高中數(shù)學(xué)人教A版5不等式和絕對(duì)值不等式一不等式

2.基本不等式1．了解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)．2．理解定理1和定理2(基本不等式)．(重點(diǎn))3．掌握用基本不等式求一些函數(shù)的最值及實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1兩個(gè)定理及算數(shù)平均與幾何平均閱讀教材P5～P6“例3”以上部分，完成下列問(wèn)題．1．兩個(gè)定理定理內(nèi)容等號(hào)成立的條件定理1a2＋b2≥2ab(a，b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立定理2eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b＞0)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立2.算術(shù)平均與幾何平均如果a，b都是正數(shù)，我們稱eq\f(a＋b,2)為a，b的算術(shù)平均，eq\r(ab)為a，b的幾何平均．下列不等式中，正確的個(gè)數(shù)是()①若a，b∈R，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)；②若x∈R，則x2＋2＋eq\f(1,x2＋2)≥2；③若x∈R，則x2＋1＋eq\f(1,x2＋1)≥2；④若a，b為正實(shí)數(shù)，則eq\f(\r(a)＋\r(b),2)≥eq\r(ab).A．0B．1C．2【解析】顯然①不正確；③正確；對(duì)于②，雖然x2＋2＝eq\f(1,x2＋2)無(wú)解，但x2＋2＋eq\f(1,x2＋2)＞2成立，故②正確；④不正確，如a＝1，b＝4.【答案】C教材整理2利用基本不等式求最值閱讀教材P6～P8，完成下列問(wèn)題．已知x，y為正數(shù)，x＋y＝S，xy＝P，則(1)如果P是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，S取得最小值2eq\r(P)；(2)如果S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，P取得最大值eq\f(S2,4).若x≠0，則f(x)＝2－3x2－eq\f(12,x2)的最大值是________，取得最值時(shí)x的值是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750006】【解析】f(x)＝2－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4,x2)))≤2－3×4＝－10，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\f(4,x2)，即x＝±eq\r(2)時(shí)取等號(hào)．【答案】－10±eq\r(2)[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]利用基本不等式證明不等式已知a，b，c都是正數(shù)，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.【精彩點(diǎn)撥】觀察不等號(hào)兩邊差異，利用基本不等式來(lái)構(gòu)造關(guān)系．【自主解答】∵a>0，b>0，c>0，∴eq\f(a2,b)＋b≥2eq\r(\f(a2,b)·b)＝2a，同理：eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c.三式相加得：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.1．首先根據(jù)不等式兩端的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形或配湊使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式或其變形式進(jìn)行證明．2．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，上述不等式中“等號(hào)”成立，若三個(gè)式子中有一個(gè)“＝”號(hào)取不到，則三式相加所得的式子中“＝”號(hào)取不到．[再練一題]1．已知x，y，z均為正數(shù)，求證：eq\f(x,yz)＋eq\f(y,zx)＋eq\f(z,xy)≥eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z).【證明】∵x，y，z都是正數(shù)，∴eq\f(x,yz)＋eq\f(y,zx)＝eq\f(1,z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x)))≥eq\f(2,z).同理可得eq\f(y,zx)＋eq\f(z,xy)≥eq\f(2,x)，eq\f(z,xy)＋eq\f(x,yz)≥eq\f(2,y).將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得eq\f(x,yz)＋eq\f(y,zx)＋eq\f(z,xy)≥eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z).利用基本不等式求最值設(shè)x，y，z均是正數(shù)，x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值為_(kāi)_______．【精彩點(diǎn)撥】由條件表示y，代入到eq\f(y2,xz)中，變形為能運(yùn)用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等號(hào)取到的條件．【自主解答】由x－2y＋3z＝0，得y＝eq\f(x＋3z,2)，∴eq\f(y2,xz)＝eq\f(x2＋9z2＋6xz,4xz)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(9z,x)＋6))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(x,z)·\f(9z,x))＋6))＝3.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3z時(shí)，eq\f(y2,xz)取得最小值3.【答案】31．本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件消掉目標(biāo)函數(shù)中的y，通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的變形，轉(zhuǎn)化為考生所熟悉的使用基本不等式求最值的問(wèn)題．2．使用基本不等式求最值，必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①各項(xiàng)均為正數(shù)；②其和或積為定值；③等號(hào)必須成立，即“一正、二定、三相等”．