-6(2)A．(1＋2eq\r(2))a2 B．(2＋eq\r(2))a2C．(3－2eq\r(2))a2 D．(4＋eq\r(2))a2【解析】正方體的邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)a，新幾何體的全面積S＝2×eq\f(\r(2),2)a×a＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋2×a×eq\f(a,2)＝(2＋eq\r(2))a2.【答案】B化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化思想，其實(shí)質(zhì)就是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化陌生為熟悉，化整為零，從而達(dá)到解決問題的目的．轉(zhuǎn)化思想在本章中也有較多應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是立體問題平面化，如旋轉(zhuǎn)體中軸截面的應(yīng)用，側(cè)面展開圖的應(yīng)用．二是等積變換，如三棱錐變換頂點(diǎn)．三是割補(bǔ)法的應(yīng)用，把不規(guī)則的幾何體通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體．如圖1-7所示，圓臺(tái)母線AB長(zhǎng)為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，求這條繩子長(zhǎng)度的最小值．圖1-7【精彩點(diǎn)撥】利用圓臺(tái)的側(cè)面展開圖轉(zhuǎn)化到平面圖形解決．【規(guī)范解答】如圖所示，作出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及其所在的圓錐．連接MB′，P，Q分別為圓臺(tái)的上、下底面的圓心．在圓臺(tái)的軸截面中，∵Rt△OPA∽R(shí)t△OQB，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(PA,QB).∴eq\f(OA,OA＋20)＝eq\f(5,10)，∴OA＝20(cm)．設(shè)∠BOB′＝α，由扇形弧的長(zhǎng)與底面圓Q的周長(zhǎng)相等，得2×10×π＝2×OB×π×eq\f(α,360°)，即20π＝2×(20＋20)π×eq\f(α,360°)，∴α＝90°.∴在Rt△B′OM中，B′M＝eq\r(OM2＋OB′2)＝eq\r(302＋402)＝50(cm)，即所求繩長(zhǎng)的最小值為50cm.[再練一題]4．圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD，從A到C圓柱側(cè)面上的最短距離為()A．10cm \f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC．5eq\r(2)cm D．5eq\r(π2＋1)cm【解析】如圖所示，沿母線BC展開，曲面上從A到C的最短距離為平面上從A′到C的線段的長(zhǎng)．∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝eq\f(1,2)×2π×eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)π.∴A′C＝eq\r(A′B2＋BC2)＝eq\r(\f(25,4)π2＋25)＝5eq\r(\f(π2,4)＋1)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm)．【答案】B1．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()\f(2π,3) \f(4π,3)\f(5π,3) D．2π【解析】過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，選C.【答案】C2．某三棱錐的三視圖如圖1-8所示，則該三棱錐的體積為()圖1-8\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) D．1【解析】通過三視圖可還原幾何體為如圖所示的三棱錐P-ABC，通過側(cè)視圖得高h(yuǎn)＝1，底面積S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).【答案】A3．一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖1-9所示，則該幾何體的體積為()圖1-9\f(1,3)＋eq\f(2,3)π \f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)π\(zhòng)f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D．1＋eq\f(\r(2),6)πC[由三視圖知，該四棱錐是底面邊長(zhǎng)為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為eq\f(\r(2),2)，從而該幾何體的體積為eq\f(1,3)×12×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq