畫法幾何土木工程制圖第一章點

1畫法幾何及土木工程制圖第一章點（第五版）2目錄 §1-1點在兩投影面體系中的投影

§1-2點在三投影面體系中的投影

§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖

§1-4點的輔助投影3§1-1點在兩投影面體系中的投影

一、點的投影

空間點在投影面上的投影仍是點。在正投影中只有點的一個投影不能確定該點在空間的位置。

規(guī)定：表示空間的點用大寫字母標記，如A；表示點的投影用相應(yīng)的小寫字母標記，如a

。動畫

從本章起，如不特別聲明，講到“投影”，一律是指正投影。點擊1次4§1-1點在兩投影面體系中的投影

多面正投影法中，至少要用兩個互相垂直的投影面，構(gòu)建兩投影面體系，作出點的兩個投影，來確定該點在空間的位置。點擊1次

二、兩投影面體系及空間直角坐標系5§1-1點在兩投影面體系中的投影

水平放置的投影面稱為水平投影面，常標以“H”。

豎直放置的與H面垂直的投影面稱為正立投影面，常標以“V”。

點擊2次

二、兩投影面體系及空間直角坐標系6§1-1點在兩投影面體系中的投影

二、兩投影面體系及空間直角坐標系

H面和V面構(gòu)成兩投影面體系（簡稱兩面體系），它包含了確定空間點所必須的三個向度，即左右、前后、上下三個方向上的尺度。

在兩投影面體系中建立空間直角坐標系,空間點的位置用三個坐標（x，y，z）表示。

點擊1次7§1-1點在兩投影面體系中的投影

投影面是可以無限擴展的，若把H面向后、V面向下擴展出H0

和V0

，整個空間便被分成了四部分，每一部分稱為一個分角，依次編為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角。點擊1次

二、兩投影面體系及空間直角坐標系8§1-1點在兩投影面體系中的投影

三、點的兩面投影及其投影圖畫法

將點A

放在第Ⅰ分角中進行投射，向H面投射得a，稱為點A

的水平投影或H面投影。將點A向V

面投射得a′，稱為點A的正面投影或V

面投影。

動畫9§1-1點在兩投影面體系中的投影

畫法幾何中規(guī)定：標記V

面投影，要在小寫字母的右上角加一撇，如a′；H面投影則不加一撇，如a

。

點A在空間的位置被其兩個投影a和

a′唯一確定，因為兩個投影反映了三個方向的坐標(xA，yA，zA)。點A可表述為A(a，a′)。

三、點的兩面投影及其投影圖畫法

10§1-1點在兩投影面體系中的投影

畫投影圖時，需要把互相垂直的兩個投影面展開成一個平面。畫法幾何規(guī)定兩面體系的展開方法是：V

面不動，H面繞OX

軸向下旋轉(zhuǎn)90°角。動畫

三、點的兩面投影及其投影圖畫法

11§1-1點在兩投影面體系中的投影

由于投影面是無限大的，在投影圖中毋須畫出其邊界線。

投影面展開后，點A的兩投影a和a′處于同一條垂直于OX

軸的直線上，此線稱為投影連線，即

a

a′⊥OX。

點擊3次12§1-1點在兩投影面體系中的投影

點的兩面投影規(guī)律：

(1)兩投影的連線垂直于投影軸，即aa′⊥OX

。

(2)空間點的某一投影到投影軸的距離，等于該點到另一投影面的距離,即

aaX=Aa′=yA，a′aX=Aa=zA

。點擊2次13§1-1點在兩投影面體系中的投影

例1-1點A

的坐標xA、yA、zA

分別為5、3、4個單位，試畫出點A的兩面投影圖。分時點擊3次

解：14§1-1點在兩投影面體系中的投影

例1-2

試畫出例1-1中點

A

的立體示意圖。

點擊1次15§1-2點在三投影面體系中的投影

確定點在空間的位置，如前所述，有兩個投影就夠了。但對于一些較復(fù)雜的形體，只有兩個投影往往不能確定其形狀。解決的辦法是設(shè)置第三個投影面，構(gòu)建三投影面體系，作出形體的第三個投影。16§1-2點在三投影面體系中的投影

