高中數(shù)學蘇教版第一章三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) 校賽得獎

數(shù)學《任意角的三角函數(shù)》教學案例江蘇省錫山高級中學楊志文【教學目標】1、學生能認識到定義任意角三角函數(shù)的必要性和任意角三角函數(shù)定義規(guī)定的合理性；能從函數(shù)的概念理解三角函數(shù)的定義，會根據(jù)已知角的終邊，求出角的三角函數(shù)值；2、學生自己能根據(jù)三角函數(shù)的定義，得到三角函數(shù)的定義域、三角函數(shù)在各象限的符號。會確定已知角的三角函數(shù)值的符號；3、知道有向線段、有向線段的數(shù)量的概念，理解三角函數(shù)值的幾何意義，會用正弦線、余弦線和正切線表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值?！窘虒W實錄】1．創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣（多媒體顯示）日出日落，寒來暑往……自然界中有許多“按一定規(guī)律周而復始”的現(xiàn)象，一個簡單又基本的例子便是“圓周上一點的運動.T：問題1：如何將圓周上一點P的位置表示出來呢？（提出問題后，讓學生思考、探索、談想法。稍后，有學生舉手）S1:可用直角坐標系將圓周上一點P的位置表示出來。以圓心為原點，以一條水平直徑為軸，過圓心且與這條直徑垂直的直徑為軸，建立直角坐標系，點P的位置可用坐標來表示。（學生講，教師用PPT顯示預設的圖形，如圖1）T：很好！還有其他表示法嗎？S2：我想還可用圓的半徑及過點P的半徑和一條水平半徑的角點P的位置。（學生講，教師用PPT顯示預設的圖形，如圖2。圖1、圖2可根據(jù)學生講得次序顯示）xOxOyP(x,y)PArO（圖1）（圖2）2.問題引動，探究新知T：問題2：既然是同一個點可用兩種方法表示，那么這兩種表示法之間有怎樣的聯(lián)系那？即α,r,x,y之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？T：初中時，我們怎樣利用直角三角形定義銳角三角函數(shù)呢？S3：畫直角三角形，所對的邊長分別為則有：BBACabc(學生講，教師板書)T：回答的很正確。問題3：若α為任意角，怎樣定義任意角α的三角函數(shù)呢？如怎樣求它的三角函數(shù)值呢？（讓學生思考，這個角在直角三角形中“放不下，怎么辦？讓學生提出解決問題的設想，學生若有困難，教師可引導學生回顧任意角的定義方法——借助直角坐標系）S4:借助直角坐標系,把角放在直角坐標系中來研究。yxyxOP(x,y)rS５：T:這些關系是函數(shù)嗎？若是，自變量是什么？誰是函數(shù)？S6：（平時喜歡發(fā)言，但不大動腦）自變量是，是函數(shù)。T：請同學們想想，有沒有不同意見。S7：我認為角是自變量，比值是函數(shù)。T：請說說你的理由。S7：點P的坐標,是線段OP的長度，比值隨角變化而變化，所以角是自變量，比值是函數(shù)。T：這位同學的看法不錯！但比值是否是角的函數(shù)，我們應用函數(shù)的定義來衡量一下。請同學們回顧函數(shù)的定義，想一想，比值究竟是否是角的函數(shù)？（過一會，有同學舉手）yxyxOP(x,y)rT：（這時需要扶一把）那么當點P取角終邊上不同點時，這個比值唯一確定嗎？S9：我認為當點P取角終邊上不同點時，這個比值不變。T：請你說說理由（向這位同學點頭微笑，鼓勵他說下去）。S9：在角終邊上另取一點，設由三角形相似，可得T：哇！太棒了。這位同學證明了對每一個角，有唯一的比值與它對應，比值與點P在角終邊上的位置無關。yxyxO的終邊P(x,y)rT：能否將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)呢？