2021屆上海市虹口區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷

，則1．已知集合yx，則1．已知集合yxR，yy1高三數(shù)學(xué)

試卷（時(shí)間120分鐘，滿分150分）2021.4一．填題（1題每小題4分，題每小題分，本大題分）x2

．2n

33n

13．()的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)是．x4．某班級(jí)要從4名男生和3名女生中選取名同學(xué)參加志愿者活動(dòng)，則選出的3人中既有男生又要有女生的概率等于．5．給出下列命題：①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；②若兩個(gè)不同的平面垂直于一條直線，則這兩個(gè)平面互相平行；③若一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直．其中所有正確命題的序號(hào)為．6．已知P為拋物C:到y(tǒng)軸的距離5，則

2px(0)上一點(diǎn)，P到拋物C的焦點(diǎn)的距離為，．1/13

7．sin

sin

值等于（k表示）．8．設(shè)函數(shù)fx)的定義域?yàn)镈.若對(duì)于D內(nèi)的任意x,x)，都有112(x)[()x)]稱函數(shù)f(x)“Z函數(shù)有下列函數(shù)①f(x))2121③()；④f(x)x.其中“Z函數(shù)”的序號(hào)是（寫出所有的正確序號(hào)）9已知直三棱柱的各棱長都相等體積等于18(cm

3

)若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在O的表面上，則O的體積等于________(

3

).．直坐標(biāo)系xOy，定(,)，(,)折離112d()xy.設(shè)1

2

,n

2

Q)O(0,0)C，d(PO)，則d(QC)的取值范圍．．已知MN為圓

2

2

的條徑點(diǎn)(y)坐標(biāo)滿不組，PM取值范圍是．

12．在數(shù)列

n

an

，當(dāng)且僅

,k，若滿足am

2

4

8

16m

，則m的最小值為_______.二．選題（每小題分，滿分20分）13．雙曲線x

2

3

的兩條漸近線的夾角的大小等于……（）A

.CD.63614．已知函數(shù)

f(x)2sin(2x

)

，則“

2

”是“

f(x)

為偶函數(shù)”的（）條2/13

件A.充分非必要條件

.必要非充分條件

要條件

D.非充分也非必要條件15．復(fù)z滿足，且使得關(guān)的方程x

有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)

的個(gè)數(shù)為…………（）A.1個(gè)

.2個(gè)

.3個(gè)

D.4個(gè)16．在平面上，已知定點(diǎn)(2,0)，動(dòng)點(diǎn)(sin

cos

．在區(qū)間,上變化時(shí)，動(dòng)線段AP所形成圖形的面積為……（）．A.2

4

.

3

3

.

D.6三．解題（本大題分76）17．（本題滿分14分.第（1）小題7分，第（）小題7分.）在三棱錐中，PCAC2，O是線段AC的中點(diǎn)，M是線段BC的中點(diǎn)．（1）求證：平面ABC（2）求直線PM與平所成的角的大?。?/13

18．（本題滿分14分.第（1）小題7分，第（）小題7分.）aatR已知函數(shù))gx)2x．a(chǎn)a（1）t，求不等式f(x)g(x)的解；（2）若函F()a

f()

2

t在區(qū)間上有零點(diǎn)，t的取值范圍．19．（本題滿分14分.第（1）小題6分，第（）小題8分.）如圖某公園有一塊直角三角形ABC的空地其

2

，

6

，AC千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)DEF文化景觀區(qū)，其DEF別在、、AB．DEC

.（1）

3

，DEF的邊長；4/13

（2）多大時(shí)DEF的邊長最?。坎⑶蟪鲎钚≈?0．（本題滿分16分.第（1）小題4分，第（）小題6分，第（3）小題6分）已知橢C方程為2

2

.（）

M(,)是橢C上的點(diǎn)，證明：直線MM

xM2

y橢有且只有一M個(gè)公共點(diǎn)；（2）過點(diǎn)N2)兩條與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，公共點(diǎn)分別記為A、B，點(diǎn)N直線AB上的射影為Q求Q的坐標(biāo)；5/13

（3互相垂直的兩條直ll相交于點(diǎn)l、l都與橢C只有一個(gè)公共點(diǎn)，1212求點(diǎn)P的軌跡方程．21．（本題滿分18分.（）小題分，第（2小題6分，第（3）小題8分）.若數(shù)意正整i，jij，都存在正整，使，nij則稱數(shù)”．n（1）判斷各項(xiàng)均等a的常數(shù)列是否具有“性P”，并說明理由；（2）若公比的無窮等比數(shù)”，求首項(xiàng)a的值；n1（3）若首a的無窮等差數(shù)”，求公d的值16/13

一.

