7.5 正態(tài)分布(精講)

正分（講思維導常見考

考一正分的特【1龍鶴崗市一中高期量

X

N

P

，則

等于（）A．

0.6

B．

0.5

C．

0.4

D．

0.3（2黃市有色第一中學高二期末）設隨機變服正分布

N

，若）A．

B．

6

C．

5

D．【答案）A(2）B【解析）由于隨機變量

X

，則

，因此，

.故選：A.（2∵隨機變量ξ服從正態(tài)分（4∵Pξ﹣5（ξ＞a+1∴x=a﹣5與x=a+1關x=4對稱，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故選B．【隅反1湖宜昌市校次三年級數學檢測抽樣分析績占近似服從正態(tài)布

，且

(91

．若該校有700人加此次檢測估計該校此次檢測數學成績不低于99分的數為（）A．100【答案】

B．125CD【解析】由題意，成績近服從正態(tài)分布則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，

，(91又由，根據正態(tài)分布曲線的對稱性，可得

1(91X95)]0.252

，所以該市某校有人，估計校數學成績不低于99分的數為

人，故選：2山東青島市）某種芯的良品率服正態(tài)分布2改造團隊的獎勵

方案如下：若芯片的良品率不超，不予獎勵；若芯片的良品率超但超過，每張芯片獎勵元若芯片的良品率超過6%，每張芯片獎勵200.則每張芯片獲得獎勵的數學期望為（）附：隨機變量服正態(tài)分布

，則

P(

，P

0.9544，P

.A．

52.28

B．

65.87

C．

50.13

D．

131.74【答案】【解析】因為

X

，得出，

，所以

，

P

；1PX0.960.15872

，所以

0.3413

（元）故選：3江西景德鎮(zhèn)市）某市弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，組織全市10萬中學生參加網絡古詞知識答題比賽，總分分經過分比賽成績，發(fā)現成績服從正態(tài)分布于90分的生人數約為（）

N

，請估計比賽成績不小〖參考數據

，A．2300【答案】

B．3170C．3415D．460【解析】依題意知，

82,

4所則

0.023

，所以比賽成績不小于90分學生人數約為1000000.0232300

故選：考二正分的實應【2（2021·安池州市年新冠疫情以來，醫(yī)用口罩成為防疫的必需.根據國家質量監(jiān)督檢驗

cm標準，過濾率是生產醫(yī)用口罩的重要參考標準，對于直徑小于5微的顆粒的過濾率必須大于90%.為了監(jiān)控某條醫(yī)用口罩生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取10個醫(yī)口置，檢測其過率，依據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的醫(yī)用口罩的過濾率服從態(tài)分布

.假設生產狀態(tài)正常產出的每個罩彼此獨記X表示一天內抽取10個罩中過濾率小于等于的數量

（1求

的概率；（2求X的學期望

E

；（3一天內抽檢的口罩中，如出現了過濾率Z小

的口罩，就認為這條生產線在這一天的生產過程中可能出現了異常情況要當天的生產過程進行檢查維修問這種監(jiān)控生產過程的方法理嗎？附機變量

Z

，

，0.9987.【答案））0.013）種監(jiān)控生產過程的方法合.【解析）抽取口罩中過濾率

內概率P

，所以

，所以

0.9987

，故

0.0129（2由題意可知

~BE

.（3如果按照正常狀態(tài)生產，）中計算可知，一只口罩過濾率小于或等于

的概率

，一天內抽取的10只口中，出現過濾率小于或等于

的概率

，發(fā)生的概率非常小，屬于小概率事所以一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需要對當天的生產過程進行檢查維可這種監(jiān)控生產過程的方法合.【隅反1全國高二課時練習）了解一種植物的生長情況，抽取一批該植物樣本測量高(單：，其頻率分布直方圖如圖所.