在具體問(wèn)題中，“定值”條件決定著基本不等式應(yīng)用的可行性，決定著成敗的關(guān)鍵．[再練一題]2．已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，試求x＋y的最小值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750007】【解】∵x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝16.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，即y＝3x時(shí)等號(hào)成立．又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16.基本不等式的實(shí)際應(yīng)用某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2023年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷售量x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)t萬(wàn)元之間滿足3－x與t＋1成反比例的關(guān)系，如果不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬(wàn)件．已知2023年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需要投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完．(1)若計(jì)劃2023年生產(chǎn)的化妝品正好能銷售完，試將2023年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為促銷費(fèi)t(萬(wàn)元)的函數(shù)；(2)該企業(yè)2023年的促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？【精彩點(diǎn)撥】(1)兩個(gè)基本關(guān)系式是解答關(guān)鍵，即利潤(rùn)＝銷售收入－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)；生產(chǎn)成本＝固定費(fèi)用＋生產(chǎn)費(fèi)用；(2)表示出題中的所有已知量和未知量，利用它們之間的關(guān)系式列出函數(shù)表達(dá)式．利用基本不等式求最值．【自主解答】(1)由題意可設(shè)3－x＝eq\f(k,t＋1)(k＞0)，將t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－eq\f(2,t＋1).當(dāng)年生產(chǎn)x萬(wàn)件時(shí)，年生產(chǎn)成本為32x＋3＝32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,t＋1)))＋3.當(dāng)銷售x萬(wàn)件時(shí)，年銷售收入為150%×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,t＋1)))＋3))＋eq\f(1,2)t.由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正好銷完，得年利潤(rùn)y＝eq\f(－t2＋98t＋35,2t＋1)(t≥0)．(2)y＝eq\f(－t2＋98t＋35,2t＋1)＝50－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t＋1,2)＋\f(32,t＋1)))≤50－2eq\r(\f(t＋1,2)×\f(32,t＋1))＝50－2eq\r(16)＝42，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(t＋1,2)＝eq\f(32,t＋1)，即t＝7時(shí)，等號(hào)成立，ymax＝42，∴當(dāng)促銷費(fèi)定在7萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)最大．eq\x(設(shè)出變量)eq\o(→,\s\up10(建立))eq\x(數(shù)學(xué)模型)eq\o(→,\s\up10(定義域))eq\x(利用均值不等式求最值)eq\o(→,\s\up10(“＝”成),\s\do15(立的條件))eq\x(結(jié)論)[再練一題]3．如圖1-1-1所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為am，高度為bm，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60m2，問(wèn)當(dāng)a，b各為多長(zhǎng)時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔的面積忽略不計(jì))?圖1-1-1【解】法一設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意y＝eq\f(k,ab)，其中k為比例系數(shù)(k>0)．根據(jù)題意，得2×2b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，∴b＝eq\f(30－a,2＋a)(由a>0，b>0，可得a<30)．∴y＝eq\f(k,ab)＝eq\f(k,\f(30a－a2,2＋a)).令t＝a＋2，則a＝t－2.從而eq\f(30a－a2,2＋a)＝eq\f(30t－2－t－22,t)＝eq\f(34t－t2－64,t)＝34－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(64,t)))，∴y＝eq\f(k,ab)≥eq\f(k,34－2\r(t·\f(64,t)))＝eq\f(k,18).當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(64,t)，即a＋2＝eq\f(64,a＋2)時(shí)，取“＝”，∴a＝6.由a＝6，可得b＝3.綜上所述：當(dāng)a＝6m，b＝3m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ǘO(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，依題意y＝eq\f(k,ab)，其中k為比例系數(shù)(k>0)．要求y的最小值必須先求出ab的最大值．依題設(shè)4b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a>0，b>0)．∵a＋2b≥2eq\r(2ab)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)取“＝”)，∴ab＋2eq\r(2)eq\r(ab)≤30，可解得0<ab≤18.