S10：可類似的規(guī)定任意角的三角函數(shù)。在角的終邊上任意取一點P，規(guī)定任意角的三角函數(shù)如下：T：這樣推廣到任意角，符合函數(shù)的定義嗎？（對規(guī)定的合理性提出質疑）。（此時，學生有點困惑，教師及時點點撥）T：我們一起來分析：角角（圖形）角的弧度（實數(shù)）比值（唯一實數(shù)）S11:：由前面對銳角三角函數(shù)的研究可知，對任意角，比值與點P在角終邊上的位置無關。對于確定的角，比值都唯一確定，故正弦、余弦都是角的函數(shù)。當時無意義。對于的每一個角，比值也唯一確定，所以正切也是角的函數(shù)。T：非常好！這位同學比較深刻的闡明了規(guī)定任意角的三角函數(shù)：的合理性。這三種函數(shù)都稱為三角函數(shù)。問題4.由三角函數(shù)的定義，能得到三角函數(shù)的那些性質呢？S12：可以知道三角函數(shù)的定義域，的定義域都是R，的定義域是：。S13：還可知道三角函數(shù)在各象限的符號。一、二象限為正，三、四象限為負;一、四象限為正，二、三象限為負；一、三象限為正，二、四象限為負。T：（老師根據(jù)學生所講的進行板書或畫圖表示）S14：我還可以知道的值都比1小，…。T：好的，有關三角函數(shù)的其他性質我們以后再進一步研究?！驹u課反饋】本節(jié)課的教學設計以轉變學生學習方式（新課改的核心理念）為指導，運用“創(chuàng)設情境——問題引動——主動探究——意義建構——數(shù)學運用”的探究性學習課堂教學模式，力求使課堂成為學生主動探究、展示自我的舞臺。上課開始從自然界中的普遍現(xiàn)象提出問題，激發(fā)學習動機，引發(fā)學生思考。從學生知識的最近發(fā)展區(qū)提出問題，再從學生的認知沖突中認識學習任意角的三角函數(shù)的必要性。先從特殊入手，認識在坐標系中銳角三角函數(shù)的定義，學生深刻理解三角函數(shù)值與點P在角ɑ的終邊上的位置無關，從特殊到一般探究任意角的三角函數(shù)定義，讓學生從映射、函數(shù)的定義認識、感受任意角三角函數(shù)定義規(guī)定的合理性。由任意角的三角函數(shù)定義，自然生成三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號。運用幾何畫板演示讓學生直觀體驗三角函數(shù)的幾何意義，得出三角函數(shù)線。最后通過課外探究題把探究性學習延伸到課外。本節(jié)內(nèi)容的教學中值得商榷的問題是：《任意角的三角函數(shù)》這節(jié)內(nèi)容，是1課時完成，還是分2課時完成。1課時完成，優(yōu)點是學生對任意角的三角函數(shù)能從數(shù)與形兩個方面較完整的認識。缺點是內(nèi)容較多，課堂留給學生思考、探究的時間較少。分兩課時完成，缺點是知識體系不夠完整。優(yōu)點是時間教寬裕，可給學生充分的思考、探究的時間。在三角函數(shù)線的教學中可生成較多的三角函數(shù)的性質。在教學內(nèi)容多、課時少的情況下，究竟怎樣處理比較好，敬請專家、同行出招。【課后反思】本節(jié)課是在陜西師范大學數(shù)科院與吳江市在震澤中學聯(lián)合舉辦的“自能?探究”公開教學活動中本人開設的公開課。由于是借班上課，課前沒有和學生接觸，也沒有布置學生預習，是一堂原生態(tài)的課。之前很擔心與學生的配合，但出乎我的意料，學生主動參與教學活動，使本節(jié)課成為自我感覺較滿意的一堂課。反思本節(jié)課的教學，成功之處主要有一下三點：（1）創(chuàng)設情境,激發(fā)學生主動學習的興趣新課程改革的重點是課堂教學改革，課堂教學改革的核心是轉變學生學習方式，變“被動接受式”學習為主動學習。學生學習某一知識，首先要有興趣，有了興趣，才會主動去學習，如果沒有興趣，只能被動接受。興趣是主動學習的前提。創(chuàng)設問題情境是激發(fā)學習興趣的有效途徑?