一、三投影面體系的建立

在兩面體系的基礎(chǔ)上，包含OY

軸和OZ

軸作出第三個投影面—側(cè)立投影面（簡稱側(cè)面），又稱W

面。W

面與H、V

面相互垂直并一起構(gòu)成三投影面體系，簡稱三面體系。W

面能反映前后、上下兩個方向的尺度。

17§1-2點在三投影面體系中的投影

二、八個卦角

在擴展H、V

面的基礎(chǔ)上，再擴展W

面，得到V

面后的W

面的擴展部分W0，從而把空間分成八個卦角（也稱卦限）。W、W0

面的左方為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

卦角，右方為第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦角，投影軸的指向即坐標軸的正方向。

點擊1次18§1-2點在三投影面體系中的投影

三、點的三面投影

把點A放在第Ⅰ卦角中進行投射。在H、V

面上得到了a、a′，又從左向右投射，在W

面上得到點A的第三投影a″，稱為側(cè)面投影或W

面投影。a″反映了點A的y和z坐標，即a″（yA，zA）。動畫19§1-2點在三投影面體系中的投影

三、點的三面投影

a′aZ=aaY

=Aa″=xA，反映點A到W

面的距離；

a″aZ=aaX

=Aa′=yA，反映點A到V

面的距離；

a″aY=a′aX

=Aa=zA，反映點A到H

面的距離。

用三個投影表達點A

的位置時，可寫成A（a

，a′，a″）。點擊4次20§1-2點在三投影面體系中的投影

三、點的三面投影

與兩面體系一樣，實際畫投影圖時需要把三個投影面展開成一個平面。V

面不動，H

面繞OX

軸向下旋轉(zhuǎn)90°角，W

面繞OZ

軸向右旋轉(zhuǎn)90°角。此時OY

軸被“一分為二”，隨H

面的軸記為OYH

，隨

W

面的軸記為OYW

。

點擊1次21§1-2點在三投影面體系中的投影

三、點的三面投影

給出空間點的三個坐標，就可按前述點的投影規(guī)律畫出點的三面投影圖；反之，由點的三面投影圖應(yīng)能想象出點的空間的位置。點在三投影面體系中的位置有：在各卦角間、在各投影面內(nèi)和在各投影軸上等情況，它們都遵守相同的投影規(guī)律。

點擊2次22§1-2點在三投影面體系中的投影

四、由點的兩個投影求作第三投影

分析點A的三個投影

a(xA,yA)、a'(xA,zA)、a"(yA,zA)可知，三個投影中的任意兩個，都包含有確定該點空間位置所必需的x、y、z

三個坐標，因此，由點的兩個投影可以作出第三投影。點擊1次23§1-2點在三投影面體系中的投影例1-3

如圖所示，已知點A的兩個投影a及a′，求作a″。

已知點擊2次求解—利用分規(guī)量距離求解—利用圓規(guī)畫弧24§1-2點在三投影面體系中的投影例1-3

如圖所示，已知點A的兩個投影a及a′，求作a″。

求解—利用45°分角線或45°上斜線作圖點擊后自動演播25§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖

一、兩點的相對位置

通常判別兩個點在空間的相對位置，是將其中一點作為基準點，判斷另一點（即比較點）在基準點之左（或右）、之前（或后）、之上（或下）多少距離。反映在投影圖中，是在確定了基準點的前提下，找出兩點在同一投影面上投影的同名坐標值的代數(shù)差Δx、Δy、Δz。

26§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖例1-4

已知兩點的投影，試判斷兩點的相對位置。

解：

選定A(a,a′,a″)為基準點，B

為比較點，則有：Δx為正值，點B

在點A

之左；Δy為負值，點B

在點A

之后；Δz為正值，點B

在點A

之上。

一、兩點的相對位置點擊2次27§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖二、點的重影及其可見性判斷

當空間兩點處在對某一投影面的同一條投射線上時，它們在該投影面上的投影便重合在一起?？臻g的這些點，稱為對該投影面的重影點，重合在一起的投影稱為重影。右圖中，點A、B

是對H

面的重影點，a、b

則是它們的重影。點擊1次28§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖二、點的重影及其可見性判斷

在投影圖中需要判斷并標明重影的可見性，即標明沿投射方向“看”去，哪個點的投影是可見的，哪個點的投影是被遮擋而不可見的。重影a、b的可見性是從V面（或W

面）上的投影判斷出來的：a'高于b'，所以a

可見，b不可見。通常在不可見的投影標記上加上括號。

點擊1次29§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖

三、無軸投影圖

在辨認兩點的相對位置時，起重要作用的是兩點同面投影的坐標差，而與投影軸的位置無關(guān)。因此，對于不涉及點到投影面距離的作圖問題，便可不畫出投影軸。這種圖就稱為無軸投影圖。點擊1次30§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖

例1-5

已知點A

的三個投影，如圖所示，有一點B

在其右3、其前3、其下2個單位處，試畫出點B

的三個投影。

解：Δx=-3,Δy=3,Δz=-2,…點擊1次31§1-4點的輔助投影

對于復(fù)雜的形體常需設(shè)置側(cè)立投影面W，畫出形體在W

面上的投影，以便更充分、準確地表明形體的形狀。

用H、V

和W

各面投影仍不足以準確表明形體的形狀時，可以設(shè)置只與已知兩投影面體系中的一個投影面相垂直的輔助投影面，作出形體在輔助投影面上的投影，稱之為輔助投影。點擊1次輔助投影面32§1-4點的輔助投影

一、點的輔助投影

在基本的

兩投影面體系V/H中，有一個點A(a,a')

。設(shè)置一個與H投影面垂直的輔助投影面

V1。V1面與H面交于O1X1。O1X1

稱為輔助投影軸。V1面和H面也構(gòu)成一個兩投影面體系。將A點向V1

面作正投影，得V1面上的投影a'1，a'1

是A點的輔助投影。動畫點擊1次33§1-4點的輔助投影

一、點的輔助投影

有兩個兩投影面體系，一個是原有的體系(V/H

)，其投影軸是OX;另一個是新設(shè)置的體系(V1/H),

其投影軸是輔助投影軸O1X1，它們共有投影面H。

O1X1的位置視輔助投影面V1的位置而定。輔助投影圖上有：aa'1⊥O1X1,ax1a'1=axa'。

點擊1次34§1-4點的輔助投影

根據(jù)點的原有投影作出其輔助投影的方法，可以表述如下：

自輔助投影面所垂直的原投影面上的投影，向輔助投影軸作垂線，與輔助投影軸交于一點，自交點起在垂線上截量一段距離，使等于原有的另一投影到原有投影軸的距離，即得點的輔助投影。這個關(guān)系習(xí)慣上簡單說成是新投影到新軸的距離等于老投影到老軸的距離。點擊后自動演播a1'35§1-4點的輔助投影