由a＝2b及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3，即a＝6，b＝3時(shí)，ab取得最大值，從而y的值最?。甗探究共研型]基本不等式的理解與判定探究1在基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)中，為什么要求a>0，b>0?【提示】對(duì)于不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，如果a，b中有兩個(gè)或一個(gè)為0，雖然不等式仍成立，但是研究的意義不大，當(dāng)a，b都為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式不成立；當(dāng)a，b中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另一個(gè)為正數(shù)，不等式無(wú)意義．探究2利用eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)求最值的條件是怎樣的？【提示】利用基本不等式求最值的條件是“一正、二定、三相等”，即(1)各項(xiàng)或各因式為正；(2)和或積為定值；(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值．探究3你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？【提示】如圖，以a＋b為直徑的圓中，DC＝eq\r(ab)，且DC⊥AB.因?yàn)镃D為圓的半弦，OD為圓的半徑，長(zhǎng)為eq\f(a＋b,2)，根據(jù)半弦長(zhǎng)不大于半徑，得不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2).顯然，上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．因此，基本不等式的幾何意義是圓的半弦長(zhǎng)不大于半徑；或直角三角形斜邊的中線不小于斜邊上的高．命題：①任意x>0，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2；②任意x∈R，ax＋eq\f(1,ax)≥2；③任意x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx＋eq\f(1,tanx)≥2；④任意x∈R，sinx＋eq\f(1,sinx)≥2.其中真命題有()A．③ B．③④C．②③ D.①②③④【精彩點(diǎn)撥】按基本不等式成立的條件進(jìn)行判定．【自主解答】在①④中，lgx∈R，sinx∈[－1,1]，不能確定lgx>0與sinx>0.因此①④是假命題；在②中，ax>0，ax＋eq\f(1,ax)≥2eq\r(ax·\f(1,ax))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，取等號(hào)，則②是真命題；在③中，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，tanx>0，有tanx＋eq\f(1,tanx)≥2，且x＝eq\f(π,4)時(shí)取等號(hào)，∴③是真命題．【答案】C1．本題主要涉及基本不等式成立的條件及取等號(hào)的條件．在定理1和定理2中，“a＝b”是等號(hào)成立的充要條件．但兩個(gè)定理有區(qū)別又有聯(lián)系：(1)eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)是a2＋b2≥2ab的特例，但二者適用范圍不同，前者要求a，b均為正數(shù)，后者只要求a，b∈R；(2)a，b大于0是eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的充分不必要條件；a，b為實(shí)數(shù)是a2＋b2≥2ab的充要條件．2．當(dāng)b≥a>0時(shí)，有變形不等式a≤eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))≤b.[再練一題]4．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750008】A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) \f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2【解析】A選項(xiàng)中，當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab，則排除A；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，a＋b<0<2eq\r(ab)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<0<eq\f(2,\r(ab))，則排除B，C選項(xiàng)；D選項(xiàng)中，由ab>0，則eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”，所以選D.【答案】D[構(gòu)建·體系]基本不等式—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(定理的理解),—\x(證明不等式),—\x(求最值),—\x(實(shí)際應(yīng)用)))1．下列結(jié)論中不正確的是()A．a(chǎn)＞0時(shí)，a＋eq\f(1,a)≥2 \f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2C．a(chǎn)2＋b2≥2ab ＋b2≥eq\f(a＋b2,2)【解析】選項(xiàng)A，C顯然正確；選項(xiàng)D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，∴a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)成立；而選項(xiàng)B中，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2不成立，因?yàn)槿鬭b＜0，則不滿足不等式成立的條件．【答案】B2．下列各式中，最小值等于2的是()\f(x,y)＋eq\f(y,x) \f(x2＋5,\r(x2＋4))C．tanθ＋eq\f(1,tanθ) ＋2－x【解析】∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2－x，即x＝0時(shí)，等號(hào)成立．故選D.【答案】D3．已知eq\f(5,x)＋eq\f(3,y)＝1(x>0，y>0)，則xy的最小值是()A．15 B．6C．60 【解析】∵eq\f(5,x)＋eq\f(3,y)≥2eq\r(\f(15,xy))(當(dāng)且僅當(dāng)x＝10，y＝6時(shí)，取等號(hào))，∴2eq\