（1求該植物樣本高度的平均

和樣本方差s

2

(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代)；（2假設該植物的高度服正分布

似為樣本平均數

x,

近似為樣本方差2，利用該正態(tài)分布求

P(64.5Z96)

.附：10.5若

Z

(

Z68.3%,(

95.4%

.【答案），s）81.85%.【解析）由題意可得平均數550.10.27585

，s

2

2

75)

2

(75

2

2

(9575)

2

（2由（）知，

Z~N

，從而(64.5Z75)(75Z68.3%110.5Z7510.5)95.4%47.7%2所以

PZ75)47.7%81.85%

.2全高二單元測試工生產某種零件驗員每天從該零件的生產線上隨機抽取16個零，并測量其尺寸(單位：)根據長期生產經驗，可以認為這條生產線在正常狀態(tài)下生產的零件服從正態(tài)分布N(，．（1假設生產狀態(tài)正常X表示一天內抽取的個零件中其尺寸在－3＋3之外的零件數，求P(≥1)的學期望；（2下面是檢驗員在一天內抽的16個零件的尺寸：10.129.9710.019.9510.029.989.2110.0310.049.999.989.9710.019.9710.0310.11

iiiiii經計算得

x

i

x9.96i

，

11s()22)0.2016ii

，其中x為抽取的第i個零件的尺寸，＝1,2，，16.用本平均數作μ估計值用本標準差s作的估計值，利用估計值判斷是否對當天的生產過程進行檢查？剔－3，＋3之外的數據，用剩下的數據估計和(精確到0.01)．參考數據機變量服正分布(μ－3σ＜＜＋3)＝0.997，0.00270.05.【答案；0.0416需要對當天的生產過程進行檢查10.01；0.05.【解析】(1)∵抽取的一個零件尺寸(－3，＋3σ內的概率為0.997，∴零件的尺寸在μ－3，＋3)之外的概率為0.0026，故X～．P(X≥1)＝1－X＝0)＝1－0.9974≈0.0408；X的數期望為E(＝16×0.0026＝0.0416.(2)x9.96，≈0.20，得9.96，∵樣本數據可以看到有一個零件的尺寸在

0.20.

之外，∴需要對當天的生產過程進行檢查．剔除(－3，＋3)之外的數據9.21后，剩下數據的平均數

，可得的計值為10.01.∵

16

x2i

0.20

2

9.96

2

，i剔除

之外的數據9.21之后剩下數據的方差為

-1510.012

，∴的估計值為

0.05

.3全高二專題練習）有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)萬頭．根據豬的體重，將其分為三個成長階段，如下表：階段

幼年期

成長期

成年期

22體重

[2,18)

根據以往經驗兩養(yǎng)豬場內豬體重均近似服從正態(tài)分布

由我國有關部門加強對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬的監(jiān)控力度，高度重視其質量保證，為了養(yǎng)出健康的成年期豬，甲、乙兩個養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式．已知甲，乙兩個養(yǎng)豬場內一頭成年期的豬能通質檢合格的概率分別為

．（1試估算各養(yǎng)豬場三個階段豬的數量；（2已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利400元，若為不合格的豬則虧損200元；乙養(yǎng)豬場出-頭年的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，為不合格的豬，則虧損100元記Y為乙豬場各出售一頭成年期的豬所得的總利潤隨機變量的布列假兩個養(yǎng)豬場均能把成年期的豬售完，求兩個養(yǎng)豬場的總利潤的期望值．（參考數據：若

Z

P(

0.683,P(

ZP(

）【答案）幼年期的豬215頭成長期的豬9540，成年期的豬頭）135450元.【解析）設各階段豬的數量別為

n,n1

，∵豬的體重X近服從正態(tài)分布N(50,16)，P(2X(505016)n100000.0215（頭1

0.9970.954

0.0215

，P(18n（頭2(50100000.0215（頭）3

，∴甲、乙兩個養(yǎng)豬場各有幼年期的豬頭，成長期的豬9540頭，年期的豬215頭（2隨機變量Y的有可能取值為900，300

．

371900)300)P(5Y的分布列為

，Y

900300

P

()90020

（元由于兩個養(yǎng)豬場均有頭成年的豬，且兩個養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總利潤的期望為30元，則總利潤的期望為