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準》指出：“要重視從學生的生活實踐和已有知識中學習數(shù)學，理解數(shù)學”.在數(shù)學課堂中，通過有效合理的實際生活情境，激發(fā)學生積極主動地參與到學習活動中去.創(chuàng)設生活情境，可以直觀的再現(xiàn)問題，將數(shù)學與生活緊密相連，激發(fā)學生探索規(guī)律的興趣，新課程標準中很重要的改革是注重學生的情感與態(tài)度的培養(yǎng).新《普通高中數(shù)學課程標準》強調“要讓學生在現(xiàn)實、生動具體的情境中和已有知識的基礎上體驗和理解數(shù)學知識”.教師依據(jù)教學目標創(chuàng)設以形象為主體、富有感情色彩的具體場景或氛圍，激發(fā)和吸引學生主動學習，達到最佳教學效果。本節(jié)課從學生熟悉的直角三角形中銳角的三角函數(shù)入手，引導學生運用函數(shù)的觀點認識在坐標系中銳角三角函數(shù)的定義，從特殊到一般探究任意角的三角函數(shù)定義規(guī)定的合理性。由于教學起點定位準確，問題設計符合學生認知水平，學生課堂思維活躍，爭先發(fā)言，積極參與課堂教學活動。（2）問題引動，為學生主動探究學習提供了動力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準》中明確指出：“學生的數(shù)學學習活動，不應只限于接受、記憶、模仿和練習。高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式”。豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法，使學生學會學習，為終身學習和終身發(fā)展打下良好的基礎，是高中數(shù)學課程追求的基本理念。這是因為，社會的發(fā)展需要終身教育，而學生在學校中只能獲得其需要的部分知識和初步能力，更多的必須在其未來的人生歷程中依靠自主的探索、主動的學習，去不斷地充實自我，以適應不斷變化的社會需要。此外，數(shù)學學習不僅僅是記憶一些重要的數(shù)學結論，還要發(fā)展數(shù)學思維能力和積極的情感態(tài)度，再加上數(shù)學學科高度抽象的特點，這就需要學習者有積極主動、勇于探索的精神，需要有自主探索的過程，需要有多種豐富的學習方式。但由于我國數(shù)學教育長期以來受傳統(tǒng)思想及應試教育影響，傳統(tǒng)意義上的數(shù)學教學，強調的是知識的傳授，技能的訓練，教師的主導（實際上是教師的控制）。課堂教學方式基本上是灌輸式的講授法，學生的學習基本上是聽講、模仿、記憶、再現(xiàn)教師傳授的知識。因此，是一個被動接受知識、強化儲存的過程，忽視了學生在學習過程中的主體性，也就缺乏師生之間、生生之間的互動。對于抽象程度很高的數(shù)學學習來說，這樣一種數(shù)學教學活動導致的一個直接結果就是扼制了學生學習數(shù)學的積極情感，使學生覺得學習數(shù)學枯燥無味，對數(shù)學學習畏懼、沒有興趣，或越學越?jīng)]有興趣，認為數(shù)學就是做題，數(shù)學沒什么用處，學數(shù)學也就沒有用，這就不僅在客觀上由于教師的控制太多影響了學生的主體參與，而且在學生主觀上也缺乏主體參與的意向。這種教學方法顯然是一種被動的、接受式的應試教育。新課程改革的重點是課堂教學改革，課堂教學改革的核心是轉變學生學習方式，變“被動接受式”學習為主動探究性學習。課堂教學中怎樣才能使學生主動探究學習呢？主動探究學習的動力來自哪里呢？早在我國古代就有了“學起于思，思源于疑”的提法，它深刻地揭示了疑、思、學三者的關系.一個好的問題是學生主動探究學習的動力。所謂好的問題是指所設計的問題要具有科學性、趣味性，有探究的價值。問題的設計應遵循了以下三個原則：①目標性原則：針對學生實際，針對課堂教學所要構建的知識結構，針對教學目標.