虹口區(qū)學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試高三數(shù)試題答案填空題1題每小4，7每小題分，本大滿分）6k1.1,4；2.1；3.20；4.；5.②③；6.4；7.；72878.③④；9.；10.[1,22]；11.；12.512；3二選擇題（小題分，滿20）13.；14.AC；D三解答題（大題滿76）17.分）:（1）BABC，AC，有

2

BC

2

AC

2

，從而有ABC

2

，且2.…………3分PAC是邊長等2的等邊三角形，POPO6.PB，從而有

2

2

BO

2

，

2

，BOBO，PO平面ABC.………7分（2）過MBO交BO，連.面ABCMNBOMN7/13

22422x22422x平面ABCMPN直線PM與平成的角.………………10分由（1）BOAC，從而N為線段的中點(diǎn)，MN

11，22PM

(2

7

，

MN14MPN714

，MPNarcsin

.所以直線PM與平面PBO所成的角的大小等

1414

.…分注：用空間向量解答的相應(yīng)給分18.（14分）解：t不等式fx))可化log2log(2ax55x等式f()()解集，2

5，解得x，不等式f()(x)的解集為4綜上所述：0，f()(x)的解集為，；a，f(xg(x)解集為4.…7分,（2）F(x)

f()

tx2t2t.…………8分tx

t，t

2

2)，∵x8/13

12t2∴x2)].……11txx1221設(shè)1,4，)得：或0，tx2tt解tt

2

.…………………分19.（14分）解：（1）的邊長為米.11，CE，AEx.32在AEF中

3

3

，

3

，AEF為三角

1x解xa.232所DEF的邊長等于a千米.………………6分3（2）的邊長x米.xcos

，

……8分在中，

2，EFA3

，

xsin

cos

，解得

acos

7(

323sincos7

a37sin()2

，

當(dāng)

時(shí)x2min9/13

a.……………分7

M12121122122M12121122122所以當(dāng)

aarctan時(shí)邊長取得最小值為千米.…分227（16y時(shí)線MM與橢有一個(gè)公共點(diǎn).

xM2

y直，M當(dāng)

M

時(shí)，由

xMy2xy2

x21得（)x2，y222M

xx2M4(MM，又Myy4yM

2M

，，從而方程組只有一組解，直線

xM2

y橢C的有且只有一個(gè)公共點(diǎn).…………4分Mxxx（2）設(shè)A()B(,).則兩條直線為y，，又N)22xx是它們的交點(diǎn)1y，22從而有(x,y(xy)坐標(biāo)滿足直22xx線方程y，所以直線：.……………8分2直線的方程為y222(x，由

xy2y2

解得

xy3

，即22Q()，……………分32(x由得2

x

x2(2

，由得，k23，……，相應(yīng)的給分）（3）設(shè)P(y.010/13

當(dāng)直ll有一條斜率不存在時(shí)(2,，xy.…………11分200當(dāng)直線l與l的斜率設(shè)為k和k，由112

()22

得

)x

k(y)

x

y

kxy，由

[4(kx)])x2ykx000

，

整

理

得(2

)

y0

，

，和是有12kk2

2

xy2，所以點(diǎn)P的軌跡方程是xy.…………16分21.（18分）解：（1若數(shù)”，由已知對(duì)于任意正整i，jnij，，都存在正整k，使，所kij

,解a.…………3分所以aa時(shí)常數(shù)數(shù)列滿“性質(zhì)P的所有條件數(shù)列具“性質(zhì)P；0時(shí)，數(shù)質(zhì)P”.…分n（2）對(duì)于任意正整i，jij存在正整，使，即kija1

a1

i

1

j

a21

，kj，1

m

.……6分m時(shí)m

任意正整ijiji

j得2

mj

,j，ij是正整數(shù)，所以存在正整數(shù)kj使成立,數(shù)列具有“性P”.……8分kijm時(shí)，取ij，ij，正整k不存在，數(shù)11/13

m列不具有“性質(zhì)P”.m綜上所述m.……………分1（3）2d.對(duì)于任意的正整n,存在整，使a得nnd

2n

.…………12分對(duì)于任意的正整,存在整kk，使a，兩式相減得2k1n2dak).n時(shí)，顯然不合題意.d0時(shí)，a，是整數(shù)，從而得到公d也整數(shù).…………14分n1d時(shí)，此數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，取滿足

(m