215

（元考三正分與其知的合用【3（2021·內古赤峰）疫情防控期間，為了讓大家有良好的衛(wèi)生習慣某校組織了健康防護的知識測分制動動結束后機抽取了200學生的成績算得知這200學生的平均成績?yōu)?，其中個分成績分別是30、38產生的0個高分成績分別是99192、、93

、95、

、

、

．（1）為了評估該校的防控是否效，以樣本估計總體，將頻率視為概率，若該校學生的測試得分近似滿足正態(tài)分布

分別為樣本平均數和方差認防控有效，否則視為效果不佳．經過計算得知樣本方差為210請判斷該校的疫情防控是否有效，并說明理由考數據14.5）定：若

，則稱變量“似滿足正態(tài)分布

的概率分布（2學為了鼓勵學生對疫情控的配合定對分及以上的同學通過抽獎的方式進行獎勵分低于

分的同學只有一次抽獎機會于94的同學有兩次抽獎機會抽獲得50元金的概率是，獲得1元的概率是

．現在從這10高分學生中隨機選一名，記其獲獎金額，求的分布列和數學期望．【答案）該校的疫情防控是效的，理由見解析分布列見解析，87.5.【解析）據該校的疫情防控有效的，理由如下：14.5，

14.536

，

6514.594

，

22222221.5，6514.5108.5得分小于分的學生有3個得分大于分有個，

，P

，學生的得分都在

．

學生得分近似滿足正態(tài)分布

的概率分布，因此該校的疫情防控是有效的；（2設這名同學獲得的獎金為，的可能值為

50

、

100

、

150

、

200

，PY504

，

61，10108313PY14故Y的布列為：

4，，10YP

38

E

110015087.58

．【隅反1云南明市·昆明一中高三月考（理）某校工會積極組織學校教職工參與“日行萬步”健身活動定每日行走不足8千步人不健康生活方式者于14千的人超健康生活式者其他為“一般健康生活方式者.某日，學校工會隨機抽取了該校名職工的“日行萬步”健身活動數據，統(tǒng)計出他們的日行步(單：千步，且均[內，步數分組，得到頻率分布直方圖如圖所.

（1求被抽取的300名職工日行步數的平均每組數據以區(qū)間的中點值為代表，結果四舍五入保留整數.（2由直方圖可以認為該校教工的日行步服從正態(tài)分布

（1）中求得的平數標準差的似值為2該校被抽取的300名教職工中日行步數(14,18)的人數結果四舍五入保留整數).（3用樣本估計總體，將頻率為概.若工會從該校教職工中隨機抽取2人為“日行萬步”動的慰問獎勵對象，規(guī)定健康生方式者”給予精神鼓勵，獎勵金額每人0元般健康生活方式者”獎勵金額每人100元健生方式者”獎勵金額每人元，求工會慰問獎勵金額X望

的分布列和數學期附：若隨機變量服正態(tài)分布

，則

P(

，P

0.9545(

.【答案）【解析）依題意得

47

）布列答案見解析，數學期望：216.x0.080.060.030.0111.68

.（2因為

~N

，所以

P

(12

2)

，[P(6所以走路步數(14,18)的人數為0.157347

.（3由頻率分布直方圖知每人得獎勵為0的概率為0.02，獎勵金額為100元概率為0.88獎勵金

額為元概率為0.1.由題意知X的可能取值為0，100，200，300，400.P(0)0.02

2

0.0004；(

12

0.88

；P(200)

12

0.88

2

；(300)C

12

0.176

；0.10.01所以X的分布列為

.XP

00.0004

1000.0352

2000.7784

3000.176

4000.01(X)02000.7784300400216

.2長沙·湖南師大附中高二期末）國家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設部于2年合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實施方案某46個中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要達標．某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數量在兩萬人左右的A類區(qū)（全市共320個中隨機抽取了50個行調查，統(tǒng)計這50個區(qū)某天產生的垃圾量（單位：噸到如下頻數分表，并將這一天垃圾數量超過28噸的區(qū)定為“超標”社區(qū)．垃