②啟發(fā)性原則：能啟發(fā)學生深入思考，有利學生思維訓練，有利于培養(yǎng)學生的科學探究能力.③最近發(fā)展區(qū)原則：所選問題都是在學生已有的知識基礎上，學生有能力解決.問題是科學思維的起點。在教學過程中以問題為中心，進行創(chuàng)造性教學.這里所說“以問題為中心”，就是以創(chuàng)造的開始——問題為紐帶來組織教學過程的各個環(huán)節(jié)，把問題貫穿于教學過程的始終，以滿足學生的求知欲，不斷給學生主動探究學習的動力。這樣就使學生的學習過程成為感受、理解知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，把學習知識的過程，變成了學生自主探究的“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的過程，進而培養(yǎng)學生的問題意識和科學精神.探究性學習，有兩個最顯著的特征，一是教學內(nèi)容的問題化；二是教學過程的探索化。問題是科學思維的起點，好的問題是學生主動探究學習的強勁動力。在本堂課的教學過程中，以問題“α,r,x,y之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？”為主干問題，設置問題組，以問題為紐帶組織教學過程的各個環(huán)節(jié)，把問題貫穿于教學過程的始終，以滿足學生的求知欲，不斷給學生主動探究學習的動力。學生在課堂隨著一個個問題解決的自豪，又面對一個個新的問題的出現(xiàn)，自豪感和求知欲促使他們始終處在興奮狀態(tài)。課堂上多次出現(xiàn)“我能”、“我要說”的主動探究的場景，探究，讓課堂煥發(fā)生命活力。（3）多元評價是學生主動探究加油站課堂評價的目的是促進學生的學習。不能認為對學生數(shù)學學習的評價就是測驗、考試；課堂對學生學習的評價就是看學生的解題的正確率。這種單一的課堂評價方式會導致課堂教學忽視數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展的過程，不給學生思考探究的時間和空間，一味的講題做練習，把一節(jié)課變成大量解題訓練。課堂評價的形式應多元化，課堂評價的內(nèi)容和方式要靈活多樣，將表現(xiàn)性評價（如學生的表情、發(fā)言、課堂問答等）、交流式評價（如師生、生生之間討論、互動等）和檢測性評（如課堂練習板演、課外作業(yè)等）相結合；將師生互評與生生互評相結合。評價是獲得設計、調整教學所必須的信息的手段，是教學過程不可分割的一部分。數(shù)學課可以根據(jù)不同的課型設計不同的評價方式。如在新授課教學中，重點應放在數(shù)學知識（數(shù)學概念、定理、結論）的發(fā)生發(fā)展的過程的教學，可采用表現(xiàn)性評價，根據(jù)學生課堂表現(xiàn)（學生的表情、發(fā)言、回答問題的程度）情況來判斷他的學習情況，也可以采用交流式評價，通過師生、生生之間交流互動進一步了解學生的學習情況；在習題課或復習課的教學中，可以根據(jù)學生具體的解題情況，采用檢測性評（如課堂練習板演、小測驗）來判斷學生對知識的掌握情況和運用知識解決問題的能力。對學生在課堂上的表現(xiàn)及時給予激勵性評價（如表揚、贊美等），使學生始終處在積極興奮狀態(tài)中，使課堂評價成為學生主動探究學習的加油站。在本節(jié)課的教學中，運用多種形式對學生在課堂學習中的表現(xiàn)進行評價。在教學過程中，陳老師多次激勵學生進行探究，如“很好！”、“哇！這個證法太妙了！”、“回答的很棒！”等對學生的課堂表現(xiàn)進行贊賞，評價學生的學習成果。由于不斷給學生打氣加油，課堂上學生學習的熱情高漲，表現(xiàn)積極主動。（4）課堂應是學生的舞臺《普通高中數(shù)學課程標準》以全新的教學觀念作為課程的基本理念，把數(shù)